Tout le monde croit savoir ce qu'est la température. Mais pourquoi un seul nombre suffit-il à prévoir dans quel sens la chaleur va passer, entre deux objets qui ne se sont jamais touchés ?
Le principe zéro tient en une phrase : si deux corps sont chacun en équilibre thermique avec un même troisième, alors ils sont en équilibre thermique entre eux. Cela paraît évident. Pourtant, c'est lui qui rend possible le thermomètre : on peut comparer deux objets sans les mettre en contact, à condition de passer par un intermédiaire.
Cette évidence n'en est pas une : deux morceaux de fer attirés chacun par le même aimant ne s'attirent pas forcément entre eux. « Être attiré par » n'est pas une relation qui se transmet. L'équilibre thermique, lui, se transmet, et c'est un fait d'expérience. Le principe porte le numéro zéro parce qu'il a été nommé après les deux premiers, alors qu'il les précède logiquement : ils parlent de température, et c'est lui qui permet de la définir.
Deux corps sont en équilibre thermique lorsque, séparés par une paroi qui laisse passer la chaleur, ils n'échangent plus rien en moyenne. Ce qui s'égalise alors est la température, et non l'énergie.
Posez la main sur du métal et sur du bois, dans la même pièce. Le métal semble plus froid, alors qu'ils sont à la même température. La main ne mesure pas une température : elle sent le flux de chaleur qui la quitte. Ce flux dépend de l'effusivité e = √(kρc) du matériau, où k est sa conductivité, ρ sa masse volumique et c sa capacité massique.
Trois corps A, B et C sont reliés par des parois réglables. Une paroi diatherme laisse passer la chaleur, une paroi adiabatique la bloque. Vérifiez l'énoncé par l'expérience.
En mathématiques, le principe zéro dit que « être en équilibre thermique avec » est une relation d'équivalence : elle est réflexive, symétrique et transitive. Elle range donc tous les corps en classes séparées, et la température est simplement l'étiquette de la classe. Comparez à une relation très proche, « sembler aussi chaud au toucher », où deux corps sont déclarés équivalents si l'écart reste sous le seuil de nos sens.
Un thermomètre est un corps C dont une propriété visible change avec la température : longueur d'une colonne, résistance électrique, pression d'un gaz. Grâce au principe zéro, il lit sa propre température, et celle-ci devient celle de l'objet une fois l'équilibre atteint.
Plongeons un thermomètre à 20 °C dans de l'eau à 60 °C. Il se réchauffe et, ce faisant, il refroidit un peu l'eau. La lecture finale n'est donc jamais tout à fait la température d'avant la mesure.
Prenons trois thermomètres qui utilisent des propriétés différentes, tous étalonnés à l'identique : ils affichent 0 dans la glace fondante, 100 dans l'eau bouillante, et on gradue linéairement entre les deux. La référence est le thermomètre à gaz. Le principe zéro garantit l'existence de l'égalité, mais il ne dit pas quel nombre lui donner.
Enfermons un gaz dans un volume fixe et regardons sa pression. Elle augmente en ligne droite avec la température. Prolongeons cette droite vers le bas : elle atteint une pression nulle vers −273 °C.
Les échelles ne diffèrent que par leur origine et, pour Fahrenheit, par la taille du degré. Le kelvin part du zéro absolu. Depuis 2019, il est défini en fixant la constante de Boltzmann k = 1,380 649·10⁻²³ J/K : une température est une énergie exprimée dans une autre unité. T(K) = t(°C) + 273,15.
Dans un gaz parfait, la température mesure l'agitation : l'énergie cinétique moyenne de translation d'une molécule vaut (3/2)·k·T. Cette réponse explique aussi pourquoi le principe zéro est vrai, et pas seulement qu'il l'est.
Des molécules frappent les parois : elles créent une pression P·V = (2/3)·N·⟨Ec⟩. La loi des gaz parfaits dit par ailleurs P·V = N·k·T. En comparant les deux, on obtient ⟨Ec⟩ = (3/2)·k·T. Ici, 2 000 molécules suivent la loi de Maxwell. On en dessine 300, avec leur vitesse relative réelle, très ralenties.
Voici l'expérience du principe zéro à l'échelle des molécules. Deux gaz de disques durs, de masses différentes, sont séparés par une paroi : un piston qui vibre entre deux butées très proches. Il transmet l'énergie sans laisser passer de matière : c'est une paroi diatherme. Aucun thermostat n'intervient, seuls des chocs élastiques sont simulés.
Pour un gaz, on a relié T à l'agitation. Mais la température existe aussi pour les solides, où l'énergie ne s'égalise pas toujours par molécule. L'explication générale vient de l'entropie, S = k·ln Ω, où Ω compte les façons de répartir l'énergie. Prenons deux solides d'Einstein : N oscillateurs se partagent q quanta d'énergie, et on peut tout compter exactement, avec Ω = C(q+N−1, q).
On met A au contact d'un grand solide C, puis on les sépare. On fait de même avec B. Enfin, on met A et B au contact. Le principe zéro annonce qu'aucune énergie ne passera, à une fluctuation près. C est choisi très grand, pour que ses deux contacts ne changent presque pas sa température.
Deux corps au contact finissent à la même température. L'énergie, elle, ne s'égalise pas. La main ressent des flux, pas des températures.
Le principe zéro fonde le thermomètre. Le gaz très dilué fournit l'échelle absolue, celle qui ne dépend d'aucune substance. T(K) = t(°C) + 273,15.
Dans un gaz parfait, ⟨Ec⟩ = (3/2)·k·T. Dans tous les cas, 1/T = dS/dU : l'égalité d'une pente est ce qui décide de l'équilibre.
Température et énergie par molécule. L'égalité ⟨Ec⟩ = (3/2)·k·T concerne la translation des molécules. Les molécules comme N₂ tournent aussi, et cette énergie s'ajoute à l'énergie interne, sans changer la relation pour la translation. Dans un solide, l'énergie par oscillateur dépend de la nature du solide : c'est pourquoi la définition générale passe par l'entropie.
La limite du modèle classique. Près du zéro absolu, la mécanique quantique change l'image : les molécules gardent une énergie minimale, et un gaz parfait de fermions conserve une agitation importante même à T = 0. « T = 0 signifie immobile » n'est donc vrai que dans le modèle classique.
Une échelle pratique. Les laboratoires utilisent l'Échelle internationale de température de 1990, définie par des points fixes et des instruments d'interpolation comme le thermomètre à résistance de platine. Elle approche la température thermodynamique avec une grande exactitude.
Les limites du modèle de la main. La formule de la température de contact suppose deux milieux épais et homogènes, ainsi qu'un contact parfait. Une vraie peau a des couches, une circulation sanguine, et le contact n'est jamais parfait : les valeurs du tableau donnent les ordres de grandeur et le classement.
Le piston de la planche 5. Les butées l'empêchent de se déplacer durablement, si bien qu'il transmet de l'énergie sans égaliser les pressions par déplacement. Une paroi réelle agit de même à travers les vibrations de ses atomes. Avec 70 molécules de chaque côté, l'énergie fluctue beaucoup d'un instant à l'autre : la moyenne sur la durée est donc nécessaire. Sur 6 simulations indépendantes de 8 000 unités de temps, le rapport des énergies vaut 1,00 ± 0,01 pour mB = 1, 1,02 ± 0,01 pour mB = 10 et 1,02 ± 0,02 pour mB = 40. Ces chocs doivent être calculés à leur instant exact : un premier calcul par pas de temps faisait apparaître un faux écart de près de 18 % pour les molécules lourdes.
Les incertitudes de la planche 5. Avec 2 000 molécules, l'énergie moyenne fluctue naturellement d'environ √(2/(3N)), soit 1,8 % d'un tirage à l'autre. C'est pourquoi la vitesse et l'énergie mesurées ne tombent pas exactement sur les formules. En revanche, la température déduite des chocs et la température cinétique concernent les mêmes molécules : elles se rejoignent lorsque la durée de mesure s'allonge.
Dans la même série, la page Température traite du point de vue du mathématicien et des instruments, et la page Entropie prolonge la dernière planche.