Un son est une courbe qui tremble ; l'analyse de Fourier la décompose en sons purs, comme un prisme décompose la lumière. On écoute, on regarde, on décompose — et l'on finit par lire une mélodie dans une image.
Qu'est-ce qu'un son ?
Une membrane de haut-parleur qui vibre pousse et tire l'air devant elle. Les molécules se serrent puis s'écartent : une petite variation de pression, de l'ordre du cent-millième de la pression atmosphérique pour une conversation, se propage à 343 m/s. L'oreille, puis le micro, n'enregistrent qu'une seule chose : la pression en un point, en fonction du temps. Tout ce que l'on peut savoir d'un son est caché dans cette courbe.
En haut : tranches d'air poussées par la membrane (points serrés = surpression). En bas : la surpression le long du tuyau, qui avance vers la droite.
Fréquence — nombre de vibrations par seconde, en hertz (Hz). L'oreille la perçoit comme la hauteur : grave ou aigu.
Amplitude — taille de la variation de pression. L'oreille la perçoit comme l'intensité : faible ou fort.
Spectre — la liste des sons purs qui composent un son, avec leur amplitude. L'oreille le perçoit comme le timbre : flûte ou clarinette.
Les boutons verts ♪ font entendre exactement le signal dessiné, fabriqué par la page. Réglez le volume de votre appareil assez bas avant le premier essai.
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Le son pur : une sinusoïde
Le plus simple des sons est celui du diapason : une sinusoïde p(t) = A sin(2πf t). Deux nombres suffisent à le décrire : la fréquence f et l'amplitude A. Le temps d'une oscillation complète est la périodeT = 1/f.
Fenêtre fixe de 10 millisecondes. La double flèche rouge mesure une période sur la courbe elle-même.
Période mesurée sur la courbe
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1/f et écart
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Longueur d'onde dans l'air
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Note la plus proche
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Niveau relatif
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Ce que l'oreille fait des nombres. Elle entend de 20 Hz à environ 20 000 Hz. Elle compare les fréquences par rapports, pas par différences : doubler la fréquence fait monter d'une octave, que l'on parte de 110 ou de 880 Hz, et une octave se divise en 12 demi-tons de rapport 21/12 ≈ 1,0595. De même pour l'intensité : diviser l'amplitude par 2 retire 6,02 dB. La longueur d'onde λ = 343/f va de 17 m (20 Hz) à 1,7 cm (20 kHz) — c'est pourquoi les basses traversent les murs et les aigus non.
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Le timbre : une somme d'harmoniques
Une corde de violon ou une colonne d'air de flûte ne vibre pas seulement à sa fréquence fondamentale f₀ : elle vibre en même temps à 2f₀, 3f₀, 4f₀… Ces sons purs sont les harmoniques. Leur dosage fait le timbre : un la à 220 Hz joué par une flûte ou par une clarinette a la même période, mais pas la même forme.
p(t) = a₁ sin(2π f₀ t + φ₁) + a₂ sin(2π·2f₀ t + φ₂) + a₃ sin(2π·3f₀ t + φ₃) + …
Le « pupitre » : faites glisser le doigt ou la souris sur les barres pour régler l'amplitude de chaque harmonique. Ce que vous réglez, c'est le spectre.
Deux périodes du son obtenu (bleu épais) et ses composantes (traits fins colorés).
Périodicité : max |p(t+T) − p(t)|
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Puissance moyenne mesurée
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Σ aₖ²/2 (Parseval) et écart
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Facteur de crête max/efficace
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L'expérience des phases. Appuyez sur « Phases au hasard » : la courbe change complètement de forme, le facteur de crête aussi, mais la puissance moyenne ne bouge pas d'un chiffre — c'est l'égalité de Parseval, puissance de la courbe = somme des puissances des harmoniques. Écoutez avant et après : pour un son tenu, l'oreille ne fait pratiquement pas la différence. C'est la « loi acoustique d'Ohm » (1843), confirmée par Helmholtz : l'oreille analyse les sons à la manière de Fourier et retient surtout les amplitudes. D'où l'idée de représenter un son par son spectre plutôt que par sa courbe.
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Retrouver les harmoniques : la sonde de Fourier
Le chemin inverse est le vrai problème : on reçoit une courbe, comment savoir quelles harmoniques elle contient ? L'idée de Fourier : multiplier le son par une sinusoïde d'essai, la sonde, puis faire la moyenne. Si la sonde a une fréquence présente dans le son, les deux montent et descendent ensemble, le produit reste surtout positif et sa moyenne n'est pas nulle. Sinon, le produit oscille et sa moyenne s'annule.
amplitude lue à la fréquence ν = 2 × | moyenne de p(t)·e−2iπνt |
La sonde complexe e−2iπνt = cos − i sin teste à la fois en cosinus et en sinus : ainsi la phase de l'harmonique ne gêne pas la mesure.
Bleu : le son. Orange : la sonde (partie cosinus). Violet : leur produit. Trait rouge : la moyenne du produit.
Amplitude lue en fonction de la fréquence de la sonde (rouge), de 0 à 10 f₀ ; points verts : les vraies amplitudes cachées dans le son.
Sonde
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Amplitude lue
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Écart max sur les 10 harmoniques
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Lu entre deux harmoniques (1,5 f₀)
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Ce qui marche, et ce qui fuit. Quand la durée observée contient un nombre entier de périodes, la sonde retrouve chaque amplitude à 10⁻¹⁵ près et lit exactement zéro entre les harmoniques : c'est l'orthogonalité des sinusoïdes. Réglez une durée non entière (4,25 périodes) : la sonde voit un morceau de vibration coupé net, les pics s'élargissent et de l'amplitude « fuit » partout. La fenêtre de Hann, qui fait entrer et sortir le son en douceur, réduit fortement cette fuite au prix de pics un peu plus larges. Un vrai analyseur ignore la période du son : il fenêtre toujours.
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Temps contre fréquence : on ne peut pas tout avoir
Deux notes très proches, 440 Hz et 440 + Δf Hz, jouées ensemble. L'oreille entend un seul son qui enfle et faiblit Δf fois par seconde : ce sont les battements, que les accordeurs utilisent. L'analyse de Fourier, elle, peut-elle séparer les deux notes ? Oui, mais seulement si elle écoute assez longtemps.
Une seconde du son. La zone bleutée est le morceau confié à l'analyse.
Spectre du morceau analysé (calculé par transformée de Fourier rapide). Traits verts : les deux vraies fréquences.
Produit T · Δf
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Pics distincts trouvés
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Δf mesuré entre les pics
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Seuil mesuré de séparation
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Contrôle FFT / somme directe
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Le principe d'incertitude du musicien. La page a cherché, par dichotomie, la plus courte durée qui sépare les deux pics : elle ne dépend que du produit T·Δf, et vaut environ —. Autrement dit, pour distinguer deux fréquences écartées de Δf, il faut écouter pendant au moins une durée de l'ordre de 1/Δf, c'est-à-dire de l'ordre d'une période de battement. Une analyse courte localise bien l'instant mais mal la fréquence ; une analyse longue fait l'inverse. Dennis Gabor en a fait en 1946 l'équivalent sonore du principe d'incertitude de Heisenberg.
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Signature : le spectrogramme, une partition écrite par Fourier
Puisqu'il faut choisir une durée d'analyse, on découpe le son en tranches d'un dixième de seconde qui se chevauchent, et l'on fait l'analyse de Fourier de chacune. On range les spectres côte à côte, colorés selon leur intensité : le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée. C'est le spectrogramme — et il ressemble étrangement à une partition.
Spectrogramme de « Au clair de la lune » (chanson traditionnelle), synthétisée par la page. En haut, la note reconnue par l'analyse pour chaque son, en vert si elle est juste.
Notes reconnues
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Écart max à la note juste
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Harmoniques visibles
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Tranches analysées
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Lire une mélodie dans une image. Chaque note est une pile de traits horizontaux : en bas la fondamentale, au-dessus les harmoniques à 2, 3, 4 fois sa fréquence, régulièrement espacées. Le programme ne connaît pas la partition : il repère les sons par leur énergie, cherche la plus basse composante forte de chaque son, la convertit en nom de note — puis seulement compare à la partition. Changez d'instrument : la hauteur reste la même, seul l'étagement des traits change. La clarinette n'a presque que des traits impairs. Ajoutez du bruit : il remplit le fond d'une brume uniforme, mais les traits émergent, car le bruit se répartit sur toutes les fréquences alors que la note concentre son énergie sur quelques-unes.
Retirons la fondamentale d'un son : il ne reste que 2f₀, 3f₀, 4f₀… Le spectre n'a plus rien à f₀. Pourtant on continue d'entendre la hauteur f₀. Le téléphone coupe tout ce qui est sous 300 Hz, et l'on y reconnaît pourtant une voix d'homme vers 110 Hz.
Trois périodes de 1/f₀ : le motif se répète toujours avec cette période.
Spectre : la case pointillée rouge à f₀ est vide quand la fondamentale est retirée.
Plus basse composante
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Période par autocorrélation
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Hauteur déduite / f₀
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PGCD des fréquences présentes
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La hauteur n'est pas une raie du spectre. Les composantes 2f₀, 3f₀, 4f₀… ont pour plus grand diviseur commun f₀ ; leur somme se répète donc toutes les 1/f₀ secondes, que la fondamentale soit là ou non. L'autocorrélation — comparer le son à lui-même décalé — retrouve cette période sans regarder le spectre. Écoutez « Le son » puis les deux sinus : sa hauteur est celle de f₀, pas celle de 2f₀, sa plus basse composante. L'oreille fait autre chose qu'une simple analyse de Fourier : elle cherche la période commune.
Avec la permission de votre navigateur, la page écoute le micro et dessine le spectrogramme en direct. Chantez une voyelle tenue, sifflez, puis parlez : la voix chantée dessine des harmoniques bien parallèles ; les consonnes « s » et « ch » sont du bruit, une tache sans traits.
Le micro n'est pas activé. Rien n'est enregistré ni envoyé : l'analyse se fait dans votre navigateur.
Spectrogramme défilant, de 0 à 4 000 Hz.
Hauteur estimée (autocorrélation)
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Note la plus proche
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Repères historiques
1636Marin Mersenne, dans l'Harmonie universelle, établit les lois des cordes vibrantes et mesure la fréquence d'une note.
1701Joseph Sauveur, qui baptise l'« acoustique », décrit les sons harmoniques qu'une corde fait entendre en même temps que sa note.
1807Joseph Fourier présente son mémoire sur la chaleur : toute fonction périodique serait une somme de sinusoïdes. Le livre paraît en 1822.
1843Georg Simon Ohm énonce que l'oreille décompose les sons en sons purs.
1863Hermann von Helmholtz analyse le timbre avec des résonateurs de verre, chacun accordé sur une fréquence : un analyseur de Fourier mécanique.
1946Dennis Gabor publie sa Théorie de la communication : un son se décrit dans le plan temps-fréquence, avec une limite d'incertitude.
1965James Cooley et John Tukey publient la transformée de Fourier rapide, qui rend l'analyse spectrale instantanée sur ordinateur.
Synthèse
Décomposer
Un son périodique est une somme de sinusoïdes de fréquences f₀, 2f₀, 3f₀… La hauteur est donnée par f₀, le timbre par le dosage des harmoniques.
Mesurer
On retrouve chaque amplitude en multipliant le son par une sonde sinusoïdale et en faisant la moyenne. Une fenêtre adoucie limite la fuite.
Choisir
Séparer deux fréquences écartées de Δf demande environ 1/Δf secondes d'écoute. Le spectrogramme est le compromis qui montre le son comme une partition.
Pour aller plus loin
La transformée de Fourier discrète. Un ordinateur ne voit que des échantillons, par exemple 8 000 par seconde. La sonde de la planche 3 devient alors une somme finie, et la transformée de Fourier rapide calcule les N sondes d'un bloc de N échantillons en N log₂ N opérations au lieu de N². On ne peut pas représenter de fréquence au-delà de la moitié de la cadence d'échantillonnage (fréquence de Nyquist) : c'est pourquoi les CD utilisent 44 100 échantillons par seconde, un peu plus du double de 20 000 Hz.
Les formants de la voix. Les cordes vocales fournissent les harmoniques ; la bouche et la gorge, comme des résonateurs, renforcent certaines bandes de fréquences, les formants. Un « a » et un « i » chantés sur la même note ont les mêmes harmoniques, mais pas les mêmes harmoniques renforcées.
La compression MP3. Elle découpe le son en tranches, en fait une analyse fréquentielle, puis supprime ce que l'oreille ne peut pas entendre, notamment les composantes faibles masquées par une composante forte voisine.
Liens avec les autres pages. La page sur la transformée de Fourier montre le phénomène de Gibbs et la machine à cercles ; celle sur la convolution des gaussiennes donne la preuve de l'incertitude dans le cas gaussien.