Deux éclairs frappent une voie ferrée « en même temps ». Pour le chef de gare, oui. Pour le passager du train, non. Et aucun des deux ne se trompe. C'est le point où la relativité restreinte se joue vraiment.
Pour Newton, une horloge universelle bat pour tout l'univers : « maintenant » a le même sens partout. Einstein remarque que cette évidence n'a jamais été rattachée à une mesure, et que, dès qu'on le fait, elle ne tient plus. Sur ce diagramme, deux événements A et B sont simultanés pour un observateur au repos. Pour un observateur en mouvement, l'ensemble de ce qui se passe « au même instant » est une droite penchée, et l'ordre de A et B peut s'inverser.
Le temps monte, l'espace va de gauche à droite. La ligne bleue passe par A, la ligne rouge par B : chacune réunit les événements de même date pour l'observateur dont la vitesse défile.
Dissipons d'abord une confusion. Vous voyez aujourd'hui le Soleil tel qu'il était il y a 8 minutes. Ce retard de la lumière n'a rien de relativiste : un observateur attentif le calcule et le retranche, comme on compte les secondes entre l'éclair et le tonnerre.
Deux lampes A et B, à 8 unités l'une de l'autre, émettent un éclair. Un observateur placé où vous voulez, immobile par rapport aux lampes, note quand il reçoit chacun. Ici c = 1 : la lumière parcourt une unité par unité de temps.
Diagramme espace-temps. Les droites jaunes sont les éclairs qui se propagent. La verticale verte est l'observateur : il reçoit chaque éclair au point où une droite jaune le croise.
La même scène vue de dessus, en temps réel. Les lampes de l'observateur s'allument à la réception.
| Ce que vous regardez | Distance | Âge de l'image |
|---|---|---|
| La Lune | 384 400 km | 1,28 s |
| Le Soleil | 149,6 millions de km | 8 min 19 s |
| Neptune (en moyenne) | 4,5 milliards de km | environ 4 h 10 |
| Proxima du Centaure | 4,24 années-lumière | 4,24 ans |
Pour dire que deux événements éloignés sont simultanés, il faut une horloge à chaque endroit, et que ces horloges soient d'accord entre elles. Mais comment les accorder sans se déplacer ? Avec le seul signal dont la vitesse est connue : la lumière. Dans son livre de 1917, Einstein insiste : une définition de la simultanéité doit permettre de décider par l'expérience si deux événements le sont.
Disposons une rangée d'horloges arrêtées, chacune préréglée sur sa distance au centre divisée par c. Un éclair part du centre à la date 0. Chaque horloge démarre quand l'éclair l'atteint. Elle marque alors la bonne date, puisque le préréglage compense exactement le trajet.
Horloge grise : encore arrêtée. Horloge bleue : en marche. Le nombre est sa lecture.
Sans point central, on procède par aller-retour. A envoie un éclair à t₁, B le renvoie, A le reçoit à t₂. La réflexion est datée (t₁ + t₂)/2 ; B compare à sa lecture et corrige son horloge. Einstein demande que cette relation soit cohérente : réciproque (si B est réglée sur A, A l'est sur B) et transitive (si B est réglée sur A et C sur B, alors C l'est sur A).
En jaune, les allers-retours A–B puis B–C. En rouge, l'aller-retour de contrôle A–C, jamais utilisé pour le réglage.
Essayons de synchroniser de proche en proche des horloges posées sur Terre, vers l'est, jusqu'à faire le tour. La Terre tourne : ce n'est pas un référentiel inertiel, et la transitivité y échoue. Vu d'un référentiel qui ne tourne pas, la lumière court vers l'est après une station qui fuit, et vers l'ouest au-devant d'elle. Revenue au point de départ, la dernière horloge ne s'accorde plus avec la première.
À gauche, le parallèle et ses stations. À droite, le retard cumulé de proche en proche.
L'exemple vient du livre de vulgarisation qu'Einstein publie en 1917. Un long train roule sur une voie. Deux éclairs frappent la voie en A et B, et marquent au même moment le sol et les deux extrémités du train. M est le milieu de AB sur le talus. M′ est le milieu du train, qui passe devant M à cet instant.
Vu du talus (vitesse du train β vers la droite). Les deux lampes au-dessus de M et de M′ s'allument à la réception de l'éclair de gauche (A) et de droite (B).
Vu du train : c'est le talus qui défile vers la gauche, et le train est immobile.
La transformation de Lorentz donne t′ = γ(t − βx/c). Tout ce qui a la même date t′ est sur une droite de pente β : la « ligne de simultanéité » de l'observateur. Plus il va vite, plus elle penche. Faites glisser A et B.
Lignes de simultanéité passant par A (bleue) et B (rouge), pour l'observateur de vitesse β. En jaune, le cône de lumière de A : seul ce qui est dans le cône peut être atteint depuis A.
Écart de dates t′B − t′A selon la vitesse de l'observateur. S'il change de signe, l'ordre de A et B dépend de l'observateur.
À faible vitesse, l'effet s'exprime simplement : la date « d'en face » se décale de v·d/c². C'est imperceptible ici, mais la distance multiplie tout. Roger Penrose (1989), après Rietdijk et Putnam (1966-1967), imagine deux passants qui se croisent dans la rue : leurs « maintenant » sur la galaxie d'Andromède diffèrent de plusieurs jours.
Lignes de simultanéité d'un passant vers la cible et d'un passant en sens inverse, très exagérées. À droite, le décalage réel.
Si la simultanéité est relative, la forme des objets l'est aussi, et l'ordre des événements n'est plus qu'une question de point de vue. Voici deux manières spectaculaires de le constater.
Dans le référentiel S, une plaque a un trou de largeur 2. Une tige horizontale de longueur 1,8 y descend tout en filant à la vitesse β. Elle passe sans encombre : c'est évident. Passons dans S′, le référentiel qui suit la tige dans sa course. Là, c'est le trou qui file et qui est contracté, et la tige qui est allongée. Elle est bien plus large que le trou ! Pourtant, le passage ne peut pas changer de référentiel en référentiel. Que voit-on dans S′ ?
Dans S : la tige reste horizontale, ses deux bouts franchissent la plaque au même instant.
Dans S′ : la tige est inclinée, elle s'enfile dans le trou qui passe. Son bout droit passe en premier.
Prenons cinq événements. Il existe 120 ordres imaginables : combien sont vraiment observables ? Il y a une astuce : t′ = γ(t − βx), et γ est le même pour tous. L'ordre se lit donc sur les droites t − βx, qui dépendent de β. Un croisement de droites est un couple devenu simultané. Faites glisser les événements à gauche, et balayez β à droite.
Événements dans (x, t), à faire glisser. En gris pointillé, les couples causalement liés : un signal peut aller de l'un à l'autre.
Chaque droite est un événement, en fonction de β. Le trait vertical orange marque β. De bas en haut, on lit l'ordre chronologique.
Une vieille objection. « Le passager ne fait que voir les éclairs à des moments différents, à cause de sa vitesse. » Non : voir la planche 1. Il corrige les trajets et trouve toujours un écart de dates. Celui-ci est calculé ici à partir de ses propres mesures.
La simultanéité dépend-elle d'une convention ? En partie. Dans un référentiel donné, le choix de la vitesse à sens unique est une stipulation, discutée dans postulats-einstein-v1.html. Mais la convention d'Einstein est la seule qui rende les lois identiques dans toutes les directions. Dans cette convention, la relativité de la simultanéité entre référentiels ne peut être évitée.
Dans la même série. origines-relativite-v1.html pour la genèse, postulats-einstein-v1.html pour les principes, relativite-v1.html pour les conséquences (dilatation, perche dans la grange), la page sur la géométrie de Minkowski pour le diagramme d'espace-temps.
Sources principales. Einstein, Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, 1917, chapitres 8 et 9 ; Einstein, Annalen der Physik 17, 1905, §1 ; Ashby, Relativity in the Global Positioning System, Living Reviews in Relativity, 2003 ; Penrose, The Emperor's New Mind, 1989. Les idées d'Einstein sont résumées ou traduites librement.