Comment un gaz échange-t-il de l'énergie avec l'extérieur ? Par le travail d'un piston et par la chaleur. Un seul dessin, le diagramme pression-volume, permet de lire les deux.
Une transformation fait passer un gaz d'un état à un autre. Quatre cas simples servent de briques : à température constante (isotherme), à pression constante (isobare), à volume constant (isochore) et sans échange de chaleur (adiabatique). Dans tous les cas, le premier principe tient le compte de l'énergie.
ΔU : variation d'énergie interne. W : travail reçu par le gaz. Q : chaleur reçue par le gaz. Ce qui entre dans le gaz est compté positivement.
Le gaz pousse le piston avec une force F = P·S, où S est la surface du piston. Si le piston avance de dx, le travail de cette force vaut P·S·dx = P·dV. Le travail reçu par le gaz est donc δW = −P·dV, et sur toute la transformation il vaut l'aire sous la courbe, avec un signe.
Le même état de départ et le même état d'arrivée, à la même température, peuvent coûter un travail différent. Comprimons un gaz au contact d'un bain à 300 K en posant des masses sur le piston : d'un seul coup, ou petit à petit. Chaque fois, le piston s'arrête quand le gaz équilibre la nouvelle pression extérieure, et le travail vaut −Pext·ΔV.
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température : ΔU = n·CV·ΔT. Choisissez une transformation et lancez-la depuis le même état de départ. Les valeurs sont intégrées le long du chemin, puis comparées aux formules.
| Transformation | Reste constant | Travail reçu W | Chaleur reçue Q | ΔU |
|---|---|---|---|---|
| Isotherme | T, donc P·V | −nRT·ln(V₂/V₁) | −W | 0 |
| Isobare | P, donc V/T | −P·(V₂−V₁) | n·CP·ΔT | n·CV·ΔT |
| Isochore | V, donc P/T | 0 | n·CV·ΔT | n·CV·ΔT |
| Adiabatique réversible | P·Vγ | n·CV·ΔT | 0 | n·CV·ΔT |
Avec CV = R/(γ−1) et CP = CV + R = γ·CV (relation de Mayer).
Quand la compression est trop rapide pour que la chaleur ait le temps de partir, le travail reçu reste dans le gaz et sa température monte. Dans une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, P·Vγ reste constant, ce qui donne aussi T·Vγ−1 constant.
Pourquoi un piston qui avance chauffe-t-il le gaz ? Parce qu'une molécule qui rebondit sur une paroi en mouvement repart plus vite, comme une balle sur une raquette qui avance. Voici 160 disques durs et un piston qui se déplace à vitesse imposée : aucune formule de thermodynamique n'est programmée, et les parois sont isolantes. À deux dimensions, on attend γ = 2, soit T·V constant.
Chaque point est un état ; chaque courbe, un chemin. On lit la température sur les isothermes, le signe du travail sur le sens de parcours, et le signe de la chaleur par rapport à l'adiabatique qui passe par le point.
Faites glisser l'état, puis tournez la flèche pour choisir une direction de départ. La rosace dit, pour chaque direction, ce que le gaz va faire.
Dans un cycle, le gaz revient à son état de départ : ΔU = 0 et ΔS = 0. Mais le travail ne s'annule pas : le travail net est l'aire enfermée. Parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre, le cycle fournit du travail, c'est un moteur. Dans l'autre sens, il en consomme pour déplacer de la chaleur, c'est un réfrigérateur ou une pompe à chaleur.
W = −∫P dV, l'aire sous la courbe. Positif en compression, négatif en détente, nul à volume constant.
Q se déduit du premier principe : Q = ΔU − W. Elle dépend du chemin, comme le travail. Seule U ne dépend que de l'état.
Isothermes pour T, sens de parcours pour W, adiabatiques pour Q, aire enfermée pour le travail d'un cycle.
D'où vient P·Vγ constant ? Avec δQ = 0, le premier principe donne n·CV·dT = −P·dV. En remplaçant P par nRT/V, on trouve dT/T = −(γ−1)·dV/V. En intégrant, T·Vγ−1 reste constant, et avec P·V = nRT, P·Vγ aussi.
Adiabatique ne veut pas dire isentropique. Sans échange de chaleur, l'entropie peut quand même augmenter si la transformation est irréversible, comme le montre l'aller-retour rapide de la planche 3. La formule P·Vγ = constante vaut seulement pour une adiabatique réversible.
Un seul P pour tout le gaz. L'aire sous une courbe suppose que le gaz a une pression bien définie à chaque instant : c'est la condition d'une transformation lente. Dans une transformation brutale, on utilise la pression extérieure Pext, ce que fait l'escalier de la planche 1.
Les valeurs de γ. La page utilise les valeurs théoriques 5/3, 7/5 et 9/7. Calculées avec les équations d'état de référence à 300 K et 1 bar, elles valent environ 1,667 pour l'hélium, 1,402 pour l'air et 1,293 pour le CO₂.
Le modèle moléculaire. La simulation de la planche 3 est à deux dimensions, où chaque molécule n'a que deux directions de mouvement : d'où γ = 2 au lieu de 5/3. Chaque choc avec le piston est calculé à son instant exact, et les chocs entre disques redistribuent l'énergie entre les directions. Sa taille réduite la rend bruitée. Avec des disques de rayon 0,05, leur place n'est pas tout à fait nulle : c'est la correction b de Van der Waals, avec b = π·d²/2 par disque de diamètre d. Les disques sont dessinés plus gros qu'ils ne sont.
Les cycles idéaux. Le calcul suppose un gaz parfait à γ constant, et des échanges réversibles. Pour Stirling, le rendement affiché ne suppose aucun régénérateur : avec un régénérateur parfait, la chaleur des isochores est recyclée, et le rendement atteint celui de Carnot. Pour Carnot, le taux de compression règle la seule compression isotherme et il est plafonné à 6. Pour Otto et Diesel, si la température maximale choisie est inférieure à celle de fin de compression, l'apport de chaleur devient presque nul : le curseur n'a alors plus d'effet.
Dans la même série, la page Gaz parfaits et gaz réels étudie la surface d'état, et la page Thermodynamique présente le second principe et les changements d'état.