La lumière forme des franges, comme une onde, mais arrive sur l'écran par impacts isolés, comme une particule. Les électrons font exactement la même chose. Cette page suit le raisonnement pas à pas, de l'expérience de Young jusqu'à ce que veut dire, précisément, « dualité onde-particule ».
Chaque point est l'impact d'une seule particule, à un endroit imprévisible. Les franges n'apparaissent qu'à l'accumulation. Toute la page revient à comprendre cette image.
Question
Réponse à retenir
Où la vérifier
La lumière est-elle une onde ?
Oui : deux faisceaux peuvent s'annuler.
Planche 1
Est-elle faite de grains ?
Oui : son énergie et sa quantité de mouvement s'échangent par paquets.
Planche 2
Et la matière ?
Elle a elle aussi une longueur d'onde, λ = h/p.
Planche 3
Une particule seule interfère-t-elle ?
Oui : les franges se forment même une particule à la fois.
Planche 4
Alors, onde ou particule ?
Ni l'une ni l'autre au sens classique : un seul objet, décrit par une amplitude de probabilité.
Planche 5
Planche 1
La lumière se comporte comme une onde
Une onde a une propriété qu'aucune pluie de billes ne possède : deux ondes peuvent s'additionner ou s'annuler. Tout dépend de leur décalage. Si la différence de trajet vaut un nombre entier de longueurs d'onde, les crêtes coïncident, et la lumière se renforce. Si elle vaut un nombre entier plus un demi, une crête rencontre un creux, et il fait noir. C'est l'interférence, montrée par Young vers 1801.
Une fente seule produit aussi cet effet, car chaque point de l'ouverture émet sa petite onde, selon le principe de Huygens et Fresnel. Le faisceau s'élargit au lieu de passer tout droit : c'est la diffraction, d'autant plus forte que la fente est étroite.
interfrange : i ≈ λD/d · première extinction de la diffraction : y ≈ λD/a
Ici, λ est la longueur d'onde, d la distance entre les fentes, a la largeur d'une fente et D la distance jusqu'à l'écran, fixée à 1 m.
L'onde réellement calculée au voisinage des fentes, en sommant les ondelettes de Huygens. La largeur de la figure est de 30 µm : on voit la vraie longueur d'onde, très agrandie.
Éclairement sur l'écran à 1 m : somme exacte des trajets (bleu) contre formule de Fraunhofer (vert pointillé). En haut, ce que l'œil verrait. Le trait orange marque le point choisi.
Au point choisi, chaque fente apporte une flèche. Son angle mesure le retard de phase. L'éclairement vient de la longueur de la flèche somme, au carré. Cette règle de l'addition reviendra en planche 4.
Premier maximum mesuré
Approximation i = λD/d
Extinction de la diffraction, mesurée
Somme exacte contre Fraunhoferécart maximal sur l'écran
Différence de trajet au point choisi
Ajouter de la lumière peut créer de l'obscurité. Masquez une fente : les franges sombres s'éclairent. Aucune théorie de corpuscules classiques ne peut l'expliquer, ce qui a imposé le modèle ondulatoire au XIXᵉ siècle, confirmé ensuite par Fresnel, puis par Maxwell, pour qui la lumière est une onde électromagnétique.
Planche 2
La relation de Planck-Einstein : E = hν
Une onde de fréquence ν échange son énergie par paquets. Ces paquets, les photons, valent chacun E = hν, avec h = 6,626·10⁻³⁴ J·s. La couleur ne dit donc pas seulement « quelle onde » : elle fixe la taille du grain d'énergie. Cette relation relie un mot d'onde (la fréquence) à un mot de particule (l'énergie). Le photon porte aussi une quantité de mouvement, p = E/c = h/λ.
E = hν = hc/λ · p = h/λ
Le spectre électromagnétique sur 15 ordres de grandeur. Repères : l'énergie thermique à 20 °C et l'énergie d'une liaison chimique ordinaire (quelques eV).
Dessin schématique : l'onde arrive par paquets. Plus la fréquence monte, plus chaque paquet porte d'énergie, et moins il en faut pour une même puissance.
Longueur d'onde λ = c/ν
Énergie d'un photon
Quantité de mouvement p = h/λ
Photons par seconde pour 1 W1 W / hν
Comparée à une liaison de 4 eV
Pourquoi les ultraviolets brûlent et pas la radio. Un émetteur radio de 1 W envoie un nombre immense de photons, mais aucun n'a l'énergie de casser une liaison chimique : l'effet n'est qu'un léger chauffage. Un seul photon UV dur peut en casser une. Ce qui compte pour la chimie est la taille du grain, pas leur nombre.
Une diode électroluminescente (LED) transforme une tension en lumière : chaque électron qui traverse la jonction peut émettre au plus un photon. Il lui faut donc une énergie eV ≈ hν. Montez la tension : les couleurs s'allument dans l'ordre de l'énergie de leurs photons, de l'infrarouge au violet.
Sept diodes. L'infrarouge est dessiné en brun, car l'œil ne le voit pas. Chacune s'allume au-dessus de son seuil.
Seuil de chaque diode en fonction de la fréquence (mesures simulées avec le bruit choisi). La pente de la droite des moindres carrés donne h/e.
Diodes allumées
h déduit de la pente
Pente mesurée
Une expérience de lycée pour mesurer h. Les mesures sont simulées ici. Avec de vraies diodes, la méthode est plus approximative, car le seuil dépend aussi du matériau et de la façon de le définir. Mais l'idée reste celle-ci : une tension, une couleur, et la constante de Planck apparaît.
Le photon a-t-il vraiment une quantité de mouvement ? En 1923, Compton envoie des rayons X sur des électrons. La lumière diffusée ressort avec une longueur d'onde plus grande, ce qu'une onde classique n'explique pas. Mais c'est exactement ce que donne un choc entre deux particules : le photon cède de l'énergie à l'électron. La page résout le choc à partir des seules lois de conservation, puis compare à la formule de Compton.
Δλ = (h/mec)(1 − cos θ)
Le choc : le photon arrive de la gauche et repart d'un angle θ, l'électron recule. Les longueurs d'onde dessinées sont agrandies.
Le décalage en fonction de l'angle : formule de Compton (bleu) et résolution directe du choc pour l'angle choisi (point rouge). Il ne dépend pas de la longueur d'onde incidente.
Δλ par conservation d'énergie et d'impulsion
Formule de Comptonh/mₑc = 2,426 pm
Électron : énergie gagnée
Bilan final d'impulsiondoit être nul
Le photon rebondit comme une bille. Avec λ = 71 pm, la raie du molybdène utilisée par Compton, on trouve Δλ = 2,426 pm à 90°. L'énergie et l'impulsion s'échangent bien grain par grain. Pourtant, ce même rayonnement X forme des figures de diffraction dans les cristaux. La lumière a donc les deux visages.
Planche 3
L'hypothèse de de Broglie : λ = h/p
En 1924, Louis de Broglie retourne le raisonnement. Si une onde peut se comporter comme une particule, avec p = h/λ, pourquoi une particule ne se comporterait-elle pas comme une onde ? Il propose d'associer à toute particule de quantité de mouvement p une longueur d'onde :
λ = h / p et, pour un électron accéléré sous une tension V : λ = h / √(2meeV(1 + eV/2mec²))
Pourquoi ne le voit-on pas au quotidien ?
Comparez la longueur d'onde (point bleu) à la taille de l'objet (point orange). Les interférences demandent des ouvertures de l'ordre de grandeur de λ, or h est extrêmement petit. Réglez la masse et la vitesse de votre propre objet sur la dernière ligne.
Échelle logarithmique, de 10⁻³⁸ m à 10 m. Traits gris : taille du noyau atomique et de l'atome.
Longueur d'onde de votre objet
Fentes pour un interfrange de 1 mm à 1 m
La preuve : Davisson et Germer, 1927
Davisson et Germer envoient des électrons de 54 eV sur un cristal de nickel. Les atomes alignés en surface, espacés de d = 0,215 nm, agissent comme un réseau : les électrons repartent surtout dans une direction privilégiée, où les trajets diffèrent d'une longueur d'onde, soit d sin φ = λ. Ils mesurent un pic vers 50°.
Répartition angulaire calculée en sommant les ondes de 12 atomes de surface. Le lobe central est la réflexion directe. Modèle simple : le réseau de surface seul, sans le reste du cristal.
Le paquet d'ondes d'un électron libre : partie réelle de l'onde (bleu), enveloppe |ψ| (rouge). Le point orange suit une crête, le point vert le centre du paquet. Unités où ħ = m = 1.
λ = h/p de l'électron
Pic calculé par la somme des ondes
Vitesse du paquet mesurée
Vitesse des crêtes mesurée
Distance entre deux crêtes mesurée
Largeur du paquet mesurée
La particule est le paquet, pas la crête. Dans le paquet, les crêtes vont deux fois moins vite que l'ensemble, et c'est le paquet qui avance à la vitesse p/m de la mécanique classique. L'onde redonne donc le mouvement classique. Elle s'étale aussi avec le temps : le « grain » n'a pas de position parfaitement fixée.
Planche 4
L'expérience des deux fentes, photons puis électrons
Réduisons le faisceau jusqu'à n'envoyer qu'une particule à la fois. Chacune laisse sur l'écran un seul point, bien localisé : c'est une particule. On ne peut pas prévoir où. Mais après des milliers d'impacts, des franges apparaissent, là où les ondes de la planche 1 s'additionnent. Et ce sont les mêmes franges avec des électrons, avec i = λD/d, où λ est maintenant la longueur d'onde de de Broglie.
Probabilité d'impact en x : P(x) ∝ |ψ₁(x) + ψ₂(x)|² et non |ψ₁(x)|² + |ψ₂(x)|²
Cette règle, due à Born (1926), est le cœur du sujet : ψ₁ et ψ₂ sont des amplitudes de probabilité pour chaque chemin. On additionne d'abord les amplitudes, comme les flèches de la planche 1, puis on élève au carré. Les réglages sont ceux d'une fente de 50 nm et d'un écart de 280 nm pour les électrons, comme dans l'expérience de Bach et ses collègues (2013), avec le même rapport pour les photons. D = 1 m est choisi pour la comparaison.
À gauche, le dispositif : l'onde de probabilité traverse ce qui est ouvert, sans trajectoire dessinée, car aucune n'est définie. Au centre, l'écran et ses impacts. À droite, leur histogramme avec la prédiction |ψ₁ + ψ₂|² (bleu) et celle de billes classiques (rouge pointillé).
Impacts reçus
Longueur d'onde
Interfrange mesuré sur les impacts
Accord avec |ψ₁ + ψ₂|²χ² par degré de liberté, 1 si l'accord est bon
Accord avec des billes classiquesχ² par degré de liberté
Particules en vol en même temps
La même loi, après 10, 100, 1 000, 10 000 et 100 000 impacts, pour la particule choisie. Calcul de cette page, sur le modèle des images célèbres de l'expérience de Tonomura (1989).
La particule n'interfère pas avec une voisine. À ces cadences, l'appareil est presque toujours vide : il n'y a personne d'autre avec qui interférer. Essayez : à la position d'une frange sombre, les impacts arrivent avec une seule fente ouverte, et disparaissent quand on ouvre la seconde. Pour que ce soit rigoureux avec la lumière, il faut une vraie source de photons uniques (Grangier, Roger et Aspect, 1986) : un laser très atténué ne garantit pas le « un à la fois ».
Planche 5 · Signature
Ce que signifie la dualité onde-particule
Une idée reçue dit que l'objet serait tantôt une onde, tantôt une particule. C'est plus précis que cela. Il y a un seul objet quantique et une seule loi : on additionne les amplitudes de tout ce qui reste indiscernable. Dès que le chemin suivi laisse une trace quelque part, même non lue, les franges disparaissent. Les expériences suivantes rendent cette phrase mesurable.
Plaçons près des fentes un petit système, le marqueur, qui change d'état selon la fente traversée. Le curseur règle la qualité de cette trace. On note D la discernabilité (0 : la trace ne dit rien, 1 : elle dit tout) et V la visibilité des franges (0 : aucune frange, 1 : contraste complet).
V² + D² = 1 (cas idéal ; dans le cas général, V² + D² ≤ 1 : Englert, 1996)
L'écran. Chaque impact est colorié après coup selon le résultat de la lecture du marqueur : bleu pour le résultat + , orange pour le résultat −.
Histogrammes des impacts : en haut, tous ; au milieu, le résultat + ; en bas, le résultat −. Les courbes donnent la prédiction.
Impactsles mêmes, quelle que soit la lecture
Visibilité de tous les impacts
Bonne réponse sur le chemin
V² + D²avec V et D mesurés
Visibilité du groupe +
Visibilité du groupe −
L'effacement ne remet rien sur l'écran. Avec D = 1, tous les impacts forment une tache sans franges. Choisissez l'autre lecture : les mêmes impacts, sans en déplacer un seul, se répartissent en deux groupes, avec franges et anti-franges, dont la somme reste sans franges. Rien ne remonte le temps : il faut la liste des résultats du marqueur pour voir apparaître les franges.
Feynman propose une expérience de pensée : éclairer l'électron pour voir par quelle fente il passe. Pour distinguer deux fentes distantes de d, il faut une lumière de longueur d'onde λL plus petite que d. Or le photon diffusé donne à l'électron une poussée de l'ordre de h/λL. Plus la lumière est fine, plus la poussée est forte. Ici, cette poussée est tirée au hasard entre −h/λL et +h/λL.
V = |sin(2πd/λL) / (2πd/λL)|
La tache de lumière (de taille λL) comparée à l'écart entre les fentes. Si elle couvre les deux fentes, on ne sait pas laquelle a été traversée.
Impacts simulés, avec une poussée au hasard pour chacun : histogramme contre prédiction.
Voit-on la fente ?critère simple : λL < d
Poussée, en interfranges± d / λL
Visibilité mesurée
La nature se protège. Au moment où λL devient assez petite pour révéler la fente, la poussée déplace déjà la figure d'un interfrange ou plus : les franges se brouillent, et V tombe à 0 pour λL = d, avant de petits rebonds. On ne peut pas observer les deux à la fois, sans quoi le principe d'incertitude serait violé.
Tout objet a une longueur d'onde, donc pourquoi les objets ordinaires n'interfèrent-ils jamais ? D'abord parce que leur λ est minuscule (planche 3). Mais il y a une deuxième raison : un objet chaud ou placé dans l'air laisse sans cesse une trace de son chemin, par les collisions et le rayonnement. Chaque collision agit comme un petit marqueur. C'est la décohérence. Voici un modèle jouet : chaque collision multiplie la visibilité par un facteur c.
V = cⁿ, après n collisions
La visibilité en fonction du nombre de collisions, en échelle linéaire, pour le facteur c choisi.
Les franges correspondantes, après n collisions.
Visibilité restantecⁿ
Collisions pour diviser V par e−1 / ln c
La limite a déjà beaucoup reculé. L'interférence a été observée avec des fullerènes C₆₀ (1999, λ ≈ 2,8 pm), puis avec des molécules de plus de 25 000 unités de masse et jusqu'à 2 000 atomes (2019, λ ≈ 53 fm, soit 100 000 fois moins que leur diamètre). Il faut des vides très poussés : l'équipe de Vienne a vu la visibilité décroître exponentiellement quand on ajoute un peu de gaz. Aucune frontière n'est connue entre le quantique et le classique.
Propriété
Bille classique
Onde classique
Objet quantique (photon, électron)
Arrivée sur un détecteur
Un point
Partout à la fois
Un point
Peut-on la diviser en deux moitiés ?
Non
Oui
Non : un photon ne se partage pas entre deux détecteurs
Interférences
Aucune
Oui
Oui, même une particule à la fois
Trajectoire définie
Oui
Sans objet
Non, tant que rien ne distingue les chemins
Résultat prévisible
Oui, en principe
Oui
Seules les probabilités le sont
Ce que dit la théorie
Un état unique, ψ, évolue comme une onde. Il donne les probabilités de ce que l'on mesurera, par la règle de Born. Les aspects « onde » et « particule » sont deux images classiques, chacune utile et chacune incomplète.
La complémentarité
Bohr (1927) : les deux aspects s'excluent dans une même expérience, mais tous deux sont nécessaires. V² + D² ≤ 1 en est aujourd'hui la version chiffrée : ce n'est pas tout ou rien, on peut avoir un peu de chaque.
Ce qu'elle ne dit pas
La conscience de l'observateur n'y joue aucun rôle : il suffit que la trace existe, même si personne ne la lit. Ce n'est pas non plus un défaut de nos appareils. Et ψ n'est pas une onde matérielle : à deux particules, elle vit dans un espace à six dimensions.
La phrase à retenir. Tout se propage comme une onde et se détecte comme une particule. E = hν et λ = h/p sont le dictionnaire entre les deux langages, et h fixe le taux de change. Quant à savoir ce qu'est « réellement » ψ entre deux mesures, les interprétations continuent d'en débattre, même si elles s'accordent sur toutes les prédictions.
La frise : deux siècles pour une seule idée
1801 · Young : les franges de lumière plaident pour une onde.
1818 · Fresnel fonde la théorie ondulatoire de la diffraction.
1865 · Maxwell : la lumière est une onde électromagnétique.
1900 · Planck : l'énergie des oscillateurs s'échange par paquets hν.
1905 · Einstein : la lumière elle-même est faite de ces grains.
1909 · Taylor : les franges subsistent en lumière extrêmement faible.
1923 · Compton : le photon a une quantité de mouvement.
1924 · De Broglie : λ = h/p pour toute particule.
1926 · Born : ψ donne une probabilité.
1927 · Davisson et Germer, ainsi que G. P. Thomson : les électrons diffractent. Bohr énonce la complémentarité.
1961 · Jönsson : interférences d'électrons à travers de vraies fentes multiples.
1974 · Merli, Missiroli et Pozzi : les franges se construisent électron après électron.
1986 · Grangier, Roger et Aspect : interférences avec de vrais photons uniques.
1989 · Tonomura : les images devenues célèbres de cette accumulation.
1999 · Vienne : les molécules C₆₀ interfèrent.
2013 · Bach et ses collègues réalisent, fente par fente, l'expérience de pensée de Feynman.
2019 · Interférences au-delà de 25 000 unités de masse.
À retenir
Le dictionnaire
E = hν et p = h/λ relient les grandeurs d'une onde (fréquence, longueur d'onde) à celles d'une particule (énergie, quantité de mouvement). Elles valent pour la lumière comme pour la matière.
La règle
On additionne les amplitudes des chemins indiscernables, puis on élève au carré. Chaque impact est aléatoire, mais leur répartition est calculée exactement.
Le prix à payer
Connaître le chemin efface les franges : V² + D² ≤ 1. Une trace suffit, même non lue. C'est aussi la raison pour laquelle les objets ordinaires paraissent classiques.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Les impacts sont tirés directement dans la loi de probabilité calculée, et non issus de vraies données. La figure à deux fentes utilise la limite de Fraunhofer. Le marqueur est un système idéal à deux états. Le microscope de Feynman et la décohérence sont des modèles simples, destinés à montrer le mécanisme plutôt qu'à décrire un appareil réel. Le pic de Davisson et Germer vient d'un réseau de surface seul : le vrai pic mesuré est vers 50°.
La suite. L'équation que suit l'onde ψ est l'objet de la mécanique ondulatoire. La relation entre la largeur d'un paquet et l'étendue de ses quantités de mouvement est le principe d'incertitude. Ces sujets ont leurs propres pages dans le cahier, qui complètent aussi la page « Pourquoi une mécanique quantique ? ».
Valeurs utilisées. Constantes SI 2019 et CODATA. Électrons : 600 eV, fentes de 50 nm espacées de 280 nm (Bach et al., 2013). Nickel : d = 0,215 nm, pic vers 50° à 54 eV. Compton : raie à 71 pm. Molécules : Arndt et Hornberger pour C₆₀, Fein et al. (2019) pour les molécules de 25 kDa. Les diodes sont simulées à partir de leur longueur d'onde nominale.