Analyse des données

L'analyse factorielle des données mixtes (AFDM)

Un tableau réel mêle presque toujours des nombres (une surface, un prix, une année) et des catégories (un type de logement, un mode de chauffage, un état). L'ACP ne sait traiter que les premiers, l'ACM que les secondes. L'AFDM les analyse ensemble, en donnant à chaque variable un poids équitable.

L'idée en une phrase

L'AFDM, due à Brigitte Escofier (1979) et développée par Jérôme Pagès (2004), cherche des axes qui résument à la fois les variables quantitatives et les variables qualitatives. Pour une variable quantitative, la liaison avec un axe se mesure par le carré du coefficient de corrélation r² ; pour une variable qualitative, par le rapport de corrélation η² (la part de la variance de l'axe expliquée par les modalités). L'axe retenu est celui qui rend maximale la somme

Σ_{quantitatives} r²(F, x) + Σ_qualitatives η²(F, q)

Techniquement, c'est une ACP faite sur un tableau astucieusement recodé. Le fil conducteur : 30 logements fictifs décrits par quatre variables quantitatives (surface, prix, année de construction, distance au centre) et trois qualitatives (type, chauffage, état).

Le tableau mixte et son problème

Comment faire une ACP avec une colonne « Chauffage » ? La tentation est de remplacer les modalités par des numéros (Gaz = 1, Électrique = 2…). Mais ces numéros sont arbitraires : en changeant simplement leur ordre, on change les distances, donc les résultats. Faites défiler les 24 façons de numéroter les quatre chauffages.

Part de l'inertie captée par le premier axe d'une ACP normée sur les 7 colonnes, chaque qualitative remplacée par des numéros, pour les 24 numérotations possibles du chauffage. Barre rouge : la numérotation choisie.

Numérotation du chauffage1

Premier axe, cette numérotation—

Plus petite / plus grande valeur sur les 24—

Corrélation de l'axe 1 avec le « chauffage numéroté »—

AFDM : résultat indépendant de tout ordre—

À retenir. Numéroter des catégories fabrique un ordre et des écarts qui n'existent pas : « Bois » serait plus loin de « Gaz » que d'« Électrique » selon la seule fantaisie du codage, et le premier axe varie avec elle. L'autre solution maladroite, découper les quantitatives en classes pour tout passer en ACM, perd l'information fine des nombres. L'AFDM évite les deux écueils.

Le codage qui équilibre

Chaque variable quantitative est centrée et réduite. Chaque variable qualitative est éclatée en une colonne par modalité (1 si le logement a cette modalité, 0 sinon), puis chaque colonne est centrée et divisée par la racine de la proportion p_k de la modalité.

z = (x − x̄) / s et z_k = (δ_k − p_k) / √p_k

Ce petit √p_k est tout le secret. Une colonne quantitative réduite a une variance 1. Une colonne de modalité ainsi codée a une variance 1 − p_k, et la somme sur les K modalités d'une variable vaut K − 1, quelle que soit la répartition. Comparez avec un codage brut (0/1 seulement centré).

Codage des modalités

Le tableau recodé, 30 lignes et 13 colonnes : bleu pour les valeurs positives, orange pour les négatives. Lignes surlignées : les deux logements comparés ci-contre.

Inertie (variance) apportée par chaque colonne, regroupée par variable. Le total de chaque variable est écrit au-dessus.

Logement iLogement j

De quoi est faite la distance entre i et j ?

d²(i, j) sur les 13 colonnes—

Somme des parts par variable—

Écart—

Inertie totale du tableau—

Variable qualitative la plus lourde—

Avec le codage AFDM, deux logements de modalités différentes k et l pour une variable s'écartent de 1/p_k + 1/p_l : partager une modalité rare rapproche beaucoup, différer sur une modalité rare éloigne beaucoup. C'est, à un facteur Q près, la distance du χ² de l'ACM.

À retenir. Avec le codage AFDM, une quantitative pèse 1, une qualitative à K modalités pèse K − 1 : ici 4 + (1 + 3 + 2) = 10. Le codage brut, lui, ferait peser chaque qualitative moins que 1 et d'autant moins que ses modalités sont déséquilibrées : les catégories seraient écrasées par les nombres. Le poids K − 1 n'est pas un hasard, c'est le nombre de « degrés de liberté » de la variable, comme dans un test du χ².

Les axes et leur double lecture

On diagonalise la matrice de covariance du tableau recodé : chaque axe a une valeur propre λ, son inertie. Et cette valeur propre se lit comme le critère annoncé : la somme des r² des quantitatives et des η² des qualitatives avec l'axe. Quatre vues du même résultat.

Axe horizontalAxe verticalCouleur

Éboulis : la valeur propre de chaque axe, découpée en la part des quantitatives (bleu) et celle des qualitatives (orange). Dix axes au plus : 4 + (2 − 1) + (4 − 1) + (3 − 1).

λ de l'axe horizontal—

λ de l'axe vertical—

λ − (Σ r² + Σ η²), axe horizontal—

Σ λ − 10 (inertie totale)—

Contrôle de Jacobi ‖Cv − λv‖—

Variable la plus liée à l'axe horizontal—

À retenir. Le carré des liaisons est la carte propre à l'AFDM : chaque variable, de quelque nature qu'elle soit, y est placée par sa liaison avec les deux axes (r² ou η², entre 0 et 1). On y lit d'un coup d'œil quelles variables « font » chaque axe. Les quantitatives se lisent ensuite sur le cercle des corrélations, comme en ACP, et les modalités au centre de gravité des logements qui les portent, comme en ACM.

Entre ACP et ACM : l'AFDM les contient toutes deux

Retirez les qualitatives : l'AFDM devient exactement l'ACP normée. Retirez les quantitatives : elle devient l'ACM, à un facteur près (les valeurs propres sont multipliées par le nombre Q de variables qualitatives, parce que l'ACM divise chaque variable par Q). Les deux références sont recalculées ici par leur propre méthode.

Valeurs propres de l'AFDM—

Valeurs propres de référence—

Écart maximal—

Remarque—

À retenir. L'AFDM n'est pas une méthode de plus : c'est la méthode qui se réduit à l'ACP sur des nombres et à l'ACM sur des catégories, si bien qu'on garde toutes les habitudes de lecture. Sur le tableau complet, son premier axe ne peut pas dépasser la somme des premiers axes des deux analyses séparées : il doit trouver un compromis, une direction qui parle à la fois aux nombres et aux catégories.

Applications : classer, situer, se méfier

Trois usages courants de l'AFDM, et un piège classique. On classe les logements à partir de leurs coordonnées factorielles ; on situe un logement nouveau sans refaire l'analyse ; on observe ce qu'une modalité trop rare fait aux axes.

Les variables mixtes empêchent les méthodes de classification habituelles, qui demandent des nombres. Mais les coordonnées de l'AFDM sont des nombres : on applique la méthode de Ward sur les premiers axes. Chaque fusion de deux classes coûte une augmentation de l'inertie intra-classes ; la somme de toutes les fusions redonne l'inertie totale (théorème de Huygens).

Axes utilisés3

Nombre de classes3

Dendrogramme de Ward. La hauteur d'une fusion est l'inertie qu'elle coûte. Trait rouge : la coupure.

Les classes sur le premier plan de l'AFDM.

Inertie des axes utilisés—

Somme des coûts de fusion—

Part expliquée par la partition—

Un nouveau logement se recode avec les moyennes, écarts-types et proportions de l'analyse, puis se projette sur les axes : c'est un individu supplémentaire. Il ne modifie pas les axes, il s'y situe. Réglez ses caractéristiques.

Premier plan. Étoile rouge : le logement supplémentaire. Traits : ses trois plus proches voisins dans l'espace complet de l'AFDM.

Surface110 m²

Prix420 k€

Année de construction2018

Distance au centre6,0 km

Type

Chauffage

État

Coordonnées sur les axes 1 et 2—

Plus proches voisins—

Projection d'un logement actif contre sa coordonnée—

Donnons à quelques vieux logements un chauffage « Fioul ». Avec un seul logement au fioul, sa modalité a une proportion 1/30, et sa colonne recodée prend la valeur (1 − 1/30)/√(1/30) ≈ 5,3 : ce logement se retrouve très loin du centre. Faites varier le nombre de logements au fioul.

Logements chauffés au fioul1

Axe où les logements au fioul pèsent le plus—

Part de cet axe prise par les logements au fioul—

d² au centre d'un logement au fioul—

d² au centre médian des autres—

Inertie totale (Fioul ajoute une modalité)—

À retenir. L'AFDM transforme un tableau hétérogène en coordonnées numériques propres : on peut alors classer (ici avec Ward, la somme des coûts de fusion redonnant l'inertie à l'arrondi près), situer de nouveaux individus, ou servir d'étape de préparation à d'autres méthodes. Mais le poids 1/p_k qui équilibre les modalités a son revers : une modalité presque vide éloigne beaucoup ses rares individus et peut s'approprier une grande part d'un axe (ici près de la moitié de l'axe 3 pour un seul logement). La pratique veut qu'on regroupe les modalités de moins de 2 à 5 % des individus avant l'analyse.

Repères historiques

1933 — Harold Hotelling formalise l'analyse en composantes principales, pour des variables quantitatives.
1963–1973 — Jean-Paul Benzécri et son école développent l'analyse des correspondances, puis l'analyse des correspondances multiples pour les variables qualitatives.
1971 — John Gower propose un coefficient de distance pour variables de natures mélangées, utilisé en classification.
1979 — Brigitte Escofier montre comment traiter simultanément variables qualitatives et quantitatives en analyse factorielle, par un codage des indicatrices.
1990–1991 — Gilbert Saporta, puis Henk Kiers, étudient l'analyse simultanée des deux types de variables et son critère (somme des r² et des η²).
2004 — Jérôme Pagès, « Analyse factorielle de données mixtes », Revue de statistique appliquée : la méthode prend son nom et sa présentation actuelle, avec le carré des liaisons.
2008 — Le logiciel libre FactoMineR (Lê, Josse, Husson) met l'AFDM à la portée de tous, sous le nom anglais de FAMD.
2014 — Le paquet PCAmixdata (Chavent, Kuentz, Labenne, Saracco) propose une formulation voisine, avec rotations et individus supplémentaires.

Synthèse et domaines d'application

Ce que fait l'AFDM

Une ACP sur un tableau recodé : quantitatives réduites, modalités divisées par √p. Chaque quantitative pèse 1, chaque qualitative K − 1 ; les axes maximisent Σ r² + Σ η².

Ce qu'elle généralise

Sans qualitatives, c'est l'ACP normée ; sans quantitatives, c'est l'ACM (valeurs propres multipliées par Q). On lit les variables sur le carré des liaisons, puis comme en ACP ou en ACM.

Où on l'emploie

Enquêtes (âge, revenu, catégorie, opinion), santé (mesures cliniques et antécédents), assurance et banque (montants et profils), immobilier, patrimoine (dimensions et styles d'édifices), écologie (mesures et types de milieux).

Pour aller plus loin

Pourquoi λ = Σ r² + Σ η². Dans une ACP, la valeur propre d'un axe F vaut Σ_j cov(F, z_j)²/λ. Pour une colonne quantitative réduite, cov²/λ = r². Pour les colonnes d'une qualitative, cov(F, z_k) = √p_k·F̄_k (F̄_k moyenne de F dans la modalité k), et Σ_k p_kF̄_k²/λ est précisément η².

Le lien avec l'ACM. L'ACM pondère chaque variable par 1/Q pour que l'inertie totale vaille (K − Q)/Q. L'AFDM ne divise pas par Q, d'où le facteur Q sur les valeurs propres ; les axes et les coordonnées relatives sont identiques.

Une alternative. On peut aussi calculer la distance de Gower puis faire un positionnement multidimensionnel, comme dans la page de classification des cathédrales. L'AFDM a l'avantage de fournir des axes interprétables et des représentations des variables.

Équilibrer davantage. Si les variables forment des groupes thématiques (par exemple l'aspect financier et l'aspect technique), l'analyse factorielle multiple (AFM) équilibre aussi les groupes entre eux ; l'AFDM en est un cas particulier, où chaque variable forme un groupe.