Physique

Les outils mathématiques pour la mécanique quantique

La mécanique quantique se dit dans une langue précise : nombres complexes, vecteurs, opérateurs. Cette page présente chaque outil en le manipulant, dit à quoi il sert en physique, et les réunit à la fin dans un calcul complet : un spin dans un champ magnétique.

Une fonction d'onde : en chaque point, une flèche dans le plan complexe. Ici, une onde plane e^(i(kx − ωt)), dont toutes les flèches tournent ensemble.

L'outil	Ce qu'il représente en physique	Où
Nombre complexe, e^iθ	Une amplitude et sa phase, le temps qui s'écoule	Planche 1
Vecteur, base	Un état ; une liste de résultats de mesure possibles	Planche 2
Produit scalaire	L'amplitude de passer d'un état à un autre	Planche 2
Matrice, opérateur	Une grandeur physique, une évolution	Planche 3
Valeurs et vecteurs propres	Les résultats possibles et les états où ils sont certains	Planche 3
Hermitien, commutateur	Des résultats réels ; deux grandeurs compatibles ou non	Planche 4
Ket et bra	Une écriture qui fait tout cela à la fois	Planche 5

Planche 1

Nombres complexes et exponentielle complexe

Un nombre complexe z = a + ib, avec i² = −1, est un point du plan, donc une flèche. On peut aussi le décrire par sa longueur r = |z| et son angle φ, appelé phase : z = r e^iφ. En mécanique quantique, ces flèches sont partout : ce sont les amplitudes.

z·w = r_zr_w e^i(φ_z+φ_w) · z* = a − ib · z z* = |z|²

Multiplier deux complexes, c'est multiplier les longueurs et ajouter les angles : c'est donc une rotation accompagnée d'un agrandissement. Faites glisser les pointes z et w sur la figure.

z (bleu), w (orange), leur produit (rouge), le conjugué z* (gris, symétrique de z par rapport à l'axe réel). Cercle : module 1.

|z|

Phase de z

|w|

Phase de w

z en coordonnéesa + ib

w en coordonnéesa + ib

z·w, par (a + ib)(c + id)

z z* (toujours réel, positif)

Pourquoi le conjugué compte autant. z z* = |z|² transforme une flèche en un nombre réel positif. C'est ainsi qu'une amplitude devient une probabilité. Multiplier par e^iα fait seulement tourner la flèche, sans changer |z|² : la phase globale ne se voit pas.

e^iθ = cos θ + i sin θ (Euler) · e^iθ = Σ_k≥0 (iθ)^k/k!

Quand θ augmente, e^iθ tourne sur le cercle unité. Ses deux projections donnent un cosinus et un sinus : une rotation contient deux oscillations. La série de droite, chaque terme tournant d'un quart de tour par rapport au précédent, se referme exactement sur le point du cercle.

À gauche, e^iωt sur le cercle. À droite, ses parties réelle (bleu) et imaginaire (rouge) au cours du temps.

La série tracée bout à bout : chaque terme (iθ)^k/k! est une flèche. Point vert : e^iθ, sur le cercle.

Écart entre la somme de N termes et cos θ + i sin θ, échelle logarithmique (point : le N choisi ; pointillé : θ^N/N!).

Angle θ

Nombre de termes N

Somme de N termes

cos θ + i sin θ|e^(iθ)| = 1

Écart

Le temps qui s'écoule est une rotation. Un état d'énergie E évolue par le facteur e^−iEt/ħ : sa phase tourne, à une vitesse fixée par E. À θ = π, e^iπ = −1. Avec θ = π et assez de termes, l'écart descend jusqu'à la précision de la machine.

Deux amplitudes tournent à des vitesses différentes, E₁/ħ et E₂/ħ. On additionne les flèches, puis on prend le carré de la longueur. Le résultat oscille, alors que chaque |c|² est constant : voilà une interférence.

|c₁e^−iE₁t/ħ + c₂e^−iE₂t/ħ|² = |c₁|² + |c₂|² + 2|c₁c₂| cos((E₂ − E₁)t/ħ + δ)

Deux flèches placées bout à bout (bleu, orange) et leur somme (rouge).

|c₁ + c₂|² au cours du temps (bleu) et |c₁|² + |c₂|² (rouge pointillé), somme naïve des probabilités.

|c₁|

|c₂|

Écart E₂ − E₁ (ħ = 1)

Maximum et minimum mesurés

Période mesurée

Moyenne sur une période

Seule la phase relative a un effet. Faire tourner les deux flèches d'un même angle ne change rien à leur somme. L'écart de phase, lui, change tout. Voilà pourquoi une théorie des amplitudes a besoin de nombres complexes, et non de simples probabilités réelles.

Planche 2

Vecteurs, bases, produit scalaire et espaces de Hilbert

Un espace vectoriel est un ensemble d'objets que l'on peut additionner et multiplier par des nombres, ici complexes. C'est le principe de superposition écrit en mathématiques : si ψ₁ et ψ₂ sont des états, c₁ψ₁ + c₂ψ₂ en est un autre. Une base est une famille de vecteurs permettant d'écrire tous les autres, de façon unique. Le vecteur ne dépend pas de la base : seules ses coordonnées en dépendent.

Le même vecteur v, dans deux bases différentes. Déplacez v, tournez la base, et écartez ses deux axes.

v (bleu, à déplacer) et la base e₁, e₂ (rouge), avec le quadrillage qu'elle définit. Les pointillés montrent la décomposition v = c₁e₁ + c₂e₂.

Rotation de la base

Angle entre e₁ et e₂

Coordonnées c₁ et c₂par résolution du système

Projections e₁·v et e₂·v

c₁² + c₂² et |v|²

Pourquoi préférer une base orthonormée. Les coordonnées y sont de simples projections, et la somme de leurs carrés reste la longueur au carré. En physique, c₁² + c₂² = 1 signifie que les probabilités ont une somme de 1. Une base orthonormée est, pour nous, la liste des résultats mutuellement exclusifs d'une mesure.

Les fonctions s'additionnent et se multiplient par des nombres : elles forment un espace vectoriel, de dimension infinie. Dans le puits, les φₙ(x) = √2 sin(nπx) sont une base orthonormée, et les coordonnées de f sont cₙ = ⟨φₙ|f⟩ = ∫φₙ f dx. C'est l'analyse de Fourier, lue comme une projection.

f (gris) et sa somme partielle sur N vecteurs de base (bleu). Points : une fonction échantillonnée n'est qu'une longue colonne de nombres.

Les coordonnées cₙ de f, composante par composante.

Fonction f

Nombre de vecteurs de base N

‖f‖² et Σ|cₙ|² (N termes)égalité de Parseval quand N → ∞

Erreur en norme L²

Erreur maximale, point par pointelle peut ne pas tendre vers 0

‖S₂ₙ − Sₙ‖ (suite de Cauchy)tend vers 0

Orthonormalité : plus grand écart à δₘₙ∫φₘφₙdx, m, n ≤ 8

Ce qu'ajoute le mot « Hilbert ». Un espace de Hilbert est un espace vectoriel avec un produit scalaire, et complet : toute suite dont les termes se rapprochent (suite de Cauchy) converge dans l'espace. Essayez le créneau : les sommes partielles sont continues, et leur limite ne l'est pas. Sans la complétude, on perdrait cette limite. L'erreur maximale, elle, ne descend pas sous 0,5, à cause des sauts aux bords et du pic de Gibbs, alors que l'erreur L² disparaît. C'est la norme L² qui compte, car c'est elle qui donne les probabilités.

Dans un espace complexe, le produit scalaire conjugue le premier vecteur. Sinon, un vecteur pourrait avoir une « longueur » nulle. Sa valeur complexe est l'amplitude de passage, et son carré une probabilité.

⟨u|v⟩ = Σᵢ uᵢ* vᵢ (et ∫u*(x) v(x) dx pour des fonctions) · ⟨v|v⟩ = ‖v‖² ≥ 0

⟨u|v⟩ construit terme à terme, pour deux vecteurs de ℂ² : u₁*v₁ (bleu) puis u₂*v₂ (orange). La somme (rouge) reste dans le cercle unité.

Pour v = (1, e^(iχ))/√2 : Σ|vᵢ|² vaut toujours 1 (bleu), alors que |Σvᵢ²| sans conjugué s'annule à χ = 90° (rouge). Point : la valeur de χ égale à la phase de v.

Mélange de u

Phase relative de u

Mélange de v

Phase relative de v

⟨u|v⟩

⟨v|u⟩le conjugué : ⟨v|u⟩ = ⟨u|v⟩*

Probabilité |⟨u|v⟩|²≤ ‖u‖²‖v‖² = 1 (Cauchy-Schwarz)

Normes de u et vles deux valent 1

La probabilité de transition est un produit scalaire. Un système préparé dans |v⟩ est trouvé dans |u⟩ avec la probabilité |⟨u|v⟩|². Elle vaut 1 si les états sont identiques à une phase près, et 0 s'ils sont orthogonaux : deux états orthogonaux se distinguent parfaitement.

Planche 3

Matrices, opérateurs, valeurs propres et vecteurs propres

Un opérateur linéaire transforme un vecteur en un autre, en respectant les sommes et les multiples. Dans une base donnée, il s'écrit comme une matrice. Un vecteur propre est un vecteur dont seule la longueur change : Âv = λv, λ étant sa valeur propre. En physique, λ est un résultat de mesure possible, et v l'état où ce résultat est certain.

Le plan se déforme de l'identité vers A, en continu. Cercle unité → ellipse. e₁ et e₂ deviennent les colonnes de la matrice.

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

Déterminant

Tracesomme de la diagonale

Valeurs propres

Linéaire, et c'est tout. Une matrice se résume à ce qu'elle fait aux vecteurs de base. Le projecteur écrase le plan sur une droite : c'est le modèle de la mesure. La rotation, elle, n'a aucune direction fixe réelle : ses valeurs propres sont ±i. Il faut les nombres complexes pour que toute matrice ait des valeurs propres.

Un vecteur v (bleu) balaie le cercle, et Av (rouge) suit. Quand ils sont alignés, on tient un vecteur propre, et le rapport des longueurs donne λ. La page cherche ces directions par dichotomie, et compare aux racines de det(A − λI) = 0.

det(A − λI) = λ² − (tr A) λ + det A = 0

Le test : v balaie les directions, Av suit. Droites vertes : les directions propres trouvées.

Le produit vectoriel v × Av selon l'angle de v : il s'annule aux directions propres.

Direction 1 et λ₁ (balayage)

Direction 2 et λ₂ (balayage)

Polynôme caractéristiqueλ₁ + λ₂ = tr A, λ₁λ₂ = det A

Résidu ‖Av − λv‖

La matrice est celle de l'onglet « Une matrice transforme ».

Dans sa base propre, un opérateur devient simple. La matrice y est diagonale, avec les λ sur la diagonale. Mesurer une grandeur revient à écrire l'état dans cette base : les coordonnées y donnent les probabilités, et les λ les résultats.

Les matrices se généralisent aux fonctions. Choisissez un opérateur et un état du puits. Les éléments de matrice ⟨φₘ|Â|φₙ⟩ forment un tableau infini, dont voici le début. Unités ħ = m = L = 1.

Opérateur

État φₙ

Élément ligne m

φₙ (bleu) et Âφₙ (rouge, ramené à la même échelle). Si les deux courbes ont la même forme, φₙ est une fonction propre.

Module des éléments de matrice (6 × 6). L'élément choisi est encadré. Ĥ est diagonale, x̂ et p̂ ne le sont pas.

⟨φₘ|Â|φₙ⟩, intégrale numérique

φₙ est-elle propre ?

Une matrice, une grandeur, une base. Le même opérateur Ĥ est un « −½ d²/dx² » dans le langage des fonctions, et une matrice diagonale dans la base des φₙ. Ces deux écritures ne sont qu'une seule et même chose. Heisenberg a découvert la seconde en 1925, Schrödinger la première en 1926, et l'équivalence a été montrée peu après.

Pour une fonction, Âψ = λψ est une équation différentielle. Résolvons −½ψ″ = Eψ en partant du bord gauche avec ψ(0) = 0, pour une valeur quelconque de E. La solution existe toujours, mais ne revient à 0 au bord droit que pour certains E. C'est de là que vient la quantification.

La solution intégrée par Runge-Kutta. Si elle ne s'annule pas en x = 1, elle ne décrit pas une particule dans le puits.

La valeur en x = 1 selon E. Ses zéros sont les valeurs propres (points verts), trouvés par dichotomie.

Énergie essayée E

ψ(1) pour ce Edoit être nulle

Valeurs propres trouvées

La condition au bord fait le spectre. Dans ce puits, ce sont les bords qui trient les solutions. Il n'y a rien de plus mystérieux que pour une corde de guitare : seules certaines fréquences lui sont permises. Sans bord, le spectre redevient continu.

Planche 4

Opérateurs hermitiens et commutateurs

Un résultat de mesure est un nombre réel, donc une grandeur physique doit avoir des valeurs propres réelles. Les opérateurs hermitiens ont cette propriété, et leurs vecteurs propres de valeurs différentes sont orthogonaux. Le commutateur, lui, indique si deux grandeurs peuvent être bien définies ensemble.

Â† = Â, c'est-à-dire A_ij = A_ji* · [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â

La démonstration tient en deux lignes : si Âv = λv, alors λ⟨v|v⟩ = ⟨v|Âv⟩ = ⟨Âv|v⟩ = λ*⟨v|v⟩, donc λ est réel. Vérifions avec une matrice 2 × 2 complexe. Le curseur ε casse la symétrie entre les éléments A₁₂ et A₂₁.

Les valeurs propres dans le plan complexe. Tant que ε = 0, elles restent sur l'axe réel.

Selon ε : partie imaginaire de λ (rouge) et |⟨v₁|v₂⟩| (bleu), le recouvrement des deux vecteurs propres. À ε = 0, il est nul.

A₁₁

A₂₂

Module de A₁₂

Phase de A₁₂

Défaut d'hermiticité ε

Valeurs propres

|⟨v₁|v₂⟩|0 pour un hermitien

‖⟨u|Av⟩ − ⟨Au|v⟩‖sur un couple u, v fixé

‖A − A†‖mesure le défaut d'hermiticité

p̂ est-il hermitien ? Le bord décide

Avec le facteur −i, p̂ vérifie ⟨f|p̂g⟩ = ⟨p̂f|g⟩, grâce à une intégration par parties, pourvu que les fonctions s'annulent au bord. Le curseur laisse f et g non nulles au bord droit, avec f(1) = 1. Elles restent réelles sur [0, 1], et l'écart vaut alors −i f(1)g(1).

Valeur de g au bord, g(1)

⟨f|p̂g⟩−i∫f g′dx

⟨p̂f|g⟩(−i∫f′g dx)*

Écart mesuré

Le facteur i n'est pas un détail. d/dx seul donne ⟨f|g′⟩ = −⟨f′|g⟩ : il est anti-hermitien. Le « i » de p̂ = −iħ d/dx le rend hermitien, avec des valeurs propres réelles. Et la condition au bord compte : un opérateur en dimension infinie n'est défini qu'avec son domaine.

Deux opérations peuvent donner des résultats différents selon l'ordre. Tournez un cube de 90° autour de x puis de y, et recommencez dans l'autre ordre : le résultat diffère. Les matrices de spin de Pauli décrivent exactement ces rotations.

σₓ = [[0, 1], [1, 0]] · σᵧ = [[0, −i], [i, 0]] · σ_z = [[1, 0], [0, −1]] · [σₓ, σᵧ] = 2iσ_z

Le même cube, deux ordres : d'abord x puis y (gauche), d'abord y puis x (droite). Les faces colorées ne finissent pas au même endroit.

Angle de chaque rotation θ

A = B =

ABBA[A, B]

Le commutateur

‖Rₓ Rᵧ Rₓ⁻¹ Rᵧ⁻¹ − 1‖ à cet angle

Pente log-log aux petits anglesattendue : 2, l'écart va comme θ²

Commuter, c'est être compatible. Deux hermitiens qui commutent ont une base de vecteurs propres commune : on peut les connaître ensemble. S'ils ne commutent pas, leur commutateur fixe la limite σ_Aσ_B ≥ ½|⟨[Â, B̂]⟩|. Aux petits angles, l'écart entre les deux ordres est proportionnel à θ², avec le commutateur en facteur.

Appliquons x̂ et p̂ à une fonction d'essai, dans les deux ordres. x̂p̂ f = −iħ x f′, et p̂x̂ f = −iħ (f + x f′). Leur différence est simplement iħ f, quelle que soit f. Cette ligne est la racine des relations d'incertitude. Dérivées numériques, ħ = 1.

Partie imaginaire de x̂p̂ f (orange) et de p̂x̂ f (violet), et f (gris).

La différence (x̂p̂ − p̂x̂)f, partie imaginaire (bleu), comparée à f (vert pointillé). Les deux courbes coïncident.

Fonction f

Écart maximal avec iħ fdifférences finies d'ordre 4

Rapport (x̂p̂ − p̂x̂)f / fen x = 0,7, attendu : i

En dimension finie, c'est impossible. La trace d'un commutateur de matrices finies vaut toujours 0, alors que celle de iħ·I ne l'est pas. La relation [x̂, p̂] = iħ impose donc un espace de dimension infinie : c'est pourquoi on a besoin des espaces de Hilbert.

Planche 5 · Signature

La notation de Dirac : tout le calcul en une écriture

Dirac introduit en 1939 une écriture qui rassemble tout le reste. Un ket |ψ⟩ est un état, c'est-à-dire un vecteur, indépendant de la base. Un bra ⟨ψ| est son pendant : une ligne conjuguée, qui attend un ket. Mis ensemble, ils forment un « bracket », en français un crochet : ⟨φ|ψ⟩ est un nombre, et |ψ⟩⟨φ| un opérateur.

Dirac	Colonnes	Fonctions	Ce que c'est
\|ψ⟩	colonne (c₁, c₂, …)	ψ(x)	Un état
⟨ψ\|	ligne (c₁, c₂, …)	ψ*(x), à intégrer	Une forme qui attend un ket
⟨φ\|ψ⟩	ligne × colonne	∫φ*ψ dx	Un nombre : l'amplitude
\|ψ⟩⟨φ\|	colonne × ligne	ψ(x) φ*(x′)	Une matrice : un opérateur
Â\|ψ⟩	matrice × colonne	(Âψ)(x)	Un nouvel état
⟨φ\|Â\|ψ⟩	ligne × matrice × colonne	∫φ*Âψ dx	Un élément de matrice

Mélange de |ψ⟩

Phase relative de |ψ⟩

Mélange de |φ⟩

Phase relative de |φ⟩

Le jeu des formes. Chaque case est un nombre complexe : sa couleur donne la phase, sa surface le module. Ligne × colonne donne une case, et colonne × ligne un carré : deux produits très différents.

|ψ⟩⟨φ||φ⟩⟨φ|, projecteur

⟨φ|ψ⟩

P = |φ⟩⟨φ| : ‖P² − P‖un projecteur vérifie P² = P

Trace de P1 pour un état normé

P|ψ⟩ = |φ⟩⟨φ|ψ⟩, norme²la probabilité |⟨φ|ψ⟩|²

L'écriture calcule à votre place. |φ⟩⟨φ|ψ⟩ se lit dans les deux sens : l'opérateur |φ⟩⟨φ| agit sur |ψ⟩, ou le nombre ⟨φ|ψ⟩ multiplie |φ⟩. La parenthèse est sans importance, et les formes s'emboîtent toutes seules : bra à gauche, ket à droite.

Le symbole le plus utile de la notation est le 1 : Σ|n⟩⟨n| = 1, si les |n⟩ forment une base orthonormée. On l'insère n'importe où pour changer de base. Ainsi ⟨p|ψ⟩ = Σₓ⟨p|x⟩⟨x|ψ⟩ : la transformation de Fourier n'est qu'une insertion de 1. Ci-dessous, un état sur 32 points, dans les deux bases.

⟨x|ψ⟩ : les composantes de l'état dans la base des positions, couleur = phase.

⟨p|ψ⟩ : le même ket dans la base des quantités de mouvement.

Centre x₀

Largeur σ

Impulsion moyenne (indice)

Σ|⟨x|ψ⟩|²norme dans la base x

Σ|⟨p|ψ⟩|²même norme, base p

‖Σₚ|p⟩⟨p| − 1‖la relation de fermeture

Largeurs σₓ et σₚ (indices)

Position, impulsion, énergie : le même ket. ψ(x) n'est pas l'état : c'est sa composante ⟨x|ψ⟩. Changer de base ne change pas l'état, de même que le changement de repère ne change pas une flèche. Rigoureusement, |x⟩ et |p⟩ continus ne sont pas de vrais vecteurs de l'espace de Hilbert, car ils ne sont pas normalisables. Ici, leur version discrète l'est.

Tous les outils sur un seul exemple : un spin dans un champ magnétique, préparé dans |↑⟩. L'hamiltonien est Ĥ = ½(Ωσₓ + Δσ_z), avec ħ = 1. Quelle est la probabilité de le trouver dans |↓⟩ au temps t ? Suivez le tableau : chaque ligne utilise un outil des planches précédentes.

|ψ(t)⟩ = Σₙ e^−iλₙt |n⟩⟨n|ψ(0)⟩ ⟹ P_↓(t) = |⟨↓|ψ(t)⟩|²

La sphère de Bloch : le vecteur ⟨σ⟩ de l'état (bleu) tourne autour de l'axe du champ (rouge), avec sa trace.

P_↓(t) calculé par la formule de Rabi (bleu) et par la décomposition spectrale (points rouges).

Couplage Ω

Décalage Δ

Temps t

Spectral contre série de Taylorécart sur ψ(t), e^(−iĤt) par sa série

Spectral contre Runge-Kutta 4écart, sur i d|ψ⟩/dt = Ĥ|ψ⟩

Formule de Rabi

d⟨σ_z⟩/dt

Toute la mécanique quantique à deux niveaux, en sept lignes. Les complexes font tourner les phases, le produit scalaire donne les amplitudes, l'hermiticité garantit des énergies réelles et une évolution qui conserve la norme, et le commutateur [Ĥ, σ_z] dit si σ_z va changer. Mettez Ω à 0 : Ĥ commute avec σ_z, et le spin ne bouge plus. Trois méthodes indépendantes donnent le même résultat.

La frise

XVIᵉ siècle · Cardan et Bombelli manipulent les racines de nombres négatifs.
1748 · Euler : e^iθ = cos θ + i sin θ.
1806 · Argand donne l'image géométrique des complexes, comme Wessel avant lui.
1822 · Fourier : les fonctions se décomposent en sinus.
1858 · Cayley fonde le calcul des matrices.
1904-1910 · Hilbert, puis Schmidt et Riesz : les espaces de dimension infinie.
1925 · Heisenberg, Born et Jordan : la physique s'écrit avec des matrices, et [x, p] = iħ.
1926 · Schrödinger : les fonctions propres d'un opérateur. Il montre l'équivalence avec les matrices.
1927 · Pauli introduit ses matrices pour le spin.
1932 · Von Neumann : le cadre des espaces de Hilbert et des opérateurs hermitiens.
1939 · Dirac : la notation des bras et des kets.

À retenir

Le décor

Les états sont des vecteurs d'un espace de Hilbert. On peut les additionner, et le produit scalaire ⟨φ|ψ⟩ donne les amplitudes.

Les acteurs

Les grandeurs sont des opérateurs hermitiens. Leurs valeurs propres sont les résultats possibles, leurs vecteurs propres une base orthonormée.

La règle du jeu

Le commutateur dit ce qui est compatible. L'évolution s'écrit e^−iĤt/ħ. Et la notation de Dirac permet de tout écrire en une ligne.

Pour aller plus loin

Ce que la page simplifie. Le mot « hermitien » est employé ici au sens courant des physiciens. En dimension infinie, les mathématiciens distinguent opérateur symétrique et auto-adjoint : c'est la question du domaine, entrevue avec le bord de p̂. Les états |x⟩ et |p⟩ exigent un cadre élargi, les espaces de Hilbert équipés.

Les pages voisines. Le cahier contient des pages plus complètes sur les nombres complexes, les matrices, la décomposition en valeurs singulières et la transformée de Fourier. Pour l'usage physique de ces outils, voir « L'état quantique et la fonction d'onde » et « La mesure et les incertitudes ».