Une turbine, une tuyère, un radiateur de voiture : la matière y entre et en ressort sans cesse. Pour les comprendre, on ne suit plus un morceau de fluide : on regarde une boîte fixe, et on compte ce qui franchit sa frontière.
Un système ouvert échange de la matière avec l'extérieur. On le délimite par un volume de contrôle, une frontière imaginaire et fixe. En régime permanent, rien ne change à l'intérieur au cours du temps : ce qui entre est exactement compensé par ce qui sort. Deux lignes suffisent alors.
Le débit massique ṁ est la masse qui franchit une section par seconde : ṁ = ρ·A·V, avec ρ la masse volumique, A l'aire de la section et V la vitesse. La matière ne disparaît pas : la masse contenue ne varie que si les débits d'entrée et de sortie diffèrent, dm/dt = ṁe − ṁs.
Pour entrer dans la boîte, un kilogramme de fluide doit pousser celui qui le précède. Il reçoit du fluide en amont un travail P₁·v₁, et en sortie il cède P₂·v₂ à celui qui suit (v est le volume massique, en m³/kg). C'est le travail de transvasement. Il accompagne toujours le fluide : autant le ranger avec son énergie interne. On obtient h = u + P·v.
Le bilan compte trois sortes d'énergie, toutes par kilogramme. Sont-elles du même ordre ? Faites glisser les curseurs jusqu'à égaliser les barres. Les équivalences sont souvent surprenantes.
Une vanne, ou un simple étranglement, n'échange presque ni chaleur (trop rapide) ni travail (rien ne tourne). Si l'on néglige aussi la variation de vitesse, il reste h₂ = h₁. Pour un gaz parfait, h ne dépend que de T : rien ne change. Les gaz réels, eux, se refroidissent ou se réchauffent : c'est l'effet Joule-Thomson. Toutes les valeurs viennent d'une équation d'état réelle.
Dans ces machines, la chaleur échangée et les variations de vitesse et d'altitude sont petites. Le bilan se réduit à wu = h₂ − h₁ : le travail se lit directement sur l'enthalpie. La référence est la machine isentropique (adiabatique et réversible), et le rendement isentropique dit ce qu'on en obtient vraiment.
Pour élever la pression, le travail isentropique vaut ∫v·dP, l'aire à gauche de la courbe. Or un liquide a un volume massique des centaines de fois plus petit qu'un gaz. Toute la différence entre une centrale à vapeur et une turbine à gaz est là.
Ces deux organes n'ont aucune pièce mobile : wu = 0. Une tuyère, sans échange de chaleur, change l'enthalpie en vitesse : V₂²/2 − V₁²/2 = h₁ − h₂. Un échangeur, sans variation sensible de vitesse, fait passer de l'enthalpie d'un fluide à l'autre : ṁc·(he − hs)chaud = ṁf·(hs − he)froid.
Tant que le gaz va moins vite que le son (nombre de Mach M < 1), resserrer le conduit l'accélère. Au-delà de M = 1, c'est l'inverse : le gaz se détend si vite que c'est en élargissant le conduit qu'on l'accélère. D'où la forme en sablier, proposée par Laval pour ses turbines à vapeur.
Un turboréacteur met bout à bout entrée d'air, compresseur, chambre de combustion, turbine et tuyère. Chaque organe suit le même bilan, et on peut placer le volume de contrôle où l'on veut, même autour du moteur entier. Et tout cela suppose un écoulement stable : voyons aussi comment il s'établit.
Voici la tuyère de la planche 4 (rapport de sections 1,6), non plus décrite par ses formules de régime permanent, mais calculée pas à pas par les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie, sur 150 petits volumes. Le gaz part du repos, et le réservoir s'ouvre : tout ce qui entre et sort est compté.
Dans une boîte fixe, dm/dt = ṁe − ṁs. En régime permanent, ρ·A·V ne change pas d'une section à l'autre : on peut donc en tirer les vitesses.
h = u + P·v range avec le fluide le travail qu'il faut pour le faire entrer et sortir. Bilan : q + wu = Δ(h + V²/2 + g z).
Turbine et compresseur : wu = Δh. Tuyère : Δh se change en vitesse. Échangeur : Δh passe d'un fluide à l'autre. Vanne : Δh = 0.
Plusieurs entrées et sorties. Le bilan général s'écrit : dE/dt = Q̇ + Ẇu + Σe ṁ·(h + V²/2 + g z) − Σs ṁ·(h + V²/2 + g z). En régime permanent, dE/dt = 0. L'entropie suit la même logique : Σs ṁ·s − Σe ṁ·s = Σ Q̇/T + Ṡp.
Le travail réversible ∫v·dP. Pour un écoulement réversible, sans variation de vitesse ni d'altitude, wu = ∫v·dP. C'est différent du travail −∫P·dv d'un système fermé : la différence est justement le transvasement. Pour un liquide de densité constante, et sans chaleur ni travail, on retrouve l'équation de Bernoulli : P/ρ + V²/2 + g z = constante.
Les modèles. Tuyère : écoulement quasi unidimensionnel d'un gaz parfait à γ = 1,4, isentropique sauf au travers du choc droit. Hors de la tuyère, les chocs obliques et les faisceaux de détente ne sont pas représentés. Échangeur : U et les capacités constants, pas de pertes vers l'extérieur. Turboréacteur : cp = 1 005 J·kg⁻¹·K⁻¹, γ = 1,4 partout, pouvoir calorifique de 43 MJ/kg, vitesses internes négligées, pas de perte de pression, tuyère adaptée.
La simulation. Volumes finis à deux étages en temps (schéma HLL avec reconstruction linéaire limitée). Le choc y est étalé sur quelques mailles, d'où un léger écart de position. L'entrée suit le réservoir et la sortie impose la pression extérieure tant que le gaz y reste subsonique, par la méthode des caractéristiques.
Les données. Tables de vapeur d'eau, vanne et air réel : CoolProp 8.0.0. Les rendements usuels, les débits proposés, et la masse volumique de l'eau à 1 000 kg/m³ sont donnés à titre d'exemple. Le tableau des centrales de la page voisine donne des rendements réels complets.
Dans la même série : L'enthalpie et la calorimétrie, Le second principe et l'entropie, Moteurs, réfrigérateurs et pompes à chaleur, Changements d'état et diagrammes de phase.