Quatre lignes de calcul pour passer d'un référentiel à un autre. Elles remplacent Galilée, interdisent de dépasser la lumière, déplacent les étoiles dans le ciel et changent leur couleur.
Un même événement, une explosion par exemple, reçoit deux jeux de coordonnées de la part de deux observateurs. La transformation de Lorentz est la règle qui traduit l'un dans l'autre. Elle se comporte comme une rotation, mais d'un genre particulier : elle écrase le plan selon une diagonale et l'étire selon l'autre, en laissant les rayons lumineux (en jaune) sur eux-mêmes.
Une grille de l'espace-temps (espace à l'horizontale, temps à la verticale) déformée par une vitesse qui varie. Les rayons lumineux ne bougent pas : c'est toute la transformation.
Un observateur S′ file à la vitesse v le long de l'axe x de S. Leurs origines coïncident à t = t′ = 0. Pour un événement de coordonnées (x, t) dans S, voici ce qu'écrit S′ :
Faites glisser l'événement rouge : le point violet donne ses coordonnées dans S′. Le curseur « déformation » fait passer de la grille de S à celle qu'emploie S′ : c'est une image de ce que le calcul fait à tout le plan. Avec c = 1, tous les axes ont la même unité.
En gris, la grille fixe de S. En bleu, la grille déformée. En vert, l'hyperbole sur laquelle l'événement reste quelle que soit la vitesse de l'observateur.
est la matrice qui agit sur (x, t), de déterminant .
Ses deux valeurs propres sont k et 1/k, avec k = √((1+β)/(1−β)) = . Leurs directions propres sont les deux rayons lumineux.
Galilée écrit x′ = x − vt et t′ = t. Pourquoi cette formule a-t-elle tenu deux siècles ? Parce qu'elle est la limite de Lorentz quand c devient très grand devant v. Ici, v = 1 m/s est fixe et l'on fait varier c : à vous de voir à partir de quand la grille de Lorentz ne se distingue plus de celle de Galilée.
Lorentz : les axes x′ et t′ penchent tous deux, vers le rayon jaune.
Galilée : seule la ligne d'univers penche, les instants restent horizontaux, le rayon jaune n'a aucun rôle.
| Grandeur | Galilée | Lorentz |
|---|---|---|
| Date t | inchangée | change : t′ = γ(t − vx/c²) |
| Distance entre deux points au même instant | inchangée | contractée par γ dans le sens du mouvement |
| Vitesse de la lumière | c − v, c + v | c dans toute direction |
| Grandeur invariante | t et distance à t fixé, séparément | c²t² − x² − y² − z² |
| Composition de deux vitesses | v₁ + v₂ | (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂/c²) |
| Équations de Maxwell | changent de forme | gardent leur forme |
| Lois de Newton, écrites telles quelles | gardent leur forme | doivent être corrigées |
Dans un train à la vitesse v, on lance un objet à la vitesse u. Sa vitesse vue du quai n'est pas u + v. On la trouve en transformant deux événements de son mouvement :
En rouge, l'objet réel. En pointillé orange, ce qu'annonce l'addition simple. En jaune, un éclair parti au même moment : l'objet ne le rattrape jamais.
Vitesse vue du quai selon u. La droite orange (u + v) franchit c. La courbe bleue s'y arrête.
En 1851, Fizeau mesure la lumière dans un courant d'eau. Dans l'eau, elle va à c/n ; si l'eau coule à v, l'addition simple donne c/n + v. Il trouve bien moins : une fraction de v seulement, comme si l'éther n'était qu'à demi entraîné. Fresnel l'avait prévu en 1818 avec une hypothèse ad hoc. En 1907, Laue montre qu'il suffit de composer les vitesses.
Deux faisceaux parcourent le tube, l'un avec le courant, l'autre à contre-courant. Le rouge est le résultat composé, le pointillé orange l'addition simple. L'écart est considérablement exagéré quand v est petit.
Quand les deux vitesses ne sont pas alignées, une surprise apparaît. Faire une poussée selon x puis une poussée selon y ne donne pas la même chose que l'inverse. Les deux résultats vont à la même vitesse, mais dans des directions différentes. Leur différence est une rotation pure, sans qu'on ait rien fait tourner : c'est la rotation de Wigner.
En bleu : poussée x puis y. En rouge : poussée y puis x. Les vitesses finales font un angle. Le repère violet montre la rotation qui reste.
En voiture sous la pluie, les gouttes paraissent venir de l'avant. De même, un télescope sur une Terre en mouvement doit être légèrement incliné vers l'avant. Bradley découvre cet effet en 1728. Lorentz en donne la version exacte.
Dans le référentiel de l'étoile : l'éclair descend à la verticale. Le télescope avance, et il faut qu'il soit penché pour que la lumière le traverse sans en toucher les parois.
Pour une étoile dans une direction quelconque, la formule est cos θ′ = (cos θ + β)/(1 + β cos θ). Elle agit sur tout le ciel, et sur l'émission d'une source. Une source qui rayonne uniformément dans son référentiel projette, vue en mouvement, l'essentiel de sa lumière vers l'avant : c'est l'effet phare des électrons dans un synchrotron.
Direction vue en mouvement selon la direction vue au repos. La diagonale grise correspond à l'absence d'effet. En bas à droite, un cône très étroit.
Vingt-quatre rayons émis également dans toutes les directions par une source au repos, en gris, et les mêmes vus quand elle file vers la droite, en bleu.
Une sirène qui approche monte dans les aigus. La lumière d'une source en mouvement fait de même, avec un ingrédient de plus : l'horloge de la source elle-même ralentit. Même une source qui passe sur le côté, sans s'approcher, voit sa fréquence diminuer. C'est le Doppler transverse, inconnu de la physique classique.
Vagues émises par une source qui va vers la droite. Son horloge bat γ fois moins vite vue d'ici. La flèche marque l'observateur lointain, dans la direction choisie.
Spectre visible. Trait noir : la raie au repos. Trait blanc : la raie reçue par l'observateur.
Pourquoi l'aberration et Doppler vont-ils ensemble ? Parce qu'une onde plane a une phase, kx − ωt, qui compte des crêtes : elle ne peut pas dépendre de l'observateur. Pour cela, (ω, k) doit se transformer exactement comme (t, x) : c'est un quadrivecteur. La composante temporelle donne Doppler. La direction donne l'aberration. Une seule transformation fait les deux.
Un rayon lumineux dans le plan (kx, ω). Son image par Lorentz reste sur le cône ω = |k| : c'est le seul déplacement permis à un photon.
Réunissons le tout. Voici tout le ciel vu par un voyageur, le centre étant la direction de son mouvement, et le bord celle qu'il fuit. Les étoiles se resserrent vers l'avant (aberration), bleuissent et s'illuminent devant lui (Doppler), rougissent et s'éteignent derrière.
Carte azimutale équidistante du ciel entier : la distance au centre est l'angle à la direction de marche. Une bande dense suggère la Voie lactée. Le cercle marque ce qui était à 90° au repos. Couleurs et éclats : température × D et éclat × D⁴, schématiques.
| Date | Observation | Effet | Résultat |
|---|---|---|---|
| 1728 | Bradley | Aberration des étoiles | Environ 20″, soit c ≈ 301 000 km/s |
| 1851, 1886 | Fizeau ; Michelson et Morley | Lumière dans l'eau en mouvement | 0,434 contre 0,437 prévu |
| 1938 | Ives et Stilwell | Doppler du second ordre | Accord à quelques pour cent sur le terme relativiste |
| 2014 | Botermann et coll. | Doppler à 0,338 c, ions lithium | Accord à ±2,3·10⁻⁹ |
| COBE à Planck | Dipôle du fond diffus | Doppler à 370 km/s | 3 362,08 ± 0,64 µK |
Pourquoi les vitesses ne se composent-elles pas par addition ? Une vitesse est un rapport Δx/Δt, et les deux termes se transforment. L'addition des vitesses suppose t′ = t. Dès que t′ dépend de x, le dénominateur change, et apparaît le 1 + uv/c².
Voit-on vraiment ce ciel ? Oui, en principe, et l'image ci-dessus utilise les bonnes directions. Les couleurs sont simplifiées : en réalité, le rayonnement d'une étoile glisse dans le spectre, et l'infrarouge ou l'ultraviolet entrent ou sortent du domaine visible. L'étude de ces effets relativistes à grande vitesse est un exercice classique en infographie.
Dans la même série. origines-relativite-v1.html, postulats-einstein-v1.html, simultaneite-v1.html et dilatation-contraction-v1.html pour ce qui précède ; emc2-v1.html pour l'énergie et l'impulsion.
Sources principales. Einstein, 1905 ; Laue, Annalen der Physik 23, 1907 ; Michelson et Morley, American Journal of Science 31, 1886 ; Planck 2018, résultats III ; Botermann et coll., Physical Review Letters 113, 2014.