Une particule libre, une boîte, une marche, une barrière, un ressort : avec ces cinq potentiels simples, on voit déjà presque tout ce que la mécanique quantique a d'étonnant, et les calculs se font jusqu'au bout.
Un paquet d'ondes arrive sur une barrière plus haute que son énergie moyenne. Une partie rebondit, une autre passe. La hauteur donne la densité de probabilité, la couleur donne la phase de ψ.
Une seule recette, cinq potentiels
Chaque modèle se traite de la même façon. 1. On choisit le potentiel V(x), c'est-à-dire l'énergie potentielle de la particule en chaque point. 2. On résout l'équation stationnaire −(ħ²/2m) ψ″ + V(x) ψ = E ψ. 3. On impose les conditions physiques : ψ continue, ψ′ continue là où V reste fini, ψ nulle contre un mur infini ou loin à l'infini. C'est cette troisième étape qui décide si toutes les énergies sont permises ou seulement certaines.
Modèle
Potentiel
Énergies permises
Ce qu'il révèle
Particule libre
V = 0
toutes, E ≥ 0
le paquet d'ondes, sa vitesse et son étalement
Boîte
murs infinis
En ∝ n²
l'énergie discrète apparaît dès que la particule est confinée
Marche, barrière
V constant par morceaux
toutes, E > 0
réflexion quantique et résonances
Barrière, E < V₀
V₀ plus haut que E
toutes, E > 0
l'effet tunnel, exponentiellement sensible
Oscillateur
V = ½mω²x²
En = (n + ½)ħω
une échelle régulière, et une énergie minimale non nulle
Les simulations sont calculées en unités réduites où ħ = m = 1 : les formules deviennent plus lisibles, et les énergies, longueurs et temps sont des nombres sans dimension. Les encadrés qui parlent d'électrons, de noyaux ou de molécules reviennent aux unités réelles (eV, nm, s).
Planche 1
La particule libre et le paquet d'ondes
Sans force, V = 0. Les solutions les plus simples sont des ondes planes ei(kx − ωt), d'énergie E = ħ²k²/2m. Elles ont un défaut : |ψ|² y vaut la même chose partout, la particule n'est donc nulle part en particulier, et ψ n'est pas normalisable. Pour décrire une particule localisée, on additionne plusieurs ondes planes : c'est un paquet d'ondes.
En haut, en bleu, Re ψ ; en rouge, |ψ|². En bas, le poids de chaque onde plane additionnée. Un paquet se déplace pendant l'animation ; les lectures sont prises à l'instant où il est le plus étroit.
Écart entre deux k voisins
Largeur en position Δxmesurée sur une période
Largeur en nombre d'onde Δkmesurée sur les poids
Produit Δx · Δk
Commencez avec une seule onde, puis montez le curseur. Avec une onde, |ψ|² est plat. Avec quelques ondes, on obtient des paquets qui se répètent tous les 2π/δk. Avec beaucoup d'ondes très rapprochées, les répétitions partent au loin et il n'en reste qu'un. Un spectre large donne un paquet étroit, et l'inverse : c'est la relation d'incertitude, qui se lit ici directement sur une addition d'ondes.
Le point bleu suit le centre du paquet. Le point rouge suit une crête de l'onde. La crête va deux fois moins vite : elle naît à l'arrière du paquet et disparaît à l'avant, puis on en suit une autre.
Vitesse de groupe, mesurée
Vitesse de phase, mesurée
Rapport groupe / phaseattendu : 2
Formule fermée contre somme d'ondesécart maximal sur ψ
La particule, c'est le paquet. Une onde plane a pour vitesse de phase ω/k = ħk/2m, soit la moitié de la vitesse classique p/m. Le centre du paquet avance à la vitesse de groupe dω/dk = ħk/m, qui est bien p/m. La vitesse de la particule n'est donc pas celle des crêtes : c'est celle de l'enveloppe.
Densité |ψ|² à l'instant t (couleur = phase). En pointillé : le paquet initial. Ici k₀ = 0, le centre ne bouge pas.
Largeur Δx(t). Courbe verte : la formule. Point bleu : la simulation numérique. Droite grise : Δp·t/m, ce que donneraient des particules classiques aux vitesses dispersées.
Δx(t) = σ₀ √(1 + (t/τ)²), avec τ = 2mσ₀²/ħ
Temps caractéristique ττ = 2σ₀² en unités réduites
Δx simulé à t
Δx selon la formule
Δp, constant
Plus le paquet est étroit, plus il s'étale vite. Un paquet étroit contient une large gamme de vitesses, et ces vitesses le dispersent. La répartition des vitesses, elle, ne change pas. Rien de cela n'est visible à notre échelle : le tableau montre que τ, très court pour un électron dans un atome, dépasse de très loin l'âge de l'Univers pour une bille.
Planche 2
La particule dans une boîte : apparition d'énergies discrètes
Enfermons la particule entre deux murs infiniment hauts, distants de L. Elle ne peut pas être dans les murs, donc ψ s'annule aux deux bords. Comme pour une corde de guitare, seules certaines longueurs d'onde tiennent dans la boîte, et donc seules certaines énergies sont possibles.
kn = nπ/L ⟹ En = n²π²ħ²/(2mL²), φn(x) = √(2/L) sin(nπx/L), n = 1, 2, 3…
Essayons n'importe quelle énergie. On part du mur gauche avec ψ = 0, et on intègre l'équation vers la droite. Pour presque toutes les énergies, ψ n'est pas nulle en arrivant au mur droit : cette énergie est refusée.
ψ(x) obtenue par intégration numérique (méthode de Runge-Kutta d'ordre 4). Le point rouge est la valeur d'arrivée, qui devrait être nulle.
Valeur d'arrivée ψ(L) en fonction de E. Les énergies permises sont ses zéros, marqués en vert.
Valeur d'arrivée ψ(L)
E₁ et E₂ trouvées par bissection
E₃ et E₄ trouvées par bissection
Rapports En / E₁attendu : 1 ; 4 ; 9 ; 16
La discrétisation n'est pas une règle ajoutée. Elle vient de deux conditions à respecter à la fois : ψ nulle à gauche et ψ nulle à droite. Enlevez le mur droit et toute énergie redevient possible, comme pour la particule libre. Le confinement seul crée les niveaux. C'est le même mécanisme qui donne les raies des atomes, où l'électron est confiné par l'attraction du noyau.
Les niveaux à l'échelle, et la transition du niveau 2 vers le niveau 1. La couleur du trait est celle du photon émis, en gris hors du visible.
φn : partie réelle en bleu et partie imaginaire en orange, qui tournent ; densité |φn|² en rouge, immobile.
Énergie En
Résolution numérique de la matrice
Photon émis de 2 vers 1
Δx · Δp / ħ au niveau n
Le niveau le plus bas n'est pas à zéro. n = 0 donnerait ψ nulle partout, donc pas de particule. L'énergie minimale E₁ croît en 1/L² quand on resserre la boîte. C'est pourquoi les boîtes quantiques, des grains de semi-conducteur de quelques nanomètres, changent de couleur avec leur taille. Le modèle reste grossier pour un matériau réel, mais il donne le bon sens de variation : plus petit, plus bleu. Pour une bille, les niveaux sont si serrés qu'on croit voir un continu.
Une superposition de niveaux n'est pas stationnaire. Comme En ∝ n², toutes les phases e−iEnt/ħ se retrouvent en accord au bout d'un temps précis : le paquet initial se reforme exactement. Entre-temps, ses interférences dessinent une figure en dentelle, appelée tapis quantique.
Horizontalement le temps, de 0 à Trev ; verticalement la position dans la boîte ; plus c'est sombre, plus |ψ|² est grand. Le bandeau du bas donne la ressemblance |⟨ψ₀|ψ(t)⟩|² avec l'état initial. Le trait rouge marque l'instant présent.
|ψ(x)|² à l'instant marqué par le trait rouge.
Temps de retour Trev4mL²/(πħ), ici L = 1
Ressemblance à t = Trev
Image miroir à t = Trev/2ressemblance avec le paquet retourné
Ressemblance à l'instant présent
Déplacez le paquet pour voir le miroir. À mi-parcours, il réapparaît à la position symétrique, retourné de gauche à droite. Le retour complet est exact, à l'arrondi près : il vient seulement de ce que n² est un entier. Un tel retour n'existe que pour un spectre aussi régulier.
Planche 3
La marche et la barrière de potentiel
Le potentiel change brusquement. Une bille classique passe si elle a assez d'énergie, et rebondit sinon : il n'y a pas de milieu. L'onde, elle, doit se raccorder de part et d'autre, ψ et ψ′ continues. Ce raccord impose presque toujours une onde réfléchie, même quand la particule a assez d'énergie pour passer.
Solution stationnaire pour une onde arrivant de la gauche. Re ψ en bleu, |ψ|² en rouge, potentiel en gris. Le trait vert marque E.
Réflexion R (rouge) et transmission T (bleu) selon E/|V₀|. En pointillé : le cas classique, tout ou rien.
E > V₀ : R = ((k₁ − k₂)/(k₁ + k₂))², T = 4k₁k₂/(k₁ + k₂)² · E < V₀ : R = 1, et ψ ∝ e−κx dans la marche
k₁ à gauche, k₂ à droite
Réflexion R, formule
Transmission T, formule
Paquet d'ondes simulé : R mesurée
Vérification avec un vrai paquet d'ondes (couleur = phase). Le point rouge est la bille classique de même énergie moyenne.
Essayez la marche descendante. Une bille classique qui arrive au bord d'une falaise tombe toujours. L'onde, elle, est partiellement renvoyée par la falaise, et d'autant plus que son énergie est faible. Attention, T n'est pas le carré de l'amplitude transmise : T = (k₂/k₁)|C|², car une probabilité par seconde dépend aussi de la vitesse de la particule. Avec cette définition, R + T = 1 exactement.
Solution stationnaire à travers la barrière, de hauteur V₀ et de largeur a. Re ψ en bleu, |ψ|² en rouge.
T(E) en bleu, le cas classique en pointillé. Les traits verts marquent les résonances E = V₀ + n²π²ħ²/(2ma²), où T = 1.
Transmission T, formule
T par intégration numérique
Réflexion R
Première résonance
Au-dessus de la barrière, l'onde hésite encore. Elle se réfléchit sur les deux bords, et ces deux réflexions interfèrent. Quand un nombre entier de demi-longueurs d'onde tient dans la barrière, elles s'annulent et la barrière devient parfaitement transparente, T = 1. Ce mécanisme, avec un puits plutôt qu'une barrière, explique l'effet Ramsauer-Townsend : certains gaz nobles laissent passer presque sans diffusion des électrons d'une énergie précise.
Planche 4
L'effet tunnel
Si E < V₀, une bille rebondit à coup sûr. L'équation, elle, n'interdit pas à ψ d'exister dans la barrière : l'onde y devient exponentiellement décroissante, e−κx, sans s'annuler. Si la barrière est assez fine, il reste quelque chose de l'autre côté, et de là repart une onde qui se propage. La particule a une probabilité non nulle de traverser : c'est l'effet tunnel.
Résolution directe de l'équation de Schrödinger (méthode de Crank-Nicolson). Couleur = phase de ψ. Barrière en gris. Le point rouge est la bille classique de même énergie moyenne.
Énergie moyenne du paquet
Transmission mesurée
Prévue : moyenne de T(E) sur le spectre
Part du spectre au-dessus de V₀
Un point qu'on oublie souvent. Un paquet n'a pas une énergie unique. Une part de son spectre peut passer au-dessus de la barrière sans aucun effet tunnel : la dernière lecture la donne. Pour voir un vrai effet tunnel, gardez cette part très faible, en abaissant k₀ ou en montant V₀. La particule ne perd pas d'énergie à la traversée : ce qui passe garde sa vitesse, seule la quantité de probabilité diminue.
Logarithme décimal de T selon l'épaisseur, pour une particule d'énergie 1 eV. Échelle verticale logarithmique : la droite montre une décroissance exponentielle. Le point bleu est la configuration choisie.
κ, inverse de la distance de pénétration
Transmission T
Pente mesurée de ln T
Doubler l'épaisseur multiplie T par
La masse et l'épaisseur sont dans l'exposant. C'est pour cela que l'effet est considérable pour un électron à travers un nanomètre, et inobservable pour une bille : le tableau donne des nombres qu'on ne peut même plus écrire en entier. Vous ne traverserez pas de mur, non parce que la probabilité est nulle, mais parce qu'elle est inimaginablement petite.
Le microscope à effet tunnel approche une pointe très fine à moins d'un nanomètre d'une surface conductrice. Le vide entre les deux est une barrière pour les électrons, dont la hauteur est le travail de sortie φ, l'énergie nécessaire pour arracher un électron au métal. Le courant varie comme e−2κd, avec d la distance. La pointe sent donc des reliefs de la taille d'un atome.
En haut, la pointe balaie une rangée d'atomes (schéma ; relief exagéré à l'échelle verticale). En bas, ce qu'enregistre l'appareil.
κ√(2mφ)/ħ
Rapprocher de 0,1 nm multiplie I pare^(2κ × 0,1 nm)
Même rapport par la formule exacte de T
Contraste I max / I min sur l'atome
Un dixième de nanomètre change presque tout. Cette sensibilité fait du courant une règle d'une finesse extrême. L'électronique garde le courant constant en montant et descendant la pointe, et la hauteur enregistrée dessine la surface. Ce schéma suppose une barrière rectangulaire et une pointe réduite à un atome : les vraies images dépendent aussi de la structure électronique de la surface.
En 1928, Gamow d'une part, Gurney et Condon d'autre part, expliquent la radioactivité α : la particule α, retenue dans le noyau par la force nucléaire, se heurte à une barrière électrique qu'elle n'a pas l'énergie de franchir. Elle frappe contre la paroi un très grand nombre de fois par seconde, et finit par passer. L'énergie de sortie varie d'un facteur 2 entre les noyaux, et la demi-vie de plus de 24 ordres de grandeur.
Potentiel vu par la particule α : puits nucléaire (schématique), puis répulsion électrique en 1/r. Le trait vert est son énergie, la zone orange est la région traversée par effet tunnel.
Logarithme décimal de la demi-vie en secondes. Carrés verts : mesures. Ronds bleus : calcul de Gamow. L'axe horizontal est Z/√E, où Z est la charge du noyau fils.
Énergie libérée Q
Exposant de Gamow 2G
Chocs par seconde sur la paroiv/(2R)
Probabilité de passer à chaque choce^(−2G)
Demi-vie calculée
Demi-vie mesurée
Un modèle simple, un accord remarquable. Une seule formule suit la tendance sur toute l'échelle, avec comme seuls paramètres Q, Z et le rayon du noyau. Le calcul donne le plus souvent des demi-vies trop courtes, jusqu'à 1,6 ordre de grandeur pour ²¹⁰Po, car il suppose la particule α déjà formée dans le noyau. Il dépend aussi fortement du rayon choisi, ici 1,2 fm × (Afils1/3 + 41/3) : l'accord presque parfait pour ²³⁸U et ²³²Th tient en partie à ce choix. Le modèle ne prédit donc pas chaque valeur précisément, mais il explique pourquoi une petite différence d'énergie change tout.
L'effet tunnel n'a pas besoin de particule incidente. Dans deux puits séparés par une barrière, les deux états les plus bas sont l'un symétrique et l'autre antisymétrique, avec des énergies très voisines. Si l'on prépare la particule à gauche, elle bascule à droite, et revient.
Double puits : la densité de probabilité évolue selon l'équation de Schrödinger (couleur = phase). La jauge de droite donne la probabilité d'être dans le puits de droite.
Écart E₁ − E₀calculé sur la matrice de Ĥ
Période de bascule2πħ/(E₁ − E₀)
Probabilité à droite, simulée
Énergie du bas et sommet de la barrière
La période dépend de la barrière de façon exponentielle. Montez légèrement la barrière et la bascule ralentit beaucoup. La molécule d'ammoniac NH₃ se comporte ainsi : son atome d'azote passe d'un côté à l'autre du plan des hydrogènes par effet tunnel, à une fréquence proche de 24 GHz. C'est cette transition qu'a exploitée le premier maser.
Planche 5 · signature
L'oscillateur harmonique et l'énergie du fondamental
Une particule dans un potentiel V = ½mω²x² est rappelée vers le centre par une force proportionnelle à l'écart, comme par un ressort. Presque tout système écarté d'un équilibre stable se ramène à ce modèle : molécule qui vibre, atome dans un cristal, mode du champ électromagnétique. Son spectre est une échelle parfaite, et son premier barreau n'est pas à zéro.
En = (n + ½) ħω, n = 0, 1, 2…
Parabole du potentiel et niveaux. La densité |φn|² est dessinée en rouge sur son niveau, et en pointillé vert la densité classique, celle d'un ressort observé à un instant quelconque. La courbe bleue est φn elle-même, dont la phase tourne. Les traits gris marquent les points où la bille classique fait demi-tour.
Énergie, matrice de Ĥ
Écart avec le niveau suivantattendu : ħω, toujours
Δx · Δp / ħ
Part hors de la zone classique
Deux surprises à n = 0. La densité est maximale au centre, là où la bille classique passe le plus vite. Et près de 16 % de la probabilité se trouve là où une bille n'aurait jamais assez d'énergie pour aller. Montez n : le profil quantique se met à suivre le profil classique, en moyenne. C'est le principe de correspondance. Contrairement à la boîte, tous les écarts sont égaux, ce qui prépare l'idée du photon : le champ électromagnétique échange son énergie par quanta égaux de ħω.
En haut, le paquet dans la parabole, calculé par l'équation de Schrödinger (couleur = phase), et la bille classique en rouge. En bas, les poids sur les niveaux n (barres), comparés à une loi de Poisson (points verts).
⟨x⟩ simulé contre x₀ cos ωtécart maximal sur une période
Largeur minimale et maximale
Énergie moyenne
Ressemblance après une période
L'oscillateur quantique sait osciller comme un ressort. Si la largeur est celle du fondamental, le paquet oscille sans se déformer et sans s'étaler : c'est un état cohérent, décrit par Schrödinger dès 1926. Il superpose beaucoup de niveaux avec des poids de Poisson. Changez la largeur et le paquet se met à respirer, deux fois par période. Et comme les niveaux sont régulièrement espacés, tout état revient à lui-même au bout de 2π/ω.
Énergies d'un paquet gaussien de largeur σ placé au centre : cinétique (orange), potentielle (violet), total (bleu). Le minimum du total est marqué en vert.
Le paquet dans la parabole. Le trait bleu donne son énergie, le trait vert le plancher ½ħω.
Ressort immobile : classiqueE = 0x = 0 et p = 0 en même temps, impossible ici
L'énergie du fondamental est le prix du confinement. Pour réduire l'énergie potentielle, il faudrait serrer le paquet au fond. Mais un paquet serré a une large dispersion de vitesses, et donc de l'énergie cinétique. Aucun état ne peut avoir à la fois x = 0 et p = 0, d'après ΔxΔp ≥ ħ/2. Le meilleur compromis donne exactement ½ħω. Au minimum, les deux énergies sont égales. Ce n'est pas une énergie qu'on pourrait extraire d'un oscillateur isolé : c'est le plus bas de ses états.
Le même plancher dans tous les modèles
Le tableau applique la même méthode à six potentiels liants, avec une résolution numérique de la matrice de Ĥ. Le produit ΔxΔp reste au-dessus de ½, et il n'atteint ½ que pour l'oscillateur, dont le fondamental est une gaussienne.
Il existe une façon très parlante de trouver le fondamental. On résout l'équation sans le i, ∂ψ/∂τ = −Ĥψ, en renormalisant ψ à chaque pas. Chaque niveau y décroît comme e−Enτ : les plus hauts disparaissent d'abord et seul le plus bas subsiste. Ce n'est pas une évolution physique, c'est une méthode de calcul, qui se comporte comme un refroidissement.
ψ au cours de la descente, à partir d'un état tourmenté. Le potentiel est en gris, le fondamental exact en pointillé vert.
Excès d'énergie E(τ) − E₀, en échelle logarithmique. Une pente régulière s'installe. Elle est fixée par l'écart entre les deux premiers niveaux. La courbe s'arrête au bruit numérique.
Énergie courante
E₀, matrice de Ĥ
Pente mesurée de ln(E − E₀)
Ressemblance avec le fondamental|⟨φ₀|ψ⟩|²
L'énergie descend, et elle s'arrête. Quel que soit l'état de départ, la descente aboutit au même plancher, et jamais à zéro. Cette même idée sert à calculer les états fondamentaux de systèmes bien plus complexes, comme les molécules. Le double puits est le plus lent : ses deux premiers niveaux sont proches, et il faut longtemps pour les séparer.
Peut-on observer l'énergie du fondamental ? Oui. Dans une molécule, les deux noyaux vibrent dans le puits créé par les électrons. Ce puits est le même pour H₂ et pour D₂ (où le deutérium remplace l'hydrogène), mais les masses diffèrent, donc ω aussi. La molécule ne repose jamais au fond du puits : il faut lui fournir moins d'énergie pour la casser que la profondeur du puits, et cet écart dépend de la masse.
Potentiel de Morse (un modèle réaliste de liaison) ajusté sur H₂, avec les niveaux de vibration calculés sur la matrice de Ĥ. La flèche rouge donne l'énergie du fondamental, la flèche verte l'énergie de dissociation D₀.
½ħω (oscillateur harmonique)
Énergie du fondamental (Morse)
D₀ calculée
D₀ mesurée
En chimie : l'effet isotopique
Vibration C–H, puis C–D2 900 ; 2 100 cm⁻¹valeurs typiques
Écart d'énergie du fondamental
Rapport des vitesses kH/kDe^(Δ/kBT), estimation simple
Le fondamental se pèse et se mesure. Si les noyaux reposaient au fond du puits, H₂, HD et D₂ auraient presque la même énergie de liaison. Les mesures diffèrent, et cet écart est bien expliqué par l'énergie du fondamental. Le même effet ralentit de plusieurs fois une réaction où une liaison C–D remplace une liaison C–H à rompre. C'est aussi pourquoi l'hélium reste liquide jusqu'aux plus basses températures à pression ordinaire : ses atomes légers ont une énergie de fondamental trop grande pour se figer dans un cristal.
La frise
1925 · Heisenberg trouve les niveaux de l'oscillateur par la mécanique des matrices : En = (n + ½)ħω.
1926 · Schrödinger résout l'oscillateur avec son équation, et décrit le paquet qui oscille sans se déformer.
1927 · Kennard calcule l'étalement du paquet libre. Hund étudie le double puits, et Nordheim le passage d'électrons à travers une barrière.
1928 · Gamow, Gurney et Condon expliquent la radioactivité α. Fowler et Nordheim expliquent l'émission d'électrons par un champ intense.
1954 · Townes et ses collègues réalisent le maser à ammoniac.
1957 · Esaki invente la diode à effet tunnel.
1981 · Binnig et Rohrer réalisent le microscope à effet tunnel.
1993 · Crommie, Lutz et Eigler observent à l'effet tunnel les ondes stationnaires d'électrons dans un « corral » d'atomes : une boîte circulaire vue directement.
2023 · Prix Nobel de chimie pour les boîtes quantiques, dont la couleur dépend de la taille.
À retenir
Libre
Une particule localisée est un paquet d'ondes. Il avance à la vitesse p/m, et il s'étale d'autant plus vite qu'il est étroit.
Confinée
Les conditions aux bords ne laissent que des énergies discrètes. Boîte : En ∝ n². Oscillateur : En = (n + ½)ħω. Le niveau le plus bas n'est jamais à zéro.
Devant un obstacle
L'onde se réfléchit même si elle a l'énergie de passer, et passe même si elle ne l'a pas. T décroît comme e−2κa, ce qui fait la puissance du microscope à effet tunnel et l'étendue des demi-vies α.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Tous les modèles sont à une dimension, sans spin et sans relativité, avec une seule particule. Les murs infinis et les marches parfaitement raides sont des idéalisations. Les simulations placent des murs aux bords de la grille de calcul. Le microscope et la radioactivité α utilisent des barrières schématiques, et les chiffres en unités réelles sont des ordres de grandeur.
La méthode WKB. Pour une barrière de forme quelconque, on remplace κa par l'intégrale ∫κ(x)dx : T ≈ exp(−2∫κ dx). C'est ce qu'utilise le calcul de Gamow de l'onglet « radioactivité α ».
Les opérateurs d'échelle. L'oscillateur se résout sans équation différentielle grâce aux opérateurs a et a†, qui font descendre et monter d'un niveau. La condition a|0⟩ = 0 donne directement la gaussienne et l'énergie ½ħω. Cette méthode est la porte d'entrée de la théorie quantique des champs.
Les pages voisines. « L'équation de Schrödinger » présente l'équation et les états stationnaires, « La mesure et les incertitudes » détaille ΔxΔp ≥ ħ/2, et « Le principe d'incertitude de Heisenberg » en donne les applications.
Données utilisées. Énergies de dissociation D₀ mesurées de H₂, HD et D₂ : « Dissociation Energy of Molecular Hydrogen Isotopologues », arXiv:1909.01985. Demi-vies α : « Systematic study of α decay half-lives for even-even nuclei within a two-potential approach », arXiv:1511.05652, valeurs à deux chiffres. Valeurs de Q, ωe et profondeur du puits de H₂ : tables usuelles, rappelées de mémoire et à vérifier avant citation.