Probabilités

Bernoulli et la loi binomiale

Compter les succès dans des épreuves répétées : la loi la plus utilisée des probabilités.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement : succès, avec la probabilité p, ou échec, avec la probabilité q = 1 − p. Pile ou face, une pièce bonne ou défectueuse, un patient guéri ou non, un passager qui se présente ou non à l’embarquement. Le nom honore Jacques Bernoulli (1654-1705), dont l’Ars Conjectandi (1713) étudie la répétition de ces épreuves.

Si l’on répète n fois la même épreuve, de façon indépendante, le nombre X de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p) :

Ce qu’on cherche	Formule	D’où elle vient
P(X = k)	C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ	C(n, k) chemins de l’arbre ont k succès, et chacun a la probabilité pᵏqⁿ⁻ᵏ
Nombre de chemins	C(n, k) = n! / (k!(n − k)!)	le triangle de Pascal : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)
Espérance	E(X) = np	X est la somme de n variables de Bernoulli d’espérance p
Variance	Var(X) = npq	les variances d’épreuves indépendantes s’additionnent ; chacune vaut pq

Deux conditions sont indispensables : la probabilité de succès est la même à chaque épreuve, et les épreuves sont indépendantes. Sans elles, la loi binomiale ne s’applique pas.

L’arbre des épreuves et le triangle de Pascal

Chaque épreuve fait bifurquer l’arbre : en haut le succès (probabilité p), en bas l’échec (probabilité q). Après n épreuves, il y a 2ⁿ chemins. Tous les chemins qui comportent exactement k succès ont la même probabilité pᵏqⁿ⁻ᵏ, quel que soit l’ordre des succès. Pour obtenir P(X = k), il suffit donc de les compter — et ce nombre est le coefficient C(n, k) du triangle de Pascal.

À gauche, l’arbre : les chemins à k succès sont en rouge, et le chemin parcouru en ce moment est épaissi. À droite, le triangle de Pascal jusqu’à la ligne n ; chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui, et la case rouge est C(n, k).

Épreuves n Succès k Probabilité p

Chemins à k succès, comptés sur l’arbre—

Contrôle : n! / (k!(n − k)!)—et le même nombre dans le triangle

Probabilité d’un tel chemin pᵏqⁿ⁻ᵏ—

P(X = k) = C(n, k)·pᵏqⁿ⁻ᵏ—

Contrôle : Σ P(X = k) = (p + q)ⁿ = 1—formule du binôme de Newton

La loi binomiale tient son nom de là : les probabilités P(X = k) sont les termes du développement du binôme (p + q)ⁿ par la formule de Newton. Leur somme vaut donc (p + q)ⁿ = 1ⁿ = 1. Le triangle de Pascal, connu en Chine, en Inde et en Perse bien avant Pascal, donne les coefficients sans calcul de factorielles.

La forme de la loi : un sommet en np, une largeur en √(npq)

La loi binomiale culmine près de np, sa valeur moyenne. Elle est symétrique quand p = 1/2, penchée à gauche ou à droite sinon. Sa largeur, mesurée par l’écart-type √(npq), croît comme la racine de n : multiplier le nombre d’épreuves par 4 ne fait que doubler la dispersion du nombre de succès, et divise par deux celle de la proportion de succès. Les pièces ci-dessous montrent X comme une somme : chacune est une épreuve de Bernoulli, et l’on compte les bleues.

Barres bleues : loi exacte B(n, p). Trait vert : l’espérance np ; zone verte : np ± √(npq). Points orange : fréquences observées sur les répétitions simulées.

La dernière répétition : n épreuves, bleu pour un succès, orange pour un échec.

Épreuves n Probabilité p

Espérance np contre Σ k·P(X = k)—

Variance npq contre Σ (k − np)²·P(X = k)—

Valeur la plus probable (mode)—

Moyenne observée—répétez l’expérience

La valeur la plus probable est la partie entière de (n + 1)p, et l’espérance np en est toujours proche (à moins de 1). Mais même cette valeur la plus probable devient peu probable quand n grandit : pour 100 lancers d’une pièce, obtenir exactement 50 piles n’arrive qu’environ 8 fois sur 100. C’est la proportion de succès, et non leur nombre exact, qui se stabilise.

Trois applications où la loi binomiale décide

Dès qu’on compte des oui et des non indépendants, la loi binomiale permet de chiffrer un risque et de prendre une décision : accepter un lot de pièces, juger un questionnaire, vendre plus de billets qu’il n’y a de places.

Un client reçoit de grands lots de pièces. Il en prélève n au hasard et accepte le lot s’il y trouve au plus c pièces défectueuses. Si la proportion de défauts du lot est p, le nombre de défauts dans l’échantillon suit B(n, p), et la probabilité d’accepter est P(X ≤ c). La courbe de cette probabilité selon p s’appelle la courbe d’efficacité du plan de contrôle.

Probabilité d’accepter le lot selon sa proportion réelle de défauts. Le point vert est un bon lot (1 % de défauts) : le refuser est le risque du fournisseur. Le point rouge est un mauvais lot (8 %) : l’accepter est le risque du client.

Taille de l’échantillon n Défauts tolérés c

Risque du fournisseur : refuser un lot à 1 %—

Risque du client : accepter un lot à 8 %—

Contrôle par simulation de lots—lancez la simulation

Un questionnaire comporte Q questions, chacune avec m réponses possibles dont une seule juste. Un candidat qui répond entièrement au hasard réussit chaque question avec la probabilité 1/m, indépendamment ; son nombre de bonnes réponses suit B(Q, 1/m). Quelle est sa chance d’atteindre la note de passage ?

Loi du nombre de bonnes réponses d’un candidat qui répond au hasard ; en rouge, les notes qui atteignent le seuil de réussite.

Questions Q Réponses par question m Seuil de réussite

Nombre moyen de bonnes réponses Q/m—

P(réussir en répondant au hasard)—

Sur 10 000 candidats au hasard—nombre attendu de reçus

Un avion compte C places. Chaque passager qui a réservé se présente avec la probabilité p, indépendamment des autres. La compagnie vend n billets, éventuellement plus que de places. Le nombre de passagers présents suit B(n, p). Chaque billet rapporte 200 € ; chaque passager refusé à l’embarquement coûte 600 € d’indemnités. Combien de billets vendre ?

À gauche, la loi du nombre de présents, avec en rouge les cas où il y a plus de présents que de places. À droite, le gain moyen selon le nombre de billets vendus ; le point rouge est le choix actuel, le point vert le meilleur choix.

Places C Probabilité de se présenter p Billets vendus n

P(au moins un passager refusé)—

Nombre moyen de refusés E[(X − C)⁺]—

Gain moyen 200·n − 600·E[(X − C)⁺]—

Contrôle par simulation—lancez la simulation

Dans les trois cas, la loi binomiale transforme une règle de décision en probabilités calculables. Le contrôle de qualité montre qu’un plan sévère protège le client mais fait refuser de bons lots : agrandir l’échantillon est la seule façon de réduire les deux risques à la fois. La surréservation montre qu’une décision optimale accepte un petit risque de refus, parce que les sièges vides coûtent aussi.

Deux approximations, et leur précision mesurée

Avant les ordinateurs, calculer C(n, k)pᵏqⁿ⁻ᵏ pour n = 1 000 était impraticable. Deux approximations ont rendu la loi binomiale utilisable. Quand p est petit et n grand, avec np = λ modéré, elle ressemble à la loi de Poisson de paramètre λ (Poisson, 1837). Quand npq est grand, elle ressemble à la loi normale de même moyenne et de même variance (De Moivre, 1733 ; Laplace, 1812). La page calcule l’erreur exacte de chacune.

Barres bleues : loi binomiale exacte. Points verts : loi de Poisson de même moyenne. Courbe rouge : densité normale de même moyenne et de même écart-type.

Épreuves n Probabilité p

Écart à la loi de Poisson (distance en variation totale)—

Borne de Le Cam et de Barbour-Hall—

Écart à la loi normale : max |F_binomiale − F_normale|—

Borne de Berry-Esseen—

Avec la correction de continuité (k + ½)—l’écart maximal diminue nettement

Les deux approximations ont des domaines complémentaires : Poisson est excellente quand p est petit, quel que soit n (l’erreur reste inférieure à p) ; la loi normale devient bonne quand npq est grand, son erreur décroissant comme 1/√(npq). Pour n = 50 et p = 0,06, l’écart à la loi de Poisson (0,015) est près de dix fois plus petit que l’écart à la loi normale (0,147) ; pour p = 0,5, c’est l’inverse. La correction de continuité, qui remplace k par k + ½, rappelle qu’on approche des bâtons par une courbe.

Signature — démasquer un faux hasard

Essayez d’écrire, de tête, une suite de 100 lancers de pièce qui « ait l’air au hasard ». Presque tout le monde produit une suite trop sage : trop d’alternances, pas assez de longues séries. La loi binomiale permet de le prouver. Dans une vraie suite de n lancers, chacun des n − 1 passages d’un lancer au suivant est un changement avec la probabilité 1/2, indépendamment : le nombre de changements suit B(n − 1, ½), de moyenne 49,5 et d’écart-type 5 environ. Et la plus longue série de piles ou de faces identiques est, presque toujours, d’au moins 5.

À gauche, la loi exacte du nombre de changements pour une suite de la même longueur que la vôtre ; à droite, la loi exacte de la plus longue série. Les traits rouges marquent votre suite ; les points orange sont les fréquences observées sur des suites tirées par une vraie pièce.

Longueur de votre suite0au moins 20 lancers pour un verdict

Changements dans votre suite—

Plus longue série—

Verdict—

Contrôles des lois exactes—

La plus longue série d’une vraie suite de n lancers vaut environ log₂ n : 6 ou 7 pour 100 lancers. Une série de 6 faces de suite paraît suspecte à un humain, qui l’évite ; elle est pourtant presque inévitable. Cette idée sert vraiment : les statisticiens l’utilisent pour détecter des données inventées, des fraudes comptables ou des générateurs de nombres aléatoires défaillants. Le hasard véritable contient plus de répétitions que l’intuition ne l’accepte.

Repères historiques

vers 1050Le mathématicien chinois Jia Xian utilise le triangle des coefficients binomiaux, que Yang Hui publie en 1261 ; Al-Karaji et Omar Khayyam le connaissent aussi.
1654Blaise Pascal rédige son Traité du triangle arithmétique et l’applique au problème des partis, dans sa correspondance avec Fermat.
1665Isaac Newton étend la formule du binôme aux exposants quelconques.
1713Publication posthume de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli : la répétition d’épreuves à deux issues et la première loi des grands nombres.
1733Abraham de Moivre obtient l’approximation normale de la loi binomiale pour p = 1/2 ; Laplace la généralise en 1812.
1837Siméon Denis Poisson obtient la loi qui porte son nom comme limite de la loi binomiale, dans ses Recherches sur la probabilité des jugements.
1941–1945Berry puis Esseen bornent l’erreur de l’approximation normale ; Le Cam fait de même pour l’approximation de Poisson en 1960.

Ce qu’il faut retenir

Compter des chemins

P(X = k) = C(n, k)·pᵏqⁿ⁻ᵏ : le nombre de chemins à k succès, donné par le triangle de Pascal, multiplié par la probabilité commune de chacun.

Moyenne np, dispersion √(npq)

Le nombre de succès s’écarte de np d’environ √(npq) ; la proportion de succès s’écarte de p d’environ √(pq/n), qui tend vers 0 : c’est la loi des grands nombres de Bernoulli.

Des conditions à vérifier

Même probabilité à chaque épreuve et indépendance : sans elles, pas de loi binomiale. Les approximations de Poisson et normale ont chacune leur domaine de validité.

Pour aller plus loin

Tirage sans remise. Si l’on prélève n pièces dans un lot de N pièces sans les remettre, les tirages ne sont plus indépendants et le nombre de défauts suit la loi hypergéométrique. Quand N est grand devant n, elle est très proche de la loi binomiale : c’est pourquoi le contrôle de qualité de la planche 3 l’emploie pour de grands lots.

Loi binomiale négative. Au lieu de fixer le nombre d’épreuves et de compter les succès, on peut fixer le nombre de succès et compter les épreuves nécessaires : on obtient la loi géométrique (un succès) et la loi binomiale négative (r succès).

Estimer p. Avec k succès sur n épreuves, la proportion k/n est l’estimateur naturel de p ; son écart-type √(pq/n) donne la célèbre marge des sondages, environ ±1/√n à 95 %. Les pages sur les sondages et sur la loi bêta développent ce point.