Une voiture, un réfrigérateur et une pompe à chaleur font la même chose : un fluide parcourt une boucle et revient à son point de départ. Seul le sens de parcours change, et ce que l'on attend de la machine.
Un cycle est une suite de transformations qui ramène le fluide à son état initial. Sur un tour, son énergie interne et son entropie n'ont donc pas changé : tout ce qui entre doit ressortir. Dans cette page, Qc (chaleur échangée avec la source chaude), Qf (avec la source froide) et W (travail) sont comptés positivement ; le sens des flèches dit où ils vont.
La flèche la plus épaisse est ce que l'on veut obtenir. La flèche violette est le travail : fourni par le moteur, payé pour les deux autres.
Machine
Bilan
Ce que l'on mesure
Limite (Carnot)
Moteur
Qc = W + Qf
rendement η = W / Qc
1 − Tf / Tc
Réfrigérateur
Qc = W + Qf
COPf = Qf / W
Tf / (Tc − Tf)
Pompe à chaleur
Qc = W + Qf
COPp = Qc / W
Tc / (Tc − Tf)
Le COP (coefficient de performance) dépasse souvent 1 sans aucun mystère : la pompe à chaleur ne crée pas l'énergie, elle la déplace.
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Que fait une machine sur un tour complet ?
Dans le diagramme pression-volume, le travail d'un tour est l'aire enfermée par la boucle. Son signe dépend du sens : un tour dans le sens des aiguilles d'une montre fournit du travail (moteur), un tour en sens inverse en consomme (récepteur).
Faites glisser les quatre sommets. Tronçons rouges : le gaz reçoit de la chaleur. Tronçons bleus : il en cède. Le point parcourt le cycle dans son sens.
Sur un tour, la chaleur nette reçue est égale au travail fourni, puisque le gaz revient à son état initial.
Nature de la machine
Travail fourni ∮P·dV
Aire comptée carreau par carreau
Chaleur reçue / cédée
ΔU sur un tour / ∮δQ/T
Rendement
Tmin / Tmax du gaz
Sp minimale avec deux sources à Tmax et Tmin
Ce que dit le cycle. Essayez de dépasser la limite affichée : aucune forme n'y parvient. Une boucle étroite peut enfermer peu d'aire tout en échangeant beaucoup de chaleur. C'est le rapport de l'aire à la chaleur reçue qui compte, et non l'aire seule. Ici, 1 mol de gaz diatomique parfait, CV = 5R/2.
Une machine réversible fonctionne dans les deux sens avec les mêmes échanges. Les trois nombres ci-dessous sont alors liés : COPp = COPf + 1 (toujours, par conservation de l'énergie) et η = 1/COPp (pour une machine réversible seulement).
Limites de Carnot en fonction de l'écart Tc − Tf, à Tf fixée. Rouge : COPp. Bleu : COPf. Orange : 10·η. Pointillés : radiateur électrique, COP = 1.
Rendement du moteur
COPf du réfrigérateur
COPp de la pompe à chaleur
Contrôle : COPp − COPf
Contrôle à la limite : η·COPp
Pour 1 kWh d'électricité
Un petit écart vaut de l'or. Plus les deux sources sont proches, plus la pompe à chaleur est performante, et moins le moteur l'est. Un moteur vit de l'écart de température, une pompe à chaleur le combat. La « qualité » réduit ici le COPf de la machine réelle ; c'est une simple échelle, utile pour voir qu'une pompe à chaleur à moitié aussi bonne que l'idéal reste bien meilleure qu'un radiateur.
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Quel est le meilleur cycle possible entre deux températures ?
Tout échange de chaleur à travers un écart de température crée de l'entropie, donc gaspille. Sadi Carnot en tire le cycle idéal, en 1824 : ne recevoir de la chaleur qu'à la température Tc, n'en céder qu'à Tf, et passer de l'une à l'autre sans aucun échange. Il comprend deux isothermes et deux adiabatiques.
Diagramme (P, V) : l'aire de la boucle est le travail. Rouge : au contact de la source chaude. Bleu : de la froide. Gris : adiabatiques.
Diagramme (T, S) : le cycle est un simple rectangle, et son aire est aussi le travail.
Étape en cours
Qc / Qf
W par intégration de P·dV sur les 4 étapes
W par l'aire du rectangle (T, S)
Rendement W/Qc / 1 − Tf/Tc
Sp sur un tour : Qf/Tf − Qc/Tc
Le gaz ne compte pas. Changez de gaz, changez le rapport de détente : le travail et la chaleur changent, le rendement ne bouge pas. Il ne dépend que des deux températures. Pour l'améliorer, il faut donc élever Tc ou abaisser Tf ; or Tf est en pratique l'air ambiant ou une rivière.
Supposons un moteur X meilleur que le cycle de Carnot. Il entraîne un cycle de Carnot inversé en lui donnant tout son travail. Rien d'autre n'entre : l'ensemble ne reçoit aucun travail extérieur. Regardez ce qui passe alors entre les deux sources.
Limite de Carnot
Chaleur nette de la source chaude vers la froide
Entropie produite par l'ensemble
Verdict
Le raisonnement de Carnot. Au-delà de la limite, l'ensemble ferait passer de la chaleur du froid au chaud, tout seul. C'est exactement ce que le second principe interdit. Donc aucun moteur ne bat le cycle réversible. Et deux moteurs réversibles ont forcément le même rendement, quel que soit leur fluide : sinon, l'un inversé battrait l'autre.
Le cycle de Carnot a un défaut : pour être réversible, ses échanges doivent se faire sans écart de température, donc infiniment lentement. Sa puissance est nulle. Une machine réelle accepte un écart pour que la chaleur passe (Curzon et Ahlborn, 1975). Avec des échangeurs de même conductance G :
P(η) = η · G · [(1 − η)·Tc − Tf] / [2(1 − η)]
Puissance en fonction du rendement visé. Elle s'annule à η = 0 (la chaleur traverse sans rien produire) et à la limite de Carnot (pas d'écart, pas de flux). Vert : sommet.
Puissance à ce rendement (G = 1 kW/K, Tf = 300 K)
Production d'entropie par seconde
Sommet cherché à l'aveugle / 1 − √(Tf/Tc)
Limite de Carnot
Ce qu'un ingénieur optimise. Il ne vise pas le rendement maximal, mais un compromis entre rendement et puissance. La formule 1 − √(Tf/Tc) est un modèle simple, et son accord avec le tableau est frappant, sans être une loi : d'autres hypothèses donnent d'autres valeurs. Les rendements observés sont ceux que cite l'article de 1975.
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Comment un moteur à combustion suit-il un cycle ?
Dans un moteur à combustion interne, la source chaude est le carburant qui brûle dans le cylindre, et la source froide est l'atmosphère, où partent les gaz d'échappement. Le gaz n'est pas réutilisé : le cycle se referme à l'extérieur. Les cycles idéaux d'Otto (essence) et de Diesel décrivent ces quatre temps en remplaçant le mélange par de l'air, et la combustion par un apport de chaleur.
Le vilebrequin fait deux tours par cycle. Le piston suit la vraie géométrie bielle-manivelle.
Le travail est l'aire de la boucle. L'admission et l'échappement se superposent à 1 bar dans ce modèle idéal.
Temps en cours
Fin de compression : T₂ / P₂
Sommet : Tmax / Pmax
Travail d'un cycle (500 cm³) / puissance
η : intégration de P·dV / formule
Pourquoi comprimer. Le rendement d'Otto vaut 1 − r1−γ : il ne dépend que du rapport de compression, pas de la chaleur apportée. Comprimer davantage serait donc toujours mieux, mais un mélange d'essence trop comprimé s'enflamme avant l'étincelle (le cliquetis) : on reste vers r ≈ 10 à 14. Le Diesel comprime de l'air seul, puis injecte le carburant, qui s'enflamme de lui-même : il peut monter vers r ≈ 15 à 22.
Rendement idéal selon r. Orange : Otto. Bleu : Diesel. Points : vos deux moteurs.
Diagramme (T, s). Le rectangle violet est le cycle de Carnot entre les mêmes températures extrêmes et sur la même plage d'entropie que le moteur essence.
Otto : η / Tmax
Diesel : η / Tmax
Carnot entre 300 K et Tmax (Otto)
Otto : température moyenne reçue / cédée
Contrôle : 1 − T̄f/T̄c − η (Otto)
L'écart à Carnot expliqué. Un moteur reçoit sa chaleur pendant que le gaz chauffe, pas à Tmax ; il la cède en refroidissant, pas à Tmin. Son rendement est celui d'un cycle de Carnot entre ses températures moyennes : η = 1 − T̄f/T̄c. À rapport égal, Otto bat Diesel ; mais le Diesel gagne parce qu'il peut comprimer bien plus.
Le cycle idéal brûle tout d'un coup, au point mort haut (PMH, piston tout en haut). En vrai, la flamme met du temps à traverser la chambre, et les parois volent de la chaleur. Ce modèle résout l'équation de l'énergie degré par degré, pour 500 cm³ à 3 000 tr/min, avec une combustion progressive (loi de Wiebe). Réglez l'instant de l'allumage.
Pression selon l'angle de vilebrequin. Bleu : modèle. Gris : compression sans combustion. Tirets orange : début et fin de combustion.
En haut : rendement selon l'avance à l'allumage ; point rouge, votre réglage. En bas : où part l'énergie du carburant.
Cycle d'Otto idéal (γ = 1,3)
Rendement du modèle
Meilleure avance / rendement atteint
Pmax / position après le PMH
Contrôle : apport − travail − parois − échappement
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Comment un réfrigérateur fabrique-t-il du froid ?
Il utilise un fluide qui bout à basse température quand sa pression est basse. Dans l'évaporateur, il bout et prend de la chaleur au compartiment. Le compresseur l'amène à haute pression. Dans le condenseur, il redevient liquide et rend la chaleur à la pièce. Le détendeur, un simple rétrécissement, fait retomber la pression. Une pompe à chaleur est exactement la même machine : seul change le côté qui nous intéresse.
Bleu : liquide. Mélange bleu et orange : liquide et vapeur ensemble. Rouge : vapeur chaude. La température affichée est celle du fluide aux quatre points.
Diagramme (P, h) en échelle logarithmique, celui des frigoristes. La cloche est la zone où liquide et vapeur coexistent. Les longueurs horizontales se lisent directement en kJ/kg.
Le même cycle en (T, s). Il ressemble à un rectangle de Carnot avec deux défauts : une pointe de surchauffe et une détente irréversible.
Pressions basse / haute
Fin de compression T₂ / titre en vapeur après détente
Froid qe / travail w / chaleur qc
Contrôle : qc − qe − w
COPf / limite de Carnot
COPp / limite de Carnot
Un réfrigérateur chauffe la cuisine. Il rend à la pièce le froid qu'il a pris, plus le travail du compresseur. Laisser la porte ouverte réchauffe donc la cuisine, au lieu de la rafraîchir. L'astuce du cycle tient au changement de phase : on échange beaucoup de chaleur à température presque constante, comme le ferait un cycle de Carnot.
Le COP réel est inférieur à la limite de Carnot entre les températures du compartiment et de la pièce. Le travail en trop est égal à Tc·Sp (le théorème de Gouy et Stodola), et chaque organe y contribue pour sa part d'entropie produite.
En haut, le travail minimal de Carnot. En dessous, le coût de chaque irréversibilité, ajouté bout à bout. La dernière barre est le travail réellement payé.
Sources : compartiment / pièce
Travail minimal de Carnot
Travail réel
Contrôle : réel − minimal − somme des pertes
Part de la limite atteinte
Le détendeur, un gaspillage assumé. Une turbine récupérerait le travail de la détente, mais elle coûterait bien plus cher qu'un petit tube, pour un gain souvent trop faible pour la payer. Essayez un compresseur parfait à 100 % et un écart nul : il reste la perte du détendeur et, surtout avec l'ammoniac, celle de la vapeur surchauffée. C'est le prix d'une machine simple.
COPp du cycle selon la température extérieure, avec le fluide et le compresseur choisis plus haut. Trois départs d'eau : 35, 45, 55 °C. Pointillés : limite de Carnot pour votre réglage. Évaporation 6 K sous l'air extérieur, condensation 5 K au-dessus de l'eau.
COPp du cycle / limite de Carnot
Électricité pour 10 kW de chaleur
Prise à l'air extérieur
Radiateur électrique : électricité pour 10 kW10,00 kW
Deux leviers. Le froid dehors dégrade le COP, et l'eau chaude aussi : ici, passer de 55 °C à 35 °C rapporte à peu près autant qu'une dizaine de degrés de plus dehors. C'est pourquoi un plancher chauffant à 35 °C convient mieux qu'un vieux radiateur à 60 °C. Ces valeurs décrivent le seul cycle thermodynamique. Une installation réelle est moins performante : ventilateurs, dégivrage, circulation d'eau et moteur du compresseur consomment aussi.
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Le rendement de Carnot sort-il vraiment des molécules ?
La formule de Carnot a été écrite sans savoir ce qu'est un gaz. Mettons-la à l'épreuve : 120 disques qui se cognent, un piston qui se déplace et des parois qui jouent le rôle des sources. On ne programme ni pression, ni chaleur, ni rendement : on compte seulement l'énergie échangée à chaque choc.
Couleur des parois : rouge, source chaude (T = 2) ; bleu, source froide (T = 1) ; gris, isolation (chocs élastiques). À droite, le piston se déplace selon un programme imposé.
Pression mesurée sur le piston, moyennée au fil des chocs. Pointillés : cycle de Carnot d'un gaz parfait à deux dimensions (γ = 2).
En haut : température du gaz. En bas : travail fourni à chaque tour, avec ses fluctuations.
Étape / cycles terminés
Température du gaz / de la source
Par cycle : Qc / Qf
Par cycle : travail fourni
Rendement mesuré / limite
Contrôle : ΔE − Q − W depuis le début
Un seul tour ne suffit pas. Le gaz est si petit que le travail fluctue d'un tour à l'autre : il faut plusieurs cycles pour que la moyenne se stabilise. Un cycle rapide laisse les molécules à la traîne : le gaz n'a pas le temps de prendre la température des parois, et le rendement s'effondre. Inversez le sens : les mêmes molécules forment un réfrigérateur.
Voici le résultat du même programme, à deux dimensions et avec les mêmes 120 disques, sur de longues séries. Ces courbes ont été calculées à l'avance : chaque point représente de 16 à près de 500 cycles, répartis sur quatre tirages. Les barres donnent l'écart-type de la moyenne.
Rendement mesuré selon τ, en échelle logarithmique. Pointillés verts : limite de Carnot, 50 %.
Puissance moyenne. Elle est négative aux cycles trop rapides : le piston, en brassant le gaz, consomme plus qu'il ne reçoit.
La même machine en sens inverse : COPf mesuré selon τ. Pointillés verts : limite de Carnot, COPf = 1.
Quelques repères
1816Robert Stirling invente son moteur à air chaud.
1824Sadi Carnot publie ses Réflexions sur la puissance motrice du feu et décrit le cycle idéal.
1834Jacob Perkins réalise la première machine pratique à compression de vapeur, pour fabriquer de la glace.
1852William Thomson, futur lord Kelvin, montre qu'une machine inversée pourrait chauffer un bâtiment à moindre coût.
1862Alphonse Beau de Rochas décrit le cycle à quatre temps et l'intérêt de comprimer le mélange.
1876Nikolaus Otto fait tourner son moteur à quatre temps ; les machines à ammoniac de Carl von Linde équipent des brasseries.
1877À Bex, en Suisse, une recompression de vapeur fonctionne dans une saline : c'est la première pompe à chaleur de Suisse.
1892Rudolf Diesel dépose son brevet ; son moteur fonctionne en 1897.
1938Une pompe à chaleur chauffe l'hôtel de ville de Zurich.
1975Curzon et Ahlborn étudient le rendement à puissance maximale.
Le cycle
Sur un tour, ΔU = 0 : la chaleur nette reçue est égale au travail fourni, l'aire de la boucle. Le sens de parcours décide de la nature de la machine.
La limite
Le second principe impose η ≤ 1 − Tf/Tc et COPf ≤ Tf/(Tc − Tf). Cette limite ne dépend que des températures, et elle n'est atteinte qu'à puissance nulle.
Les machines réelles
Moteurs à combustion : le rapport de compression fixe le rendement idéal. Compression de vapeur : le changement de phase rapproche le cycle de Carnot.
Pour aller plus loin
Températures absolues. Toutes les formules de Carnot exigent des kelvins. Un écart de 40 °C entre 0 °C et 40 °C donne une limite de COPp de 313,15/40 ≈ 7,8.
Le modèle des moteurs. Les cycles d'Otto et de Diesel à gaz parfait à γ constant surestiment les rendements réels : γ baisse quand le gaz chauffe, la combustion n'est ni instantanée ni complète, le gaz ne se détend pas jusqu'au bout. Le modèle à combustion progressive ajoute seulement la durée de combustion et un échange thermique à coefficient h constant (Tparoi = 450 K). Il ignore les frottements et le travail de pompage. Comme ordre de grandeur, le rendement utile des moteurs de série se situe plutôt vers 25 à 45 %.
Les fluides frigorigènes. Les tables viennent de CoolProp 8.0.0, avec vapeur saturée à l'aspiration et liquide saturé en sortie de condenseur, sans perte de charge. Le choix réel dépend aussi de la sécurité (le propane et l'isobutane sont inflammables, l'ammoniac est toxique) et de l'effet sur le climat. Le CO₂, autre fluide courant, fonctionne souvent au-dessus de son point critique (31 °C) : ce cycle particulier n'est pas traité ici.
La simulation moléculaire. Ce sont des disques durs à deux dimensions avec un pas de temps fixe, les chocs sur les parois thermiques redonnant à la molécule une vitesse tirée à la température de la paroi. Les temps et les températures sont en unités réduites (masse = 1, k = 1). Le cycle le plus long calculé ici donne un rendement égal à la limite aux erreurs de mesure près, mais un COPf encore un peu inférieur à 1 : le gaz n'est pas tout à fait parfait, et ses échanges avec les parois ne sont pas instantanés.
Dans la même série : Le second principe et l'entropie pour Sp et Gouy-Stodola, Les transformations, chaleur et travail pour les isothermes et adiabatiques, Les machines à vapeur pour le cycle à vapeur et son histoire.