Coordination et points focaux : s'accorder sans se parler

Si chacun choisit au hasard parmi n lieux possibles, les deux amis ne se retrouvent qu'avec une chance sur n. Mais les lieux ne se valent pas : certains sont uniques, célèbres, centraux. Supposons que chacun choisisse un lieu avec une probabilité proportionnelle à sa saillance élevée à une puissance α : α = 0, aucun lieu ne se distingue ; α grand, tout le monde pense au plus saillant. La chance de se retrouver est la somme des carrés des probabilités. Les saillances ci-dessous sont illustratives : elles ne sont pas mesurées.

Sans point focal, une population peut quand même s'accorder. David Lewis (1969) explique qu'une convention naît du précédent : on fait comme on a vu faire. Ici, 100 personnes doivent choisir l'une de K options (un jour de marché, une unité de mesure, une prise électrique…). À chaque période, quelques-unes révisent leur choix : elles observent un petit échantillon d'autres personnes et adoptent l'option la plus fréquente, avec de temps en temps une erreur. Une option l'emporte toujours, mais laquelle dépend du hasard des débuts.

Rousseau, dans son Discours sur l'inégalité (1755), imagine des chasseurs qui doivent tous rester à leur poste pour prendre un cerf ; mais si un lièvre passe, chacun est tenté de le saisir, et le cerf s'échappe. Chasser le cerf ensemble rapporte S à chacun ; chasser le lièvre rapporte 3, quoi que fassent les autres ; chasser le cerf seul ne rapporte rien. Les deux conventions sont des équilibres : le cerf est meilleur pour tous, le lièvre est plus sûr. Dans une population mélangée, le cerf ne l'emporte que si plus de 3/S des chasseurs le visent déjà. Sur un territoire, où l'on imite le voisin qui réussit le mieux, les chasseurs de cerf groupés se protègent mutuellement, comme l'a souligné Brian Skyrms (2004).

Dans une population de N chasseurs, chacun révise de temps en temps sa stratégie pour la meilleure réponse aux autres, mais se trompe avec une petite probabilité ε. Les erreurs finissent toujours par faire sauter la population d'une convention à l'autre, mais pas avec la même facilité dans les deux sens : il faut plus d'erreurs simultanées pour quitter la convention qui a le plus grand bassin. Michihiro Kandori, George Mailath et Rafael Rob, et indépendamment Peyton Young, ont montré en 1993 qu'à long terme la population passe presque tout son temps dans l'équilibre dominant par le risque, même s'il rapporte moins.

Rouler à droite ou à gauche n'a aucune importance, pourvu que tout le monde fasse pareil. Partons d'une population de conducteurs qui roulent au hasard : chacun, de temps en temps, observe quelques autres et suit la majorité. Une convention s'impose vite, au hasard. Ensuite, elle est très difficile à changer : pour que la population bascule, il faut qu'une part suffisante change en même temps, au-delà d'un seuil. Un léger avantage pour un côté (des voitures construites pour lui, par exemple) déplace ce seuil. Le 3 septembre 1967, la Suède a basculé de la gauche à la droite en une nuit, le « Dagen H » ; l'Islande a suivi en 1968, et les Samoa ont fait le chemin inverse en 2009.