Les premiers modèles à résoudre
Une particule libre, une boîte, une marche, une barrière et un ressort idéal : ces modèles simples montrent comment la forme du potentiel détermine les états, les énergies et les probabilités.
À explorer : les énergies discrètes, la réflexion sans obstacle infranchissable, l’effet tunnel et l’énergie non nulle du niveau fondamental.
Cours autonome, sans connexion • 40 à 60 minutes • écriture noire sur fond blanc cassé. Une particule sans spin, en une dimension, dans le cadre non relativiste.
La même méthode, plusieurs potentiels
- Définir V(x), le domaine et les conditions aux limites.
- Résoudre dans chaque région où le potentiel a une forme simple.
- Raccorder les solutions : pour une discontinuité finie et une masse constante, φ et φ′ sont continues.
- Normaliser les états liés ou calculer les flux pour les états de diffusion.
- Former si nécessaire un paquet ou une superposition pour étudier l’évolution.
Un état lié est spatialement confiné et normalisable. Un état de diffusion monochromatique s’étend à l’infini : ses ondes planes sont idéalisées et se traitent par flux, ou se combinent pour former des paquets normalisables.
La particule libre et le paquet d’ondes
Sur toute la droite, les solutions monochromatiques sont des ondes planes. Leurs énergies ne sont pas discrètes :
Une onde plane n’est pas localisée. Pour représenter une particule localisée, on superpose plusieurs nombres d’onde : on construit un paquet.
σ(t) = σ₀ √[1 + (ℏt/2mσ₀²)²]
Le centre se déplace uniformément. Pour cette gaussienne initiale sans corrélation position-moment, la largeur augmente : les différentes composantes ont des vitesses différentes.
La densité initiale est en pointillés ; la densité à l’instant choisi est en vert. L’aire totale sur la droite reste 1, même si des queues sortent du cadre.
Le paquet ne dessine pas une trajectoire de particule. Un paquet préparé avec d’autres corrélations peut initialement se contracter ; la formule affichée correspond au cas choisi ici.
La boîte : les conditions aux limites quantifient l’énergie
Entre 0 et L, V = 0. Les parois infinies imposent φ(0) = φ(L) = 0. Seules certaines ondes stationnaires satisfont ces deux contraintes.
Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²), n = 1, 2, 3…
Le niveau n possède n−1 nœuds intérieurs. Les énergies croissent comme n², et ne sont donc pas régulièrement espacées.
Doubler la taille de la boîte divise toutes les énergies par 4. Un confinement plus serré coûte de l’énergie cinétique.
La fonction d’onde acquiert une phase temporelle, mais la densité d’un état propre reste fixe. Dans le graphique supérieur, les deux courbes sont séparées verticalement et ont des échelles distinctes : elles ne doivent pas être comparées en hauteur.
Échelle d’énergie : E₀ = π²ℏ²/(2mL₀²). Le graphique des niveaux garde une échelle fixe. Animation ralentie avec phase Eₙt/ℏ.
La marche de potentiel
V(x) = 0 pour x < 0, puis V(x) = V₀ > 0 pour x ≥ 0. Une onde arrive de la gauche avec une énergie E > 0.
Au-dessus de la marche : E > V₀
k₂ = √[2m(E−V₀)]/ℏ
R = [(k₁−k₂)/(k₁+k₂)]²
T = 4k₁k₂/(k₁+k₂)²
Une partie est réfléchie, même si le passage est classiquement possible. R et T sont des rapports de flux : R + T = 1.
Sous la marche : E < V₀
La fonction pénètre avec une amplitude décroissante exp(−κx), où κ = √[2m(V₀−E)]/ℏ. Il n’y a pas de flux transmis à l’infini : R = 1 et T = 0.
Une pénétration dans une région interdite ne garantit pas une transmission : la marche s’étend à l’infini. Une barrière de largeur finie offre une seconde interface et permet l’effet tunnel.
Courbe : |φ|² rapporté à l’intensité de l’onde incidente, pas une densité normalisée sur toute la droite. Les oscillations à gauche viennent de la superposition des ondes incidente et réfléchie. Abscisse ξ = x√(2mV₀)/ℏ. À E = V₀, on utilise la limite du problème de diffusion : T = 0, R = 1.
La barrière de potentiel et l’effet tunnel
Le potentiel vaut V₀ sur une largeur a, et 0 de part et d’autre. Si 0 < E < V₀, la mécanique classique interdit le passage. La mécanique quantique prévoit pourtant une probabilité de transmission non nulle.
Le résultat exact sous la barrière
/ (4E(V₀−E))]−1
Augmenter la largeur ou la hauteur à énergie fixée réduit généralement fortement la transmission sous la barrière.
Pour une barrière suffisamment opaque, la dépendance dominante est exp(−2κa). Le coefficient exact contient aussi un facteur lié aux raccordements.
Au-dessus de la barrière
La transmission peut encore être inférieure à 1. Elle atteint 1 à certaines résonances, lorsque k₂a est un multiple entier de π.
Une particule transmise retrouve la même énergie cinétique après la barrière, car le potentiel y revient à sa valeur initiale. L’effet tunnel ne demande pas « d’emprunter de l’énergie » et ne viole pas la conservation de l’énergie.
Applications : microscope à effet tunnel, jonctions tunnel, modèles de désintégration alpha et réactions nucléaires. Les potentiels réels peuvent être plus complexes que ce rectangle.
La courbe de transmission est exacte pour une barrière rectangulaire et une onde monochromatique, à masse constante. Les points du schéma représentent seulement des flux : leur taille encode T ou R, pas une trajectoire calculée ni un temps de traversée. Aucun trajet à l’intérieur de la barrière n’est représenté.
E = V₀ : T = [1 + mV₀a²/(2ℏ²)]−1
L’oscillateur harmonique quantique
Près d’un minimum stable, beaucoup de potentiels sont approximativement paraboliques. L’oscillateur harmonique décrit ainsi les petites vibrations des molécules ou les modes vibratoires de solides.
Eₙ = ℏω(n + ½), n = 0, 1, 2…
Les niveaux sont régulièrement espacés de ℏω. Le fondamental porte le numéro n = 0, contrairement à la boîte où n commence à 1.
/ [π1/4√(2ⁿn!ℓ)]
ℓ = √(ℏ/(mω))
Hₙ est un polynôme de Hermite. Il apporte n nœuds à la fonction d’onde. La densité d’un état propre est stationnaire ; la partie réelle évolue avec sa phase.
Les lignes verticales dans le graphique inférieur marquent les points de rebroussement classiques, où V = Eₙ. La densité quantique possède des queues au-delà de ces points.
Une énergie plus élevée ne signifie pas que la particule suit une trajectoire d’oscillation déterminée. Pour obtenir une densité qui oscille comme un paquet localisé, on peut construire une superposition adaptée, notamment un état cohérent.
Abscisse x/ℓ₀, ℓ₀ = √(ℏ/(mω₀)). Énergie en ℏω₀. Densité représentée avec la même échelle pour tous les réglages. Courbe verte : densité, tracée vers le haut ; courbe orange : Re φ, tracée dans la bande inférieure avec une échelle propre.
Pourquoi le fondamental n’a-t-il pas une énergie nulle ?
Dans un oscillateur classique au repos à son minimum, position et quantité de mouvement peuvent être nulles. En mécanique quantique, un état ne peut pas avoir à la fois Δx = 0 et Δp = 0.
E ≥ ℏ²/[8m(Δx)²] + ½mω²(Δx)²
Pour un état centré, le premier terme est le coût minimal en énergie cinétique ; le second est le coût en énergie potentielle. Un état trop étroit coûte cher en cinétique, un état trop large coûte cher en potentiel. Le minimum de cette borne est atteint par la gaussienne fondamentale.
Δx = √(ℏ/(2mω)) ; Δp = √(mℏω/2)
Le graphique utilise des gaussiennes d’essai centrées, sans corrélation position-moment. Leurs énergies valent :
⟨V⟩/(ℏω) = r²/4
À r = 1, les deux contributions valent 1/4, et leur somme vaut 1/2. C’est le fondamental exact.
La boîte possède aussi un fondamental non nul, mais avec une autre expression. Une particule libre sur la droite a un spectre dont la borne inférieure est 0, sans état fondamental normalisable à énergie exactement nulle.
Le zéro absolu d’énergie peut être décalé par une constante. L’énergie « non nulle » de l’oscillateur est ici mesurée par rapport au minimum du potentiel V = 0. Les écarts entre niveaux et ce décalage par rapport au minimum sont les points physiques pertinents.
Comparer les modèles
| Modèle | Énergies | Idée essentielle |
|---|---|---|
| Libre sur la droite | Continu, E ≥ 0 | Paquets et dispersion |
| Boîte infinie | Discrètes, proportionnelles à n² | Conditions aux limites et confinement |
| Marche | États de diffusion | Réflexion et onde évanescente |
| Barrière finie | États de diffusion | Tunnel et résonances de transmission |
| Oscillateur harmonique | Discrètes, espacées de ℏω | Énergie de point zéro et vibrations |
Quiz corrigé
À retenir : le potentiel et les conditions aux limites décident de la forme des états. Les états liés peuvent avoir des énergies discrètes ; les états de diffusion révèlent la réflexion et la transmission quantiques.