La physique fournit les phénomènes et les lois ; les mathématiques les formulent, les relient entre eux et en tirent des prévisions. Cinq planches pour voir ce partage du travail à l'œuvre.
Un physicien observe : un pendule oscille, une barre chaude se refroidit, une planète s'écarte de sa route. Il en tire une loi, souvent une relation entre des grandeurs et leurs variations. Le mathématicien prend alors le relais : il écrit la loi sous forme d'équation, étudie ses solutions, découvre qu'elle est la même que celle d'un phénomène sans rapport apparent, et en tire des prévisions qu'on pourra confronter à l'expérience.
| Étape | Question | Outil mathématique | Planche |
|---|---|---|---|
| Formuler | Quelle équation traduit la loi ? | Équations différentielles, équations aux dérivées partielles | 1, 3 |
| Vérifier la cohérence | La formule a-t-elle au moins les bonnes unités ? | Analyse dimensionnelle, systèmes linéaires | 2 |
| Relier | Deux phénomènes obéissent-ils à la même équation ? Pourquoi certaines quantités se conservent-elles ? | Analogies, séries de Fourier, symétries (théorème de Noether) | 1, 3, 4 |
| Prévoir | Que va-t-il se passer ? Qu'est-ce qui cause ce qu'on observe ? | Intégration numérique, moindres carrés, problèmes inverses | 5 |
Une règle traverse toute la page : chaque nombre affiché est calculé de deux façons indépendantes — par la formule issue des mathématiques et par une « expérience » numérique qui ne connaît que la loi physique — et l'écart entre les deux est affiché.
Qu'ont en commun une masse au bout d'un ressort, un circuit électrique et un pendule ?
Trois lois physiques différentes : la force de rappel d'un ressort (Hooke), la charge d'un condensateur qui traverse une bobine (Kirchhoff), le poids qui ramène un pendule (Newton). Écrites en équations, elles deviennent la même :
x″ + 2ζω₀ x′ + ω₀² x = 0
où x est l'écart à l'équilibre (position, charge ou angle), ω₀ la pulsation propre et ζ le taux d'amortissement. Les mathématiques résolvent cette équation une fois pour toutes : pour ζ < 1, x(t) = x₀ e−ζω₀t (cos ωdt + …), avec ωd = ω₀√(1 − ζ²). Choisissez ω₀ et ζ : la page calcule les réglages physiques de chaque système, simule chacun avec sa propre loi, et compare. Pour le pendule, la loi exacte contient sin θ et non θ : l'équation commune n'est qu'une approximation, d'autant meilleure que l'angle est petit.
Peut-on trouver une loi physique avant même de résoudre la moindre équation ?
Toute grandeur physique a une dimension : une combinaison de masse M, de longueur L et de temps T. Une vitesse est une longueur divisée par un temps (L T⁻¹), une force est M L T⁻². Une loi valable doit avoir la même dimension des deux côtés. Si la période d'un pendule ne dépend que de sa longueur ℓ, de la pesanteur g et de sa masse m, on cherche T = C · ℓa gb mc : l'égalité des dimensions donne trois équations linéaires en a, b, c, que la page résout. C'est l'analyse dimensionnelle (Fourier, 1822 ; Buckingham, 1914).
Elle donne la forme de la loi, jamais le nombre C : pour lui, il faut résoudre l'équation, ou faire l'expérience. La page fait douze « expériences » numériques aux réglages tirés au hasard, et vérifie que le rapport mesuré / formule est toujours le même nombre.
Pourquoi la chaleur s'étale-t-elle alors qu'une onde garde sa forme ?
Trois équations aux dérivées partielles (des équations qui relient les variations d'une grandeur u(x, t) dans l'espace et dans le temps) décrivent une immense partie de la physique :
chaleur : ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² ondes : ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x² Laplace : ∂²u/∂x² = 0
La première régit la diffusion (chaleur, encre dans l'eau, prix en finance), la deuxième les ondes (cordes, son, lumière), la troisième les équilibres (potentiel électrique, température qui ne change plus). Une idée de Fourier les relie : décomposer u en ondes sinusoïdales sin(kπx), les modes. Pour la chaleur, le mode k s'éteint comme e−k²π²κt : les détails fins disparaissent les premiers. Pour les ondes, il oscille comme cos(kπct) sans jamais s'éteindre. L'équation de Laplace décrit ce qui reste quand la chaleur a fini d'agir.
Pourquoi l'énergie se conserve-t-elle ? Et le moment cinétique ?
En 1918, Emmy Noether démontre un théorème qui relie deux mondes : à chaque symétrie des lois physiques correspond une quantité conservée. Si la loi ne change pas quand on attend (invariance dans le temps), l'énergie se conserve. Si elle ne change pas quand on tourne la figure (invariance par rotation), le moment cinétique L = x vy − y vx (la « quantité de rotation ») se conserve — c'est ce qui fait qu'une planète balaie des aires égales en des temps égaux.
Expérience : une planète autour d'une étoile. Deux curseurs brisent chacun une symétrie. Le premier ajoute un champ uniforme, qui a une direction privilégiée : la rotation n'est plus une symétrie. Le second fait varier la masse de l'étoile au cours du temps : l'invariance dans le temps disparaît.
Peut-on trouver une planète que personne n'a jamais vue, avec un crayon et la loi de Newton ?
Uranus, découverte en 1781, ne suivait pas la route que prévoyait la loi de Newton : des écarts de quelques dizaines de secondes d'arc s'accumulaient. Plutôt que de douter de la loi, Urbain Le Verrier fit l'hypothèse d'une planète inconnue qui tirait sur Uranus, et résolut le problème inverse : quelle planète, et où, produirait exactement ces écarts ? Le 23 septembre 1846, à Berlin, Johann Galle pointa sa lunette vers la position calculée et trouva Neptune à moins d'un degré de la prévision — il y a 180 ans jour pour jour.
La page refait le raisonnement dans un modèle simplifié (orbites dans un même plan, Neptune sur un cercle, longitudes vues du Soleil). Elle fabrique les observations d'Uranus de 1690 à 1845 (les premières sont de Flamsteed, qui l'avait prise pour une étoile), leur ajoute une erreur de mesure, puis oublie tout de Neptune. Étape 1 : elle cherche la meilleure orbite d'Uranus sans planète extérieure, par moindres carrés ; ce qui reste est le résidu. Étape 2 : pour chaque direction possible de la planète inconnue, elle cherche la masse qui explique le mieux ce résidu, et note la qualité de l'accord. La meilleure direction est la prévision.
Une loi devient une équation. La même équation sert alors à des phénomènes sans rapport apparent : ressort, circuit, pendule ; chaleur, encre, prix.
Les dimensions donnent la forme des lois, les modes de Fourier relient la chaleur, les ondes et l'équilibre, les symétries expliquent les lois de conservation.
Résoudre l'équation, c'est prévoir. Résoudre le problème inverse, c'est découvrir la cause cachée d'une observation, comme Neptune derrière les écarts d'Uranus.
Les limites des modèles. Toute équation physique est une approximation valable dans un domaine : le pendule linéaire pour les petits angles, la mécanique de Newton pour les vitesses faibles devant celle de la lumière. L'avance du périhélie de Mercure, que Le Verrier voulut aussi expliquer par une planète inconnue (Vulcain, jamais trouvée), demanda en fait une nouvelle théorie : la relativité générale.
Principes variationnels. Les lois de Newton, l'optique de Fermat et la plupart des équations de la physique s'obtiennent en cherchant ce qui rend minimale (ou stationnaire) une certaine quantité, l'« action ». C'est dans ce cadre que le théorème de Noether prend sa forme générale.
Problèmes inverses. Retrouver une cause à partir de ses effets — une planète à partir d'une orbite, une tumeur à partir d'un scanner, une faille à partir d'ondes sismiques — est souvent instable : de petites erreurs de mesure peuvent déplacer beaucoup la réponse. La planche 5 le montre en augmentant σ.
Analyse dimensionnelle célèbre. En 1950, G. I. Taylor estima l'énergie de la première explosion atomique à partir des seules photographies de la boule de feu, par un raisonnement de dimensions : le rayon croît comme (E t²/ρ)1/5.