Le spin
Certains systèmes quantiques donnent seulement deux résultats possibles lorsqu’on mesure une composante de leur moment cinétique. Le spin 1/2 en est l’exemple fondamental.
Objectif : comprendre les deux sorties de Stern-Gerlach, décrire un état à deux composantes et calculer les probabilités de mesure selon n’importe quel axe.
Parcours : 30 à 40 minutes. Écriture noire sur fond blanc cassé. Animations autonomes sans connexion. Modèles de mesures projectives idéales ; aucune trajectoire microscopique n’est déduite des flèches représentant les états.
Stern-Gerlach : deux faisceaux
Un faisceau d’atomes d’argent traverse un champ magnétique non uniforme. L’interaction du moment magnétique avec le gradient de champ produit une force qui sépare le faisceau en deux branches.
Les points suivent des chemins schématiques. Le sens de déviation est associé à la projection du moment magnétique : le signe du couplage dépend du système.
Pourquoi deux branches ?
Pour un moment classique de directions continûment réparties, le modèle de comparaison prévoit une gamme continue de déviations. Deux branches distinctes révèlent la quantification de la projection mesurée.
Dans l’état fondamental de l’argent, le moment orbital total est nul et le moment angulaire électronique total vaut J = 1/2. L’électron externe non apparié joue un rôle essentiel.
L’expérience historique porte sur des atomes neutres, pas sur un faisceau d’électrons libres. Le spin n’a été identifié qu’ensuite. Pour des électrons chargés, les forces de Lorentz rendent une transposition directe du montage délicate.
F_z ≈ μ_z ∂B_z/∂z
Ces expressions résument le mécanisme dans le régime où les deux branches correspondent aux projections pertinentes. Un champ uniforme peut modifier l’évolution du spin, mais ne produit pas cette séparation par gradient.
Le spin ne vient pas d’une petite bille qui tourne
Le spin est un moment cinétique intrinsèque. L’électron possède un spin s = 1/2, indépendamment de son mouvement orbital et de la préparation de son état.
|S| = √3 ℏ/2
S_n = +ℏ/2 ou −ℏ/2
La norme du moment et les valeurs possibles d’une composante ne sont pas la même chose. Le nombre quantique s reste 1/2 ; c’est la projection mesurée qui peut donner l’un ou l’autre signe.
| Rotation classique d’une bille | Spin quantique |
|---|---|
| Dépend d’une distribution de matière et d’une vitesse de rotation | Propriété intrinsèque d’une particule |
| Un vecteur classique peut avoir trois composantes définies | Les composantes du spin ne commutent pas |
| Des projections continues sont possibles dans le modèle classique | Deux résultats seulement pour une composante de spin 1/2 |
Une flèche de spin est un outil de représentation. Elle ne montre pas une surface en rotation, ni une direction classique qui déterminerait tous les résultats futurs.
Pour l’électron, le moment magnétique est opposé au spin : μ = −gₑ μ_B S/ℏ, avec gₑ proche de 2. Le spin explique ainsi des interactions magnétiques, sans supposer une rotation mécanique de matière étendue.
Les systèmes à deux états
|α|² + |β|² = 1
La base |+z⟩, |−z⟩ suffit à écrire tout état pur de spin 1/2. Une superposition n’implique pas qu’un appareil mesurera une valeur entre +ℏ/2 et −ℏ/2.
β = eiφ sin(θ/2)
Après choix d’une phase globale, deux angles suffisent pour représenter un état pur. La sphère de Bloch lui associe le vecteur :
⟨S⟩ = (ℏ/2) r
La flèche représente donc les valeurs moyennes des composantes, et non une trajectoire ou une bille.
Essayez : placez θ à 90°, puis faites varier φ. Les probabilités selon z restent égales, mais les prédictions selon x et y changent.
Pour un état pur, |r| = 1. Sa valeur moyenne vectorielle a une norme ℏ/2, tandis que la norme issue de S² vaut √3ℏ/2. Cette différence reflète les fluctuations des composantes.
Les matrices de Pauli
Dans la base |+z⟩, |−z⟩, les trois composantes du spin s’écrivent S_i = (ℏ/2)σ_i :
Ces matrices sont hermitiennes, de valeurs propres +1 et −1. Les observables S_i ont donc pour valeurs propres +ℏ/2 et −ℏ/2. Les matrices de Pauli vérifient aussi σ_i² = I.
σ_n = n_xσ_x + n_yσ_y + n_zσ_z
Appliquer une matrice à l’état
Les boutons suivants transforment l’état pur défini plus haut. Cette application unitaire n’est pas une mesure. À une phase globale près, elle correspond à une rotation de π de la sphère de Bloch autour de l’axe choisi.
L’état initial est |+x⟩.
Appliquer deux fois la même matrice de Pauli rend l’état initial. Les opérations selon des axes différents ne commutent pas ; deux ordres peuvent toutefois ne différer que d’une phase globale pour certaines suites, donc sans différence dans une mesure isolée du spin.
Mesurer selon différents axes
On prépare de nouvelles particules dans l’état du sélecteur, puis on mesure S_n selon un axe unitaire n. L’angle γ entre r et n détermine les probabilités :
P(−) = (1 − r·n)/2
Axes alignés : résultat + certain.
Axes opposés : résultat − certain.
Axes perpendiculaires : deux résultats équiprobables.
Chaque mesure utilise une nouvelle particule dans le même état préparé. Les nombres observés fluctuent ; les proportions se rapprochent des probabilités à mesure que l’échantillon grandit. Les tirages sont pseudo-aléatoires.
Mesures successives : l’état est mis à jour
Dans ce second atelier, on suit le même spin. Une mesure idéale selon un axe le prépare dans l’état propre correspondant au résultat obtenu. On suppose la mesure non destructive pour le spin et aucune évolution entre les mesures.
- Préparez |+z⟩ puis mesurez z : le résultat + est certain.
- Mesurez z à nouveau : encore +.
- Mesurez x : résultat aléatoire, + ou −, à parts égales.
- Mesurez ensuite z : il est maintenant aléatoire lui aussi.
L’information acquise selon x ne s’ajoute pas simplement à une valeur préexistante certaine de z : la mesure change l’état. Ce modèle opérationnel ne suppose pas qu’une personne regarde le résultat pour que l’interaction ait un effet.
Relier les idées
| Notion | Ce qu’elle apporte |
|---|---|
| Stern-Gerlach | Deux branches correspondant à une projection quantifiée |
| Spin intrinsèque | Moment cinétique indépendant du mouvement orbital |
| Spineur à deux composantes | Amplitudes et phases qui décrivent l’état pur |
| Matrices de Pauli | Opérateurs des composantes et transformations de l’état |
| Axe de mesure | Probabilités déterminées par l’état et l’orientation choisie |
Toutes les particules n’ont pas un spin 1/2. Pour un spin s, une composante possède 2s+1 valeurs possibles. Les photons ont un spin 1, mais leurs états de polarisation physiques se traitent avec les contraintes particulières d’une particule sans masse.
Quiz corrigé
À retenir : le spin est une propriété quantique intrinsèque. Son état et l’axe de mesure fixent les probabilités ; une petite bille en rotation ne reproduit pas cette structure.