Un faisceau d'atomes traverse un aimant et se coupe en deux. De cette seule observation sort une grandeur sans équivalent classique : un moment cinétique à deux valeurs, porté par la particule elle-même, décrit par trois petites matrices.
Des atomes d'argent, chacun avec son aimant microscopique. On s'attendrait à une tache continue : on en observe deux.
Le mot spin vient de l'anglais to spin, tourner sur soi-même. Cette image a guidé ses inventeurs, et elle est fausse sur presque tous les points. Le spin est bien un moment cinétique, au sens exact du terme, mais rien dans la particule ne tourne comme une toupie. Cette page suit les faits : l'expérience d'abord, la description ensuite, et le verdict à la fin.
On note ħ = h/2π. Un moment cinétique mesure la « quantité de rotation » d'un système. Le moment magnétique μ mesure la force de l'aimant qu'il constitue. L'unité naturelle à l'échelle de l'atome est le magnéton de Bohr, μB = eħ/2me = 9,274·10⁻²⁴ J/T.
Planche 1
L'expérience de Stern-Gerlach
Un champ uniforme fait seulement tourner un petit aimant. Mais un champ inhomogène, plus fort d'un côté, le tire : la force dépend de l'orientation de l'aimant. Le dispositif trie donc les atomes selon la composante verticale μz de leur moment magnétique.
Fz = μz · ∂B/∂z
Vue de côté, avec une très forte exagération verticale. Les atomes sortent du four à gauche, traversent l'aimant, puis touchent la plaque. Les aimantations de la bille classique prennent toutes les orientations.
La plaque vue de face. Le champ est plus fort au centre de la fente qu'à ses bords : l'écart varie donc le long de la tache, ce qui donne la forme en « lèvres » de la plaque historique.
Nombre d'impacts selon la déviation z, mesurée en mm, dans la bande centrale.
Force sur un atome
Déviation à la sortie, formuleμB (∂B/∂z) L² / (6 kB T)
Déviation par Runge-Kutta
Impacts au milieu (|z| < z₀/2)
Passez de la bille au modèle quantique. Si les atomes étaient de petits aimants orientés au hasard, μz prendrait toutes les valeurs de −μ à +μ, et la plaque montrerait une bande continue. Stern et Gerlach ont observé en 1922 deux bandes séparées, et rien au milieu. Le résultat a deux surprises : μz ne prend que deux valeurs, et ces valeurs sont les mêmes quelle que soit la direction du champ. Le gradient de 1 000 T/m est ici un ordre de grandeur, avec la longueur de 3,5 cm et le four à 1 300 °C rapportés pour l'expérience : on trouve bien une déviation de l'ordre de 0,1 mm. Remarquez que la déviation ne dépend pas de la masse de l'atome, car la température fixe directement son énergie cinétique.
Combien de taches attendre ? Pour un moment cinétique j, les valeurs possibles de la projection sont m = −j, …, +j, soit 2j + 1 valeurs.
Taches attendues sur la plaque, pour chaque hypothèse sur l'atome.
Valeurs de m
Nombre de taches
Accord avec l'argent
Étape
Ce qu'on en pensait
Ce qu'on en sait aujourd'hui
1922, Stern et Gerlach
Une confirmation de Bohr, qui prévoyait deux taches pour une orbite à l = 1 sans l'état m = 0. Sommerfeld et Debye en prévoyaient trois. Gerlach télégraphie : « Bohr a quand même raison ! »
Bon résultat, mauvaise raison : l'électron externe de l'argent est dans l'état 5s, où l = 0
1925, Uhlenbeck et Goudsmit
L'électron porte un moment cinétique propre, s = ½
C'est lui qui fait les deux taches
1927, Phipps et Taylor
Même expérience avec de l'hydrogène dans l'état 1s, sans moment orbital
Deux taches encore : le moment ne vient pas d'une orbite
Un nombre pair de taches, c'est la vraie énigme. Un moment cinétique orbital l, entier, donne toujours un nombre impair de valeurs, 2l + 1. Pour en obtenir deux, il faut j = ½, ce qui est impossible pour un mouvement dans l'espace. Pourquoi utiliser des atomes neutres, et non des électrons libres ? Parce que la force de Lorentz sur une charge nue masquerait l'effet : c'est pourquoi on utilise un atome dont les autres électrons se compensent, et dont le dernier porte tout le moment magnétique.
Planche 2
Le spin comme propriété intrinsèque
Intrinsèque veut dire : qui ne dépend pas du mouvement de la particule. Tous les électrons ont le même spin ½, exactement comme ils ont la même charge et la même masse. On peut changer la direction du spin, mais jamais sa valeur.
|S|² = s(s + 1) ħ², Sz = ms ħ, ms = −s, …, +s
Modèle vectoriel pour le spin choisi : la longueur √(s(s+1)) ħ et les projections permises. Ce n'est qu'une image : aucune flèche n'a de direction définie.
|S|
Nombre d'états2s + 1
Angle minimal avec zla flèche ne s'aligne jamais
Commutateur des matrices
Famille
Pourquoi ½ est-il permis ici, et pas pour une orbite ? Pour le moment orbital, ψ dépend de l'angle φ et doit se refermer après un tour : m est entier. Le spin, lui, ne dépend d'aucune coordonnée d'espace : c'est un degré de liberté supplémentaire, et rien n'interdit une valeur demi-entière. L'algèbre du moment cinétique, [Sx, Sy] = iħSz, autorise en effet les demi-entiers. Ce demi change tout : les particules de spin demi-entier obéissent au principe d'exclusion de Pauli, et donnent leur structure aux atomes.
Est-ce un vrai moment cinétique, ou un simple nom pour deux états ? En 1915, Einstein et de Haas ont fait l'épreuve : on suspend un barreau de fer à un fil, puis on inverse son aimantation. Si les aimants microscopiques portent un moment cinétique, leur retournement doit faire tourner tout le barreau en sens inverse, pour que le total soit conservé.
Barreau vu de côté : les spins se retournent, et le barreau part en rotation en sens inverse. Échelle de vitesse fortement exagérée.
Atomes de fer2,2 μB par atome
Moment cinétique transféréΔL = 2 · (2,2 N μB) / (g μB/ħ)
Vitesse de rotation acquise
En tours par heuresans le fil de torsion
Le spin peut mettre en rotation un objet ordinaire. Ce n'est donc pas une étiquette : il s'échange avec le moment cinétique mécanique, et seule leur somme est conservée. L'effet est minuscule, ce qui rendait l'expérience très délicate, et Einstein et de Haas ont d'abord annoncé g ≈ 1. Des mesures ultérieures ont montré que g ≈ 2 : le magnétisme du fer vient presque entièrement du spin.
Planche 3
Les systèmes à deux états et les matrices de Pauli
Un spin ½ n'a que deux résultats possibles selon z, notés |↑⟩ et |↓⟩. Tout état s'écrit comme une superposition de ces deux-là : deux nombres complexes suffisent. C'est le plus simple de tous les systèmes quantiques, et le modèle de tout qubit. Les grandeurs mesurables deviennent des matrices 2×2.
|ψ⟩ = a|↑⟩ + b|↓⟩, |a|² + |b|² = 1 · S = (ħ/2) σ
A × Bidentifié à partir des coefficients calculés
Commutateur [A, B]AB − BA
Anticommutateur {A, B}AB + BA
Valeurs propres de A
Action de A sur un état de la sphère de Bloch : le point bleu est |ψ⟩, le point rouge A|ψ⟩. σx, σy, σz sont des demi-tours autour de leur axe.
|ψ⟩
A|ψ⟩
A²|ψ⟩ − |ψ⟩chaque σ est son propre inverse : σ² = 𝟙
Trois matrices qui ne commutent pas. σxσy = iσz, mais σyσx = −iσz. Leur commutateur [σx, σy] = 2iσz traduit l'impossibilité de connaître deux composantes du spin à la fois. Elles anticommutent deux à deux, leur carré vaut 𝟙, et leurs valeurs propres sont ±1 : c'est pourquoi toute mesure de S selon un axe donne ±ħ/2. Avec 𝟙, elles forment une base de toutes les matrices hermitiennes 2×2 : tout système à deux états a un hamiltonien de la forme E₀𝟙 + a·σ.
Chaque état de spin ½ est un point de la sphère. La flèche indique la direction n où le spin donnerait +ħ/2 à coup sûr. Faites glisser pour tourner.
Les deux amplitudes a et b dans le plan complexe. Le disque a pour rayon 1. Seule la phase relative a un effet physique.
|ψ⟩ = cos(θ/2) |↑⟩ + eiφ sin(θ/2) |↓⟩ ⟹ ⟨σ⟩ = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)
a et b
P(↑) et P(↓)|a|² et |b|²
⟨σ⟩ calculé par ⟨ψ|σ|ψ⟩
État orthogonal
L'angle est doublé. |↑⟩ et |↓⟩ sont orthogonaux dans l'espace de Hilbert, et pourtant opposés sur la sphère, à 180° et non à 90°. C'est le signe que θ/2 commande les amplitudes. Tout état de spin ½ pur est donc le spin « vers le haut » selon une certaine direction : il n'existe pas d'état où le spin n'aurait aucune direction privilégiée, ni plusieurs à la fois.
Un moment magnétique placé dans un champ B ne s'aligne pas, il précesse autour du champ, à la fréquence de Larmor. Un petit champ tournant, accordé sur cette fréquence, peut le retourner complètement : c'est la résonance magnétique de Rabi, à la base de l'IRM et de la manipulation des qubits.
H = (ħω₀/2) σz + (ħΩ/2)(σx cos ωt + σy sin ωt) ⟹ P(↓) = Ω²/(Ω² + Δ²) · sin²(√(Ω² + Δ²) t/2)
Trajectoire de l'état sur la sphère de Bloch, calculée par Runge-Kutta sur l'équation de Schrödinger.
Probabilité de retournement P(↓). Courbe verte : la formule de Rabi. Point rouge : la simulation.
P(↓) simulée
P(↓) formule de Rabi
Retournement maximalΩ²/(Ω² + Δ²)
Larmor : électron ; protonle proton : la fréquence d'une IRM
Le même formalisme vaut bien au-delà du spin. Polarisation du photon, deux états d'un atome piégé, azote de l'ammoniac, courant d'un circuit supraconducteur : tout ce qui a deux états s'écrit avec ces matrices. Hors résonance, le retournement reste partiel : c'est cette sélectivité qui permet à l'IRM de repérer les protons d'une tranche du corps, où le champ a une valeur précise.
Planche 4
La mesure du spin selon différents axes
Tournez l'aimant de Stern-Gerlach dans n'importe quelle direction : on observe encore deux taches, ±ħ/2. Le résultat n'est jamais intermédiaire. Seule la probabilité dépend de l'angle entre l'état du spin et l'axe de mesure.
Dans le plan x–z : l'état (bleu) et l'axe de mesure (rouge). Les deux résultats possibles sont aux deux bouts de l'axe, jamais ailleurs.
Courbe cos²(α/2) en vert, et fraction de résultats + mesurés sur des atomes tirés au sort (point rouge).
Comptes + et −
P(+) formule
⟨Sn⟩ mesuré, ħ/2 = 1
ΔSx · ΔSy et sa borneen ħ² ; borne |⟨S_z⟩|/2 ; plan x–z
La moyenne se comporte comme un vecteur, chaque résultat non. ⟨Sn⟩ suit la projection classique cos α : c'est ce qui rend le monde macroscopique familier. Mais chaque atome donne seulement +1 ou −1. Après la mesure, l'état est changé : le spin pointe alors selon l'axe, vers + ou −, et l'ancienne direction est perdue.
Le premier aimant ne garde que z+. On fait passer ces atomes dans un deuxième aimant tourné de β, puis dans un troisième, encore selon z. Que devient le z− qu'on avait éliminé ?
Chaque point est un atome. Les chemins coupés se terminent par une croix. Quand on recombine sans regarder, chaque atome est dessiné sur les deux voies à la fois, car aucune voie n'est définie. Les compteurs à droite donnent les résultats de la dernière mesure.
Atomes entrés après le 1er aimanttous en z+
Fin : z+
Fin : z−
Atomes bloqués au 2e aimant
Regarder change le résultat. Avec β = 90° et le filtre, z− réapparaît, alors qu'on l'avait retiré : mesurer x a effacé l'information sur z. Mais si l'on recombine les deux voies sans savoir par où chaque atome est passé, le mélange reconstitue exactement z+ et aucun z− ne sort. Ce n'est pas l'appareil qui perturbe, c'est l'information disponible sur la voie empruntée. Cette recombinaison sans perte n'est réalisée que très difficilement avec de vrais aimants : les expériences d'interférométrie en donnent une version réelle.
Et si chaque atome portait en secret une flèche, avec une direction bien définie, que l'aimant se contente de lire ? Comparons cette idée à la mécanique quantique. Pour une paire de spins préparée dans un état de spin total nul, on mesure un spin de chaque côté, selon deux axes séparés de l'angle θ.
Corrélation E(θ) entre les deux résultats. Bleu : mécanique quantique, −cos θ. Orange : flèches cachées, −1 + 2θ/π. Les points sont des tirages au sort.
E(θ) quantique, tirages
E(θ) flèches cachées, tirages
CHSH quantique |S|2√2 = 2,8284 attendu
CHSH flèches cachées |S|borne de Bell : 2 au plus
Les expériences tranchent. Le combiné CHSH de Clauser, Horne, Shimony et Holt ne peut pas dépasser 2 avec des flèches déterminées d'avance et sans influence à distance. La mécanique quantique prédit jusqu'à 2√2, et c'est ce qu'observent les expériences, dont celles d'Aspect dès 1982. Le spin n'a donc pas de direction cachée déjà fixée dans ce sens-là. Le modèle orange n'est qu'un exemple simple : le théorème de Bell vaut pour tous les modèles de ce type.
Planche 5 · signature
Spin et rotation classique d'une petite bille
Imaginons pour de bon l'électron comme une petite bille chargée qui tourne. Mettons cette image à l'épreuve : sa vitesse, son aimantation, sa rotation sur 360°, et ce qu'on observe dans une expérience. Elle échoue quatre fois, chaque fois par un calcul qu'on peut refaire ici.
La bille et un point de son équateur. L'animation est très ralentie : le compteur donne la vraie vitesse exigée.
Vitesse à l'équateur, en multiples de c, selon le rayon choisi. Au-dessus de la ligne rouge, la bille dépasse la vitesse de la lumière.
L = (2/5) m r² ω = ħ/2 ⟹ v = ω r = (5/4) ħ/(m r)
Vitesse à l'équateur
Rayon limite pour v = c
L calculé par intégrale∫ρ ω r² sin²θ dV, attendu ħ/2 = 0,5 ħ
Rotation par secondetours par seconde
L'objection de Lorentz. Uhlenbeck et Goudsmit avaient proposé leur électron tournant en 1925. Lorentz leur fit remarquer que, pour le rayon alors admis (2,8·10⁻¹⁵ m), la surface irait bien plus vite que la lumière : ce que vous lisez ici. Les collisions à haute énergie ne montrent aucune structure de l'électron jusqu'à environ 10⁻¹⁸ m : il faudrait alors une vitesse de près de 500 000 c. Agrandir la bille n'y change rien : v = c exigerait un rayon de 4,8·10⁻¹³ m, plusieurs centaines de fois celui du proton, ce que les collisions excluent.
Une charge qui tourne fait un aimant. Pour une bille où masse et charge sont réparties de la même façon, un calcul classique donne μ = (q/2m) L, soit un facteur g égal à 1. L'électron a g ≈ 2.
μ = g (q/2m) L
Valeurs de g, sur une échelle commune. En bleu, les modèles de billes. En rouge, les particules mesurées.
On pourrait truquer la bille, mais pas expliquer. En plaçant les charges bien loin de l'axe, une bille atteint g = 2 ou plus, à condition de choisir exprès sa structure. Rien n'expliquerait pourquoi tous les électrons ont le même g, à douze chiffres. Le g = 2 sort en revanche sans aucun réglage de l'équation de Dirac (1928), et le petit écart de l'électrodynamique quantique, l'un des accords les plus précis de la physique. Le neutron, qui n'a pas de charge, a pourtant un aimant : il a une structure interne de quarks, dont l'électron est dépourvu à ce jour.
Tournons le spin d'un angle φ autour de z. Tout objet classique revient à l'identique après 360°. Le spin ½, lui, change de signe : son état devient −|ψ⟩, et il lui faut 720° pour revenir exactement. Ce signe se voit par interférences : on fait précesser le spin dans une voie d'un interféromètre à neutrons, et l'on recombine.
À gauche, une bille marquée. À droite, l'amplitude ⟨↑|U(φ)|↑⟩ dans le plan complexe : à 360°, elle est passée de l'autre côté.
Neutrons détectés à la sortie de l'interféromètre selon l'angle de précession. Les barres sont des tirages au sort. La courbe verte est la formule.
Angle courant φ
Signe de la phasee^(−iφ/2)
Période des franges, ajustée sur les tirages
Neutrons comptéstirage au sort selon I(φ)
Pas de bille qui fasse cela. Le signe − après un tour n'a pas d'équivalent pour un corps solide, dont l'état est fixé par sa position. Une comparaison existe pourtant : tenez une ceinture par un bout, attachée à un mur par l'autre, et tournez ce bout. Après un tour, la ceinture reste vrillée ; après deux tours, on peut la dévriller sans tourner le bout. Les mesures faites en 1975 sur des neutrons ont donné une période compatible avec 720° : environ 704° pour l'équipe de Rauch.
Voici les mêmes épreuves faites sur les deux modèles, avec les chiffres tirés au sort et calculés ici même.
Ce que le spin n'est pas
Une matière qui tourne, avec un axe et une vitesse. Il ne se ralentit pas, ne s'arrête pas, et n'a pas de surface ni de rayon. Sa direction n'est pas définie avant la mesure.
Ce que le spin est
Un vrai moment cinétique, qui s'échange avec le moment orbital et mécanique. Il vaut ½ pour l'électron, et ne prend que ±ħ/2 selon tout axe. Mathématiquement, il décrit comment l'état se transforme sous les rotations.
Le mot est resté, pas l'image. On dit encore que « l'électron tourne », comme on dit que « le soleil se lève ». Le spin est ce qu'il faut ajouter à la fonction d'onde pour que les rotations agissent correctement sur une particule. Il sort naturellement dès qu'on rend l'équation de l'électron compatible avec la relativité (Dirac, 1928), mais sa structure algébrique, elle, existe déjà sans relativité.
La frise
1915 · Einstein et de Haas : renverser l'aimantation fait tourner un barreau de fer.
1922 · Stern et Gerlach : le faisceau d'argent se coupe en deux.
1924 · Pauli introduit pour l'électron une propriété « à deux valeurs », puis énonce le principe d'exclusion.
1925 · Uhlenbeck et Goudsmit proposent l'électron tournant ; Lorentz objecte la vitesse.
1927 · Pauli écrit ses matrices. Phipps et Taylor refont l'expérience avec de l'hydrogène.
1928 · Dirac : le spin ½ et g = 2 sortent de l'équation relativiste de l'électron.
1938 · Rabi : la résonance magnétique sur un jet moléculaire.
1946 · Bloch et Purcell : la résonance magnétique nucléaire dans la matière. Elle mène à l'IRM.
1975 · Rauch et Werner, chacun avec ses collègues : le signe − après 360° est observé sur des neutrons.
1982 · Aspect, Grangier, Dalibard et Roger : violation nette des inégalités de Bell, sur des photons.
À retenir
L'expérience
Dans un champ inhomogène, un faisceau d'argent se coupe en deux. Selon tout axe, le spin ½ ne donne que ±ħ/2, avec la probabilité cos²(α/2) pour +.
La description
Deux amplitudes complexes, un point de la sphère de Bloch, et S = (ħ/2)σ. Les matrices de Pauli ne commutent pas : on ne peut connaître deux composantes à la fois.
La nature
Un moment cinétique intrinsèque, non une rotation de matière : vitesses impossibles, g = 2, et un signe − après 360°.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Les trajectoires de Stern-Gerlach sont calculées avec une vitesse unique et un gradient constant. Les valeurs historiques (gradient, longueur, température) sont des ordres de grandeur. La recombinaison sans perte d'un aimant idéal ne se réalise pas simplement avec de vrais aimants. Le modèle de flèches cachées est un modèle particulier, et non tous les modèles possibles.
Le groupe SU(2). Les matrices U = e−iφ n·σ/2 forment un groupe qui recouvre deux fois les rotations de l'espace : deux matrices, U et −U, correspondent à une même rotation. Le spin ½ vit dans ce recouvrement, et non dans les rotations elles-mêmes. C'est cela qui autorise les demi-entiers.
Spin et statistique. Les particules de spin demi-entier sont des fermions, et celles de spin entier des bosons. Ce lien, démontré dans le cadre de la théorie quantique des champs (Pauli, 1940), explique la structure des atomes et le laser.
Les pages voisines. « L'atome et les orbitales » traite du moment cinétique orbital et de l'effet Zeeman, « Les outils mathématiques » introduit commutateurs et notation de Dirac, et « La mesure et les incertitudes » la mesure idéale.
Données utilisées. Constantes CODATA. g de l'électron, du proton et du neutron, et limite de 10⁻¹⁸ m sur le rayon de l'électron : valeurs usuelles, rappelées de mémoire et à vérifier avant citation. Four, longueur et déviation attendue de Stern-Gerlach : Toennies et al., arXiv:1109.4864 ; le gradient est un ordre de grandeur choisi pour la page. Période de 704° : Rauch et al., 1975.