1. Prévoir des probabilités
À notre échelle
Pour une balle, les lois de Newton permettent de calculer une trajectoire à partir d’une position et d’une vitesse initiales.
À l’échelle de l’électron
L’état est décrit par une fonction d’onde ψ (« psi »). L’équation de Schrödinger fait évoluer cet état ; on en déduit les probabilités des résultats des mesures.
Dans une dimension : la probabilité entre a et b est l’aire sous la courbe |ψ|² entre ces deux positions. L’aire totale vaut 1.
2. Lire l’équation sans se perdre
Pour une particule non relativiste de masse m, dans une dimension :
Une écriture courte est iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ. L’opérateur Ĥ, appelé hamiltonien, représente l’énergie totale.
La dérivée ∂ψ/∂t décrit le changement dans le temps ; ∂²ψ/∂x² décrit la courbure spatiale. L’équation s’applique ici sans spin ni effets relativistes.
3. Une onde qui évolue, une probabilité à mesurer
Modèle : un électron enfermé entre deux parois idéales. Comparez un état d’énergie bien définie avec une superposition de deux états.
Aire colorée sous la densité :
Abscisse x/L et amplitudes sans dimension : on trace √L ψ et L|ψ|², avec une échelle verticale propre à chaque panneau. Temps fortement ralenti, phase relative conservée ; ce n’est pas une simulation en secondes réelles.
4. Pourquoi des niveaux d’énergie ?
Les parois imposent ψ(0) = ψ(L) = 0. Seules certaines ondes sinusoïdales conviennent : un nombre entier de demi-longueurs d’onde tient dans la boîte.
En = n²h² / (8mL²)
n = 1, 2, 3… ; m est ici la masse de l’électron. À l’intérieur, V = 0 ; les parois ont un potentiel idéalement infini.
Énergie En : eV
Les cinq premières énergies sont tracées. L’échelle verticale s’adapte à la largeur choisie : consultez les valeurs en eV.
À observer : si n double, l’énergie est multipliée par 4. Si L double, elle est divisée par 4. Même l’état fondamental n = 1 a une énergie positive : dans ce modèle, il n’existe pas d’état n = 0 normalisable.
Pourquoi l’énergie augmente-t-elle comme n² ?
Dans la boîte, la longueur d’onde vaut λ = 2L/n. Avec la relation de de Broglie p = h/λ, on obtient p² = n²h²/(4L²). L’énergie cinétique p²/(2m) donne alors En = n²h²/(8mL²). L’état stationnaire est une onde debout ; il ne possède pas une impulsion signée unique.
La forme indépendante du temps
Quand le potentiel ne dépend pas du temps, on cherche ψ(x,t) = φ(x)e−iEt/ℏ. L’équation devient :
On cherche les fonctions φ et les énergies E compatibles avec le potentiel et les conditions aux limites. Cette quantification des énergies liées n’exclut pas des énergies continues dans d’autres situations, comme celle d’une particule libre.
5. Planck : le lien entre énergie et oscillation
Deux notations, une même constante
ℏ = h/(2π) ≈ 1,054 572 × 10⁻³⁴ J·s
La valeur de h est exacte dans le Système international. Sa dimension est celle d’une action : énergie × temps.
Pour un photon : E = hν = ℏω, où ν est la fréquence en hertz et ω = 2πν la pulsation en radians par seconde.
Dans l’équation de Schrödinger
ℏ relie l’énergie à la vitesse de rotation de la phase : l’état d’énergie E porte le facteur e−iEt/ℏ. La fréquence associée à cette phase ne signifie pas que l’électron émet automatiquement de la lumière.
ℏ² apparaît aussi dans le terme cinétique. Dans la boîte, h fixe l’échelle des énergies autorisées.
Laboratoire du photon
Faites varier la longueur d’onde λ d’un photon dans le vide. Sa fréquence vaut ν = c/λ.
Fréquence : Hz · Énergie : J = eV
Couleur indicative ; l’onde représente un champ lumineux schématique, pas la forme ni la trajectoire d’un photon. Animation ralentie, propagation dans le vide à c = 299 792 458 m/s.
Relier les deux laboratoires
Dans la boîte réglée ci-dessus, considérons la transition n = 2 → n = 1. Si l’électron est couplé au champ électromagnétique, un photon peut être émis avec :
Cette émission exige une interaction avec la lumière : l’équation de Schrödinger de la boîte isolée, à elle seule, ne décrit pas l’émission spontanée.
6. Ce qu’il faut distinguer
| Notion | Ce qu’elle signifie |
|---|---|
| ψ | Amplitude complexe décrivant l’état quantique. |
| |ψ|² | Densité de probabilité, à intégrer sur une région. |
| État stationnaire | Énergie définie ; densité de présence constante dans le temps. |
| Superposition | Combinaison d’états ; leurs amplitudes interfèrent. |
| h et ℏ | Même constante fondamentale, avec un facteur 2π entre les deux. |
Les orbitales des atomes se calculent avec le potentiel électrique du noyau, en trois dimensions. La boîte offre un exemple plus simple : ce n’est pas un modèle fidèle de l’atome d’hydrogène.
7. Vérifiez votre compréhension
Pour poursuivre
Parcours conseillé : lire l’idée générale, comparer les deux états animés, doubler la largeur de la boîte, puis modifier la longueur d’onde du photon.
Constantes utilisées : h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s ; c = 299792458 m/s ; 1 eV = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ J (valeurs exactes) ; masse de l’électron ≈ 9,1093837 × 10⁻³¹ kg. Références pour approfondir : BIPM — Brochure du SI ; MIT OpenCourseWare — Quantum Physics I.