Probabilités : l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé, prérequis et démonstration étape par étape

1. Énoncé du Théorème

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance μ = E[X] et une variance σ² = Var(X).

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Pour tout réel ε > 0 : $$\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}$$

Interprétation : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un résultat fondamental en théorie des probabilités. Elle permet de mesurer à quel point une variable aléatoire risque de « s'écarter » de sa valeur moyenne (son espérance).
Cette inégalité donne une borne supérieure à la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance de plus d'une certaine valeur ε, en fonction de sa variance.
Sa force principale réside dans sa généralité : elle s'applique à n'importe quelle loi de probabilité (continue ou discrète), du moment que la variable possède une espérance et une variance finies.

2. Le Lemme Clé : L'Inégalité de Markov

Rappel (Inégalité de Markov) :
Soit Y une variable aléatoire positive ou nulle (P(Y ≥ 0) = 1) admettant une espérance.
Alors pour tout réel a > 0 : $$\mathbb{P}(Y \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[Y]}{a}$$

3. Démonstration du Théorème

La démonstration repose sur un changement de variable judicieux permettant d'appliquer directement l'inégalité de Markov.

  1. Étape 1 : Poser une variable aléatoire positive
    Considérons la variable aléatoire : $$Y = (X - \mu)^2$$ Par construction (un carré réel est toujours positif ou nul), Y ≥ 0.
  2. Étape 2 : Équivalence des événements
    Soit ε > 0. Remarquons que pour tout nombre réel, la valeur absolue est supérieure à ε si et seulement si son carré est supérieur à ε2 : $$|X - \mu| \ge \varepsilon \iff (X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2$$ Par conséquent, les probabilités de ces deux événements sont égales : $$\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) = \mathbb{P}\left((X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2\right) = \mathbb{P}(Y \ge \varepsilon^2)$$
  3. Étape 3 : Application de l'inégalité de Markov
    Puisque Y ≥ 0 et ε² > 0, nous appliquons l'inégalité de Markov à la variable Y avec la constante a = ε2 : $$\mathbb{P}(Y \ge \varepsilon^2) \le \frac{\mathbb{E}[Y]}{\varepsilon^2}$$
  4. Étape 4 : Utilisation de la définition de la variance
    Rappelons par définition que l'espérance du carré de l'écart à la moyenne est précisément la variance de X : $$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[(X - \mu)^2\right] = \mathbb{V}(X)$$
  5. Étape 5 : Conclusion
    En réinjectant E[Y] = Var(X) dans l'inégalité obtenue à l'étape 3, on conclut : $$\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}$$
C.Q.F.D. (Ce qu'il fallait démontrer)

4. Forme Alternative (Écart-type)

Si l'on exprime la distance à la moyenne en nombre d'écarts-types, en posant ε = kσ avec k > 0 (la déformation est proportionnelle à la contrainte) :

$$\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{\sigma^2}{(k\sigma)^2} = \frac{1}{k^2}$$

Exemple : La probabilité qu'une variable s'écarte de plus de 3 écarts-types de sa moyenne est toujours inférieure ou égale à (1/3)2 11,1% quelle que soit la loi de probabilité sous-jacente.

Conclusion :
1/ Démonstration de la Loi Faible des Grands Nombres : C'est grâce à cette inégalité que l'on prouve formellement que la moyenne empirique d'un échantillon converge vers l'espérance théorique quand la taille de l'échantillon n tend vers l'infini.
2/ Contrôle sans hypothèse de loi : Quand on ne connaît pas la loi exacte d'un phénomène (si elle est normale, binomiale, Poisson, etc.), cette inégalité offre toujours une garantie minimale sur les risques de dérive.