Les systèmes de plusieurs particules
Quand plusieurs particules forment un système, on doit décrire leurs résultats conjoints. Si elles sont identiques, la symétrie de l’état impose des contraintes qui expliquent une grande partie de la structure de la matière.
Parcours : composer des états, comprendre l’indiscernabilité, distinguer bosons et fermions, puis relier Pauli aux orbitales atomiques et au tableau périodique.
35 à 50 minutes • écriture noire sur fond blanc cassé • animations et activités autonomes, sans connexion.
La description d’un système composé
Pour deux systèmes A et B, l’espace des états est le produit tensoriel H_A ⊗ H_B. Si chacun possède deux états de base, l’ensemble possède quatre états de base : |00⟩, |01⟩, |10⟩ et |11⟩.
∑ |cᵢⱼ|² = 1
Un état produit
cᵢⱼ = αᵢβⱼ
L’activité prend des amplitudes réelles positives. Les probabilités conjointes se factorisent : P(i,j) = P_A(i)P_B(j). Les deux résultats sont indépendants pour ces mesures locales sur cet état produit.
Mais tout état n’est pas un produit
Cet état est intriqué : il ne peut pas être factorisé en deux états purs individuels. Dans cette base, les résultats 00 et 11 ont chacun une probabilité 1/2.
Un mélange classique « moitié 00, moitié 11 » donne les mêmes probabilités dans cette base, mais ne constitue pas le même état. D’autres mesures révèlent la différence : corrélation ne suffit pas à prouver l’intrication.
Pour N systèmes à deux états, il faut en général 2ᴺ amplitudes complexes avant de tenir compte de contraintes particulières. Pour N particules sans spin, Ψ(r₁,…,r_N) dépend des coordonnées de toutes les particules dans un espace de configurations à 3N dimensions.
Les particules identiques
Deux électrons ont les mêmes propriétés intrinsèques : masse, charge, spin. On ne peut pas leur attribuer des identités physiques permanentes comme à des billes numérotées.
Les indices « 1 » et « 2 » sont des places dans l’écriture mathématique. Échanger ces places ne crée pas une nouvelle configuration physiquement distinguable. Les probabilités observables doivent rester les mêmes.
Lorsque des paquets sont très éloignés et que leur recouvrement est négligeable, on peut souvent les suivre approximativement comme deux objets localisés distincts. Cela ne change pas leur nature de particules identiques.
La règle d’échange concerne toutes les variables, positions et spin compris. Les contraintes sur la partie spatiale seule dépendent donc aussi de l’état de spin.
Bosons et fermions
| Bosons | Fermions | |
|---|---|---|
| Spin | Entier : 0, 1, 2… | Demi-entier : 1/2, 3/2… |
| Échange de deux particules | État symétrique | État antisymétrique |
| Exemples | Photons, atomes d’hélium-4 dans leur ensemble | Électrons, protons, neutrons |
| Occupation d’un état individuel | Plusieurs possibles | Au plus un par état complet |
Lien spin-statistique dans le cadre usuel en trois dimensions. Les particules composites peuvent être bosoniques ou fermioniques ; leur description comme particules composites identiques suppose le régime adapté.
Cette formule suppose φ_a et φ_b orthonormées. Le signe + correspond aux bosons ; le signe − aux fermions dans le modèle sans variable de spin ci-dessous.
Une carte des résultats conjoints
φ₁ et φ₂ sont les deux premières fonctions de la boîte, sur 0 ≤ x/L ≤ 1. L’axe horizontal donne x₁/L ; l’axe vertical donne x₂/L. Plus la couleur verte est intense, plus la densité conjointe est élevée.
Fermions de spins identiques : l’amplitude spatiale s’annule sur la diagonale x₁ = x₂.
Bosons : la symétrie modifie les corrélations de position. Dans ce modèle, la probabilité d’être dans la même moitié de la boîte est plus élevée que pour les fermions.
La carte décrit un espace de configurations à deux coordonnées : ce n’est pas une photographie de deux particules dans un plan. L’antisymétrie n’est pas une force répulsive supplémentaire.
Vert : |Ψ|² avec une échelle commune aux trois cartes. La probabilité d’une égalité exacte de positions est nulle pour toute densité continue ; le trait distinctif fermionique est ici l’annulation de la densité sur la diagonale.
L’animation échange des étiquettes mathématiques, pas deux trajectoires physiques. Pour la configuration illustrée : avant et après l’échange, la densité est identique ; l’amplitude fermionique change de signe.
Le principe d’exclusion de Pauli
Si deux fermions identiques occupaient exactement le même état individuel complet, la combinaison antisymétrique serait nulle. Ce vecteur nul ne décrit aucun état physique.
Deux électrons ne peuvent pas partager le même état complet. Ils peuvent en revanche occuper la même orbitale spatiale avec des spins opposés.
Atelier : une seule orbitale spatiale
L’orbitale contient deux états de spin disponibles dans la base choisie : ↑ et ↓. On ne peut remplir chaque état qu’une fois.
Pour deux électrons dans la même orbitale, la partie spatiale est symétrique ; la partie de spin doit être antisymétrique, c’est l’état singulet :
Les deux flèches dans une case sont une notation d’occupation, pas des étiquettes permettant d’identifier durablement « l’électron du haut » et « celui du bas ».
La structure électronique des atomes
Dans une description approximative par orbitales, chaque sous-couche l possède 2l+1 orbitales spatiales. Avec les deux états de spin, sa capacité est 2(2l+1).
| Sous-couche | l | Orbitales | Capacité |
|---|---|---|---|
| s | 0 | 1 | 2 électrons |
| p | 1 | 3 | 6 électrons |
| d | 2 | 5 | 10 électrons |
| f | 3 | 7 | 14 électrons |
- Pauli : au plus deux électrons par orbitale spatiale, avec spins opposés.
- Remplissage : les sous-couches se remplissent selon leur énergie effective, qui dépend des interactions entre électrons.
- Règle de Hund : pour des orbitales dégénérées d’une sous-couche, l’occupation simple avec spins parallèles est généralement favorisée avant l’appariement.
Les règles de Hund découlent des interactions et de la symétrie des états ; elles ne se réduisent pas à Pauli. L’état exact de l’atome est un état à plusieurs électrons, et non une liste d’orbitales indépendantes parfaitement exactes.
Le schéma de remplissage 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p est un guide. Il existe des exceptions, notamment le chrome et le cuivre. Les énergies effectives changent avec l’occupation et l’ionisation ; l’ordre de remplissage n’est pas une échelle d’énergie universelle et fixe.
Explorer les 36 premiers éléments
Choisissez un atome neutre. Le schéma montre une configuration électronique fondamentale usuelle et un diagramme d’occupation conforme à Pauli et à Hund. Les exceptions du chrome et du cuivre sont incluses.
Le tableau se fait défiler horizontalement sur un petit écran. Les colonnes correspondent aux groupes 1 à 18 ; les lignes aux périodes. Les cases ne couvrent ici que Z = 1 à 36.
Les périodes reflètent la construction des couches électroniques. Les éléments d’un même groupe possèdent souvent des structures de valence analogues, ce qui explique des ressemblances chimiques. L’hélium est placé avec les gaz nobles bien que sa configuration soit 1s².
Exemples : le néon 1s²2s²2p⁶ a une couche externe fermée ; le sodium ajoute un électron 3s¹, facilement mobilisable dans de nombreuses réactions. Les métaux de transition mettent en jeu les sous-couches d, ce qui enrichit la chimie.
Le remplissage animé parcourt des atomes neutres successifs avec des nombres de protons différents. Il ne représente pas l’ajout réel d’électrons à un noyau inchangé, qui formerait des ions.
Une vue d’ensemble
| Étape | Conséquence |
|---|---|
| Produit tensoriel | États et probabilités conjoints |
| Indiscernabilité | Contraintes d’échange sur l’état complet |
| Antisymétrie fermionique | Exclusion d’une double occupation d’un même état complet |
| Pauli et interactions électroniques | Organisation des couches et sous-couches |
| Répétition des structures de valence | Organisation et tendances du tableau périodique |
Quiz corrigé
À retenir : les propriétés de l’ensemble ne se résument pas toujours à celles de chaque particule prise isolément. La symétrie d’échange et les interactions structurent les états possibles et contribuent à l’organisation de la matière.