Deux phrases, une famille de référentiels, et des horloges et des règles pour donner un sens aux mots « espace » et « temps ». Toute la relativité restreinte en découle.
En juin 1905, Einstein pose à la base de son article sur l'électrodynamique des corps en mouvement deux énoncés, résumés ici en termes actuels :
Pris séparément, chacun paraît raisonnable. Ensemble, ils semblent absurdes : un même éclair doit aller à la vitesse c pour deux observateurs qui se déplacent l'un par rapport à l'autre. La sortie de cette contradiction est dans la figure : chaque observateur a ses propres règles et ses propres horloges, et ils ne les règlent pas de la même façon.
Un éclair part du point où les deux origines se croisent. Chaque règle porte des horloges. Quand l'éclair passe devant une horloge, on lit sa position et son heure : dans les deux cas, position ÷ heure = c. Ici, c vaut une graduation par unité de temps.
Le premier postulat parle de « référentiels inertiels ». Un référentiel est un système de règles et d'horloges. Il est inertiel si un objet qui ne subit aucune force y va tout droit, à vitesse constante. Cette définition est une épreuve qu'on peut passer, ou rater.
On lance ici une bille à 1 m/s sur une table sans frottement. On mesure l'écart de sa trajectoire à une ligne droite, avec une précision choisie. Si l'écart dépasse trois fois la précision, le référentiel a raté l'épreuve.
Trajectoire vue depuis le référentiel, en bleu, et ligne droite joignant ses extrémités, en gris. L'échelle s'adapte à la longueur du parcours.
Écart à la ligne droite au cours du temps, à sa propre échelle. La bande orange marque le seuil de détection, ±3 fois la précision.
La figure compare le déplacement ½aT² que chaque mouvement produit sur la durée T à la précision de mesure (trait rouge). À droite du trait, l'effet se voit : le référentiel n'est plus inertiel à cette précision.
Échelle logarithmique : chaque graduation multiplie par 100. Les valeurs de la Voie lactée sont des ordres de grandeur.
Si un référentiel passe l'épreuve, tout référentiel en translation uniforme par rapport à lui la passe aussi. Sur ce diagramme espace-temps, les mouvements libres sont des droites. Le changement de référentiel doit donc envoyer des droites sur des droites.
Trois mouvements libres, vus depuis l'autre référentiel. En pointillé gris, leur tracé d'origine.
Galilée avait établi le principe pour la mécanique. Einstein l'étend à toute la physique : il n'existe aucun repos absolu, aucune expérience de laboratoire ne peut mesurer « la » vitesse d'un référentiel. Attention : les lois sont les mêmes, pas les valeurs mesurées.
L'équation des ondes, utt = c²uxx, est la loi de propagation de la lumière dans le vide. On prend un éclair qui la vérifie et on le décrit depuis un autre référentiel. La loi reste-t-elle vraie ?
Le même éclair vu depuis le référentiel en mouvement, à trois instants. Le point rouge suit son sommet.
Avec Lorentz, la loi est intacte, mais l'éclair n'a plus la même largeur : c'est l'effet Doppler. La même loi, des valeurs différentes : c'est exactement ce que dit le postulat.
Voici l'exemple le plus parlant. Un fil neutre est parcouru par un courant : les ions positifs (bleus) sont immobiles, les électrons (rouges) circulent. Une charge d'essai (verte) file le long du fil. Dans le laboratoire, le fil est neutre : pas de force électrique. La charge subit une force magnétique. Mais dans le référentiel de la charge, elle est immobile : aucune force magnétique ne peut agir sur elle. Si la charge est attirée, une force électrique doit donc exister. D'où vient-elle ?
En haut, le laboratoire. En bas, le référentiel de la charge : la contraction n'y est pas la même pour les ions et pour les électrons, et le fil n'est plus neutre. Vitesses très exagérées.
Dans l'article de 1905, le second postulat dit que la lumière va à la vitesse c dans un référentiel, quel que soit le mouvement de sa source. Combiné au premier, il implique que tout observateur inertiel lui trouve la même vitesse. C'est l'énoncé qui paraît impossible.
À l'instant où O et O′ se croisent, un éclair part de ce point. Chacun voit-il un cercle centré sur lui ? Oui, si l'on calcule chaque point du front avec Lorentz. Non, si l'on garde Galilée.
Depuis O : le front d'onde à un instant t de ses horloges. O′ s'éloigne vers la droite.
Depuis O′ : l'ensemble des points du front qui sont à l'instant t′ de ses horloges. Le point rouge suit le même rayon.
Comment deux cercles de centres différents peuvent-ils représenter le même éclair ? Parce que ce ne sont pas les mêmes événements : les points du cercle de O′ sont simultanés pour O′, pas pour O. Le mot « maintenant » n'a pas la même étendue pour les deux.
Si la source lançait sa lumière comme un canon lance un boulet, la vitesse serait c + kv, avec k = 1. En 1964, au synchrotron à protons du CERN, Alväger et ses collègues ont mesuré le temps de vol sur 31,45 m de rayons gamma émis par des mésons neutres allant à 0,99975 c. La lumière d'une source qui file presque à c va-t-elle deux fois plus vite ?
En haut, la course sur 31,45 m au ralenti, en nanosecondes. En bas, le temps de vol selon k. Le point vert est la mesure de 1964 ; ses barres d'erreur sont trop petites pour être vues.
La grande nouveauté de 1905 n'est pas une formule. C'est une question de méthode : que veut dire, concrètement, « au même moment » ou « de telle longueur » ? Einstein répond par des procédures de mesure : toute affirmation sur le temps porte sur « des relations entre des corps rigides, des horloges et des processus électromagnétiques ».
Une horloge donne l'heure là où elle est. Pour comparer deux horloges éloignées, il faut un signal. Mais pour connaître sa vitesse à sens unique, il faudrait déjà deux horloges synchronisées : le raisonnement tourne en rond. La solution d'Einstein est une définition : on envoie un éclair de A à B et retour, et on convient que l'aller et le retour durent le même temps. Si l'éclair part de A à t₁ et y revient à t₂, l'horloge B doit marquer t₁ + ε(t₂ − t₁) à l'instant de la réflexion, avec ε = ½.
Diagramme espace-temps de A et B (temps vers le haut). En jaune l'éclair. En rouge, les événements qu'on déclare simultanés au moment de la réflexion.
Autre procédé : transporter une horloge de A à B à la vitesse w. Elle prend un retard sur la synchronisation d'Einstein, qui s'annule si le transport est très lent.
Imaginons chaque référentiel comme une immense règle garnie d'horloges, toutes synchronisées par la méthode d'Einstein. Pour dater un événement, on lit l'horloge qui se trouve exactement là. Voici deux de ces « forêts » qui se croisent, vues depuis la première.
En haut, les horloges de S marquent toutes la même heure. En bas, celles de S′ passent : vues depuis S, elles sont plus rapprochées, plus lentes, et ne marquent pas la même heure.
Comment mesurer une règle qui passe ? On marque ses deux extrémités sur sa propre règle fixe, et on mesure entre les marques. Mais il faut marquer au même moment. La longueur d'un objet en mouvement dépend donc de la simultanéité, c'est-à-dire des horloges.
La tige orange a une longueur propre de 4 graduations. Marque verte : l'arrière à t = 0. Marque rouge : l'avant, décalée de Δt. La tige continue de défiler.
Comment la vitesse de la lumière peut-elle être la même pour un observateur qui lui court après ? Regardons sa mesure depuis l'autre référentiel. Trois effets s'ajoutent, et il les faut tous les trois. Ensuite, inversons le raisonnement : partons des postulats et voyons la transformation de Lorentz s'imposer d'elle-même.
Un observateur emporte une règle de longueur propre 1 et deux horloges A et B. Il mesure la vitesse de la lumière de A vers B, puis de B vers A. Vu de notre référentiel, il va à la vitesse β, et l'éclair met plus de temps à rattraper B qu'à revenir vers A. Pourquoi trouve-t-il quand même 1 ? Désactivez les effets pour le voir.
Vue depuis notre référentiel. La règle file vers la droite. L'éclair va à c, de A vers B puis de B vers A. Sous chaque extrémité, l'heure que marque son horloge.
Cherchons le passage d'un référentiel à l'autre sous la forme la plus simple qui conserve les droites : x′ = a(x − βt) et t′ = a(t − bx), avec c = 1. Il reste deux nombres à trouver, a et b. Trois exigences les fixent.
En noir, les axes x et t. En bleu, les axes x′ et t′ avec leurs graduations. En jaune, les rayons lumineux. En vert, l'hyperbole t² − x² = 1 : les graduations de longueur unité devraient s'y poser.
Un postulat n'est pas une affirmation qu'on accepte sans preuve : on en tire des conséquences, et on les confronte à la mesure.
| Date | Expérience | Ce qu'elle teste | Résultat |
|---|---|---|---|
| 1887 | Michelson et Morley | La vitesse aller-retour dépend-elle de l'orientation ? | Non, au plus un quart environ de la vitesse attendue |
| 1932 | Kennedy et Thorndike | Dépend-elle de la vitesse de l'appareil ? | Non |
| 1938 | Ives et Stilwell | Les horloges en mouvement ralentissent-elles ? | Oui, par effet Doppler du second ordre |
| 1964 | Alväger et coll. | La vitesse de la lumière dépend-elle de la source ? | Non : k = (−3 ± 13)·10⁻⁵ à 0,99975 c |
| 2014 | Botermann et coll. | Ralentissement d'ions lithium à 0,338 c | Conforme à ±2,3·10⁻⁹ |
| 2015 | Nagel et coll. | Isotropie, par résonateurs optiques tournants | Pas d'écart : Δν/ν = (9,2 ± 10,7)·10⁻¹⁹ |
Le second postulat suit-il du premier ? Presque. On peut montrer que la relativité seule, avec l'homogénéité et l'isotropie de l'espace, impose une vitesse limite commune à tous les référentiels, peut-être infinie. Galilée correspond au cas d'une limite infinie. C'est l'expérience, et les équations de Maxwell, qui disent qu'elle est finie et que la lumière l'atteint.
Les règles et les horloges sont-elles vraiment premières ? Einstein lui-même trouvait cette situation peu satisfaisante : dans ses Notes autobiographiques, il remarque qu'en toute rigueur, règles et horloges devraient être décrites par les équations de la physique et non posées d'emblée. Le programme a été poursuivi : les atomes et les solides, décrits par des lois invariantes, se contractent et ralentissent d'eux-mêmes.
Un même éclair et deux « vrais » instants ? Il n'y a pas de contradiction logique tant qu'on ne compare que des événements en un même point, seuls à être absolus. Tout ce qui est compté comme un écart entre lieux dépend de la synchronisation.
Dans la même série. origines-relativite-v1.html pour le chemin qui mène à 1905, relativite-v1.html pour les conséquences (éclairs dans un train, perche dans la grange), la page sur la géométrie de Minkowski pour le diagramme d'espace-temps, emc2-v1.html pour l'énergie.
Sources principales. Einstein, Annalen der Physik 17, 1905 (les formulations de cette page sont des résumés et traductions libres) ; Alväger et coll., Physics Letters 12, 1964 ; Botermann et coll., Physical Review Letters 113, 2014 ; Nagel et coll., Nature Communications 6, 2015.