Une théorie vaut ce que valent ses prévisions. Celle d'Einstein annonce que la lumière se décale et se courbe, que les horloges dépendent de l'altitude, qu'une orbite tourne et qu'un signal radar prend du retard. Voici comment on l'a vérifié, chiffres à l'appui, jusque dans le GPS.
Tous les effets de cette page viennent de la même métrique, celle de Schwarzschild autour d'une masse. Ils tiennent dans un seul dessin. Les effets y sont très exagérés.
Autour du Soleil : l'orbite de Mercure tourne lentement sur elle-même, un rayon d'étoile est dévié, un signal radar ralentit en passant près du Soleil, et une horloge proche bat moins vite qu'une horloge lointaine.
Ce sont deux lectures d'un même fait. Dans un champ statique, tous les signaux mettent le même temps à monter : ceux qu'une horloge envoie en bas arrivent donc en haut au même rythme, lu avec le temps t de la métrique. Mais une horloge ne mesure pas t. Elle mesure dτ = √(1 − rs/r) dt. En bas, elle compte moins de battements. Le signal reçu en haut paraît donc plus lent : c'est le décalage vers le rouge gravitationnel.
Une onde monte, sa longueur d'onde s'allonge (très exagéré). À droite, les battements émis en bas et ceux reçus en haut, écart lui aussi exagéré.
Plus r se rapproche de rs = 2GM/c², plus l'horloge ralentit. Le rythme réel figure sur les deux cadrans : pour la Terre et le Soleil, il est indiscernable ; on ne voit l'écart qu'à l'approche d'un astre très compact.
À gauche, l'horloge lointaine (verte) et l'horloge locale (rouge), sans exagération. À droite, l'écart de rythme 1 − dτ/dt selon r/rs, en échelle logarithmique.
En octobre 1971, Hafele et Keating font le tour du monde en avion de ligne avec quatre horloges au césium. Deux effets s'y mêlent. L'altitude fait gagner du temps. La vitesse, vue d'un repère non tournant, change avec le sens de vol : vers l'est, l'avion s'ajoute à la rotation de la Terre et l'horloge perd ; vers l'ouest, elle gagne.
La Terre vue du pôle nord, dans un repère qui ne tourne pas. L'avion suit son parallèle. À droite, le modèle de cette page, la prévision publiée et la mesure, en nanosecondes.
En suivant la métrique de Schwarzschild, un rayon de lumière de paramètre d'impact b vérifie u″ + u = (3/2) rs u², avec u = 1/r. L'angle total est, pour b grand devant rs, α = 4GM/(c²b). Un corpuscule de lumière newtonien ne donnerait que la moitié : ce facteur 2, dû à la courbure de l'espace, est le vrai test.
À gauche, de vrais rayons calculés près d'un trou noir, sans exagération. Le rouge est celui que vous choisissez. À droite, l'angle selon b : calcul complet (rouge), formule (vert) et Newton (orange).
Pendant une éclipse, on photographie les étoiles proches du Soleil, puis on compare leur position à celle prise de nuit. L'écart suit Δ = L · R☉/r. Tout est dans l'ajustement de L, en présence d'erreurs de mesure. Reproduisez-le : vous choisissez la « vraie » théorie, le nombre d'étoiles et le bruit de mesure.
À gauche, le ciel autour du Soleil : déplacements des étoiles, très agrandis. À droite, les écarts mesurés selon R☉/r, avec la droite ajustée, la droite d'Einstein (vert) et celle de Newton (orange).
Si une masse se trouve entre nous et une source lointaine, les rayons lui passent des deux côtés. On voit alors plusieurs images. Pour une masse ponctuelle, l'équation de la lentille est β = θ − θE²/θ, où β est la vraie position de la source, θ celle de l'image et θE le rayon d'Einstein.
À gauche, la source telle qu'elle est. À droite, ce qu'on voit : chaque pixel est calculé en remontant le rayon. Le cercle pointillé est le rayon d'Einstein. La croix bleue est la lentille.
Quand la lentille est une simple étoile, les images sont trop proches pour être séparées, et on ne voit qu'une augmentation de lumière. La source semble s'allumer puis s'éteindre, selon une courbe symétrique et indépendante de la couleur.
À gauche, le passage de la source derrière la lentille et ses deux images. À droite, l'amplification au cours du temps, en unités du temps de traversée.
Le rayon d'Einstein vaut θE = √(4GM DLS/(c² DL DS)). Il dépend de la masse totale de la lentille, visible ou non. Voilà pourquoi les lentilles pèsent la matière noire : les arcs ne se trompent pas sur la masse. En 1936, Einstein jugeait l'effet d'une étoile hors de portée. Un an plus tard, Zwicky proposait que des galaxies y parviendraient.
Source, lentille et observateur. Les distances ne sont pas à l'échelle et l'angle est très exagéré.
Le Système solaire offre un laboratoire d'une grande précision. Le premier test de la relativité générale y était connu cinquante ans avant elle. Le dernier grand test classique n'y a été imaginé qu'en 1964.
L'ellipse de Mercure tourne de 574″ par siècle. Les autres planètes en expliquent 531″. Le Verrier relève l'écart dès 1859 et imagine une planète invisible, Vulcain, qu'on ne trouvera jamais. En novembre 1915, Einstein obtient 43″ : aucun paramètre n'est ajusté.
À gauche, l'orbite calculée, l'effet amplifié de A. À droite, le bilan en secondes d'arc par siècle.
La même formule vaut ailleurs. Plus l'orbite est serrée et allongée, plus l'effet est grand. Il existe même des astres où il saute aux yeux : un pulsar double et une étoile qui frôle un trou noir.
| Corps | a | e | Par tour | Cumul | Référence |
|---|
Avance par tour, calculée par la formule, en échelle logarithmique. Chaque graduation multiplie par 100.
Irwin Shapiro remarque en 1964 qu'un signal radar passant près du Soleil doit revenir plus tard. Avec la métrique, la vitesse dr/dt de la lumière, mesurée de loin, vaut environ c(1 − (1 + γ)GM/(rc²)). Pour un observateur local, elle reste c. L'aller-retour prend alors, en plus :
À gauche, la Terre, le Soleil et la cible : un signal fait l'aller-retour, ralenti près du Soleil. À droite, le retard selon la position de la cible sur son orbite, avec le pic de la conjonction.
Un récepteur GPS mesure l'heure d'arrivée de signaux envoyés par des satellites, et en tire sa position. Une erreur d'une nanoseconde fait 30 cm. Les horloges embarquées subissent justement les effets de la planche 1 : le GPS est un test de la relativité générale qui fonctionne en permanence.
Le satellite est plus haut : son horloge gagne. Il va vite : elle perd. Le bilan fait 38,6 µs par jour. On règle donc l'oscillateur en usine sur une fréquence très légèrement plus basse. Mais une orbite n'est jamais parfaitement circulaire : l'altitude et la vitesse varient, ce qui ajoute un terme périodique, que le récepteur corrige lui-même.
À gauche, les deux effets et le bilan. À droite, l'écart périodique de l'horloge sur un tour, dû à l'excentricité e : calcul pas à pas (rouge) et formule de Ashby (vert).
On lit partout que, sans relativité, le GPS se tromperait de 11 km par jour. C'est la dérive des horloges exprimée en distance, mais pas directement l'erreur de position. Le récepteur résout quatre inconnues, x, y, z et l'erreur de sa propre horloge. Une dérive commune à tous les satellites est donc absorbée par cette dernière. Ce qui nuit, c'est l'écart entre satellites. Résolvons le vrai système, avec six satellites au-dessus de Paris.
À gauche, le récepteur, les signaux et le décalage de chaque horloge. À droite, l'erreur de position trouvée selon le temps écoulé depuis la dernière remise à l'heure. Trait orange : la dérive de 38,6 µs par jour, en distance.
Toutes les corrections n'ont pas la même importance. Voici leur effet en distance, calculé pour un satellite GPS.
Effet en mètres, échelle logarithmique. Chaque graduation multiplie par 10. Les trois premières lignes s'entendent par jour.
| Effet | Expérience | Prévision | Mesure |
|---|---|---|---|
| Décalage gravitationnel | Pound et Rebka, 1960 | 2,46·10⁻¹⁵ sur 22,5 m | (2,56 ± 0,25)·10⁻¹⁵ |
| Horloges et altitude | Hafele et Keating, 1971, vol ouest | +275 ± 21 ns | +273 ± 7 ns |
| Déviation de la lumière | Dyson, Eddington, Davidson, 1919 | 1,75″ | 1,98 ± 0,18″ ; 1,61 ± 0,45″ |
| Déviation (radio) | VLBI, 2004 | γ = 1 | 0,9998 ± 0,0004 |
| Périhélie de Mercure | Planétologie, 2013 | 42,98″ par siècle | 42,98 ± 0,04″ |
| Retard de Shapiro | Cassini, 2003 | γ − 1 = 0 | (2,1 ± 2,3)·10⁻⁵ |
| Horloge de satellite | NTS-2, 1977 | 446,5·10⁻¹² | 442,5·10⁻¹² |
Le paramètre γ. On évalue une théorie avec le formalisme PPN : γ dit combien d'espace courbe produit une unité de masse. La déviation et le retard sont proportionnels à (1 + γ)/2 ; le périhélie à (2 + 2γ − β)/3.
Que teste vraiment le décalage ? Il découle du principe d'équivalence : il teste moins les équations d'Einstein que l'idée de l'espace-temps courbe. La déviation complète, le périhélie et le retard testent davantage les équations.
Une prudence. Le test de Mercure dépend aussi de l'aplatissement du Soleil, qui ajoute environ 0,03″ : un faible aplatissement mesuré a clos le débat des années 1960.
Dans la même série. equations-einstein-v1.html pour d'où vient la métrique ; espace-temps-courbe-v1.html pour la géométrie ; principe-equivalence-v1.html pour les marées et le décalage en fusée.
Sources principales. Will, Living Reviews, 2014 ; Ashby, Living Reviews, 2003 ; Hafele et Keating, Science, 1972 ; Gilmore et Tausch-Pebody, 2020 ; GRAVITY Collaboration, Astronomy & Astrophysics, 2020 ; Everitt et coll. 2011.