Les méthodes de calcul approché
Les modèles exactement résolubles sont précieux, mais rares. Pour traiter un potentiel plus réaliste ou une interaction extérieure, on choisit une approximation, puis on contrôle sa validité.
Objectif : comprendre ce que chaque méthode suppose, ce qu’elle calcule et comment repérer ses limites.
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Choisir la bonne idée
| Méthode | Idée | Point à surveiller |
|---|---|---|
| Perturbations | Développer autour d’un problème connu | Petits rapports de couplage, niveaux proches, ordre du développement |
| Variationnelle | Optimiser une famille d’états d’essai | Qualité de la famille et borne sur le fondamental |
| Semi-classique WKB | Phase liée à l’action classique | Variation lente, points de rebroussement et raccordements |
| Numérique | Transformer le problème en calcul fini | Convergence, maillage, domaine et stabilité |
| Perturbation temporelle | Calculer des amplitudes de transition | Faible probabilité, résonance, durée d’excitation |
La théorie des perturbations stationnaires
Eₙ ≈ Eₙ⁽⁰⁾ + λ⟨n|W|n⟩
+ λ² ∑m≠n |⟨m|W|n⟩|²/(Eₙ⁽⁰⁾−Eₘ⁽⁰⁾)
On suppose connus les états et les énergies de H₀. Pour un niveau isolé non dégénéré, on calcule des corrections successives. La petitesse pertinente compare les éléments de couplage aux écarts d’énergie.
Exemple exactement vérifiable
E_−/Δ = (1−√(1+4g²))/2
E_−/Δ ≈ −g² + g⁴ + …
Le premier ordre est nul ici car la perturbation est hors diagonale. Le deuxième ordre donne −g² ; le quatrième ajoute g⁴.
Vert : énergie exacte. Orange : deuxième ordre. Gris pointillé : jusqu’au quatrième ordre.
Ajouter des ordres ne garantit pas une amélioration pour un couplage quelconque. Dans cet exemple, le développement autour de g = 0 a un rayon de convergence |g| < 1/2. Au-delà, le calcul exact reste bien défini mais la série n’est plus convergente.
Près d’une dégénérescence, les dénominateurs deviennent petits : il faut généralement traiter ensemble les niveaux concernés et diagonaliser la perturbation dans le sous-espace adapté.
La méthode variationnelle
Pour un hamiltonien borné inférieurement, tout état d’essai admissible donne une borne supérieure de l’énergie fondamentale. On ajuste ses paramètres pour abaisser cette borne.
Un oscillateur anharmonique
ψ_α(x) = (α/π)¹/⁴ e−αx²/2
E_essai(α) = α/4 + 1/(4α) + 3λ/(4α²)
Unités : ℏ = m = ω = 1. α > 0 : plus α est grand, plus l’état d’essai est étroit.
À λ = 0, le minimum α = 1 donne exactement E₀ = 1/2. Si λ > 0, la vraie fonction d’onde n’est plus une gaussienne parfaite ; l’optimisation conserve une erreur liée à la famille choisie.
Le trait pointillé représente une référence numérique, non une valeur exacte certifiée. Une énergie calculée sur une grille peut se trouver légèrement sous l’énergie continue : la borne variationnelle porte sur l’état d’essai du problème continu, pas sur n’importe quelle discrétisation.
Référence : différences finies, 600 points intérieurs, domaine [−8,8], conditions nulles aux bords et recherche de la plus petite valeur propre par comptage de Sturm.
Pour viser un état excité, il faut des contraintes supplémentaires, notamment l’orthogonalité aux états inférieurs, ou un principe min-max. Minimiser sans contrainte ramène au fondamental.
L’approximation semi-classique WKB
Lorsque le potentiel varie lentement à l’échelle de la longueur d’onde locale, on peut approximer la fonction d’onde par une amplitude lentement variable et une phase donnée par l’action.
ψ(x) ≈ C/√p(x) × exp[±(i/ℏ)∫p(x)dx]
Dans une région interdite E < V, la solution devient exponentielle. Pour une barrière lisse suffisamment opaque entre deux points de rebroussement :
Une barrière lisse
Nous prenons V(x) = V₀ sech²(x/a). Les points de rebroussement satisfont V = E. Le calcul affiche l’intégrale d’action sous la barrière.
Plus l’action interdite est grande devant ℏ, plus la transmission est faible. Le préfacteur et les corrections deviennent importants près du sommet et pour les barrières peu opaques.
La formule WKB locale échoue au point p = 0. On utilise des formules de raccordement autour des points de rebroussement. Une grande valeur de l’action aide à justifier l’approximation tunnel ; elle ne remplace pas toutes les conditions de validité.
Quantifier un mouvement lié
Pour deux points de rebroussement simples, cette règle donne des niveaux approchés. Pour le potentiel harmonique, elle retrouve exactement Eₙ = ℏω(n + 1/2), bien que les fonctions d’onde WKB ne soient pas exactes partout.
Les méthodes numériques
Une discrétisation transforme l’opérateur différentiel en matrice. En une dimension, une différence centrée donne :
Exemple : boîte de longueur 1
On prend H = −½d²/dx², ψ(0) = ψ(1) = 0, h = 1/(N+1). La matrice a une diagonale 1/h² et deux diagonales voisines −1/(2h²).
E₁ grille = [1−cos(π/(N+1))]/h²
La valeur sur grille converge vers la valeur exacte quand N augmente. L’erreur dominante est ici en h². La formule analytique de la matrice permet de vérifier la discrétisation sans dépendre d’un solveur opaque.
Une grille fine ne suffit pas toujours : pour un problème sur toute la droite, il faut aussi agrandir le domaine et vérifier que les bords n’altèrent pas le résultat. Il faut distinguer erreur de discrétisation, erreur de troncature du domaine et erreur du solveur.
Autres outils importants
- Diagonalisation : états propres d’un hamiltonien discrétisé ou projeté dans une base finie.
- Méthodes spectrales : développement sur des fonctions bien adaptées au problème.
- Propagation temporelle : Crank–Nicolson ou décomposition de l’évolution, avec contrôle de la norme et du pas de temps.
- Méthodes à plusieurs particules : Hartree–Fock, interaction de configurations, Monte-Carlo quantique, selon le système et les approximations.
Pour des matrices auto-adjointes et un calcul exact des étapes, Crank–Nicolson conserve la norme ; les erreurs de résolution et d’arrondi restent à surveiller. La stabilité ne garantit pas à elle seule la précision.
Transitions dues à une perturbation dépendant du temps
Une lumière ou un champ oscillant peut provoquer des transitions. Au premier ordre, si le système part de |i⟩ :
ω_fi = (E_f−E_i)/ℏ ; P_i→f ≈ |c_f⁽¹⁾|²
L’intégrale additionne des amplitudes avec leurs phases. Près de la résonance, les contributions s’accumulent ; loin de celle-ci, elles se compensent davantage.
Deux niveaux sous excitation quasi résonante
Après approximation des ondes tournantes, avec amplitude constante et excitation initiale nulle :
× sin²[½√(Ω²+δ²)t]
Ω est la fréquence de Rabi à résonance, δ = ω_fi−ω le désaccord. Le résultat est exact pour le modèle à deux niveaux dans l’approximation des ondes tournantes, pas pour toute excitation réelle.
À δ = 0 : P⁽¹⁾ = Ω²t²/4
Vert : formule de Rabi. Orange pointillé : premier ordre. Le premier ordre est utile lorsque la probabilité reste petite ; il ne décrit pas correctement une oscillation complète entre les niveaux.
À résonance, l’approximation perturbative finit par dépasser 1 : cela indique sa rupture, pas une probabilité physique supérieure à 100 %. Le graphique limite son affichage, mais donne sa valeur calculée dans le texte.
Hypothèses : deux niveaux isolés, couplage cohérent, pas de relaxation ; validité de l’approximation des ondes tournantes pour Ω et |δ| petits devant la fréquence de transition.
Du transfert cohérent à un taux de transition
Pour un couplage faible vers un continuum dense, sous des conditions de durée et de régime adaptées, la règle d’or de Fermi donne Γ ≈ (2π/ℏ)|W_fi|²ρ(E_f). Ce taux ne remplace pas les oscillations cohérentes d’un système fermé à deux niveaux.
Comment contrôler un résultat approché ?
- Identifier le paramètre supposé petit ou la limite utilisée.
- Comparer à une solution exacte simple lorsque c’est possible.
- Changer l’ordre du développement, la base, le maillage ou le domaine.
- Vérifier normalisation, dimensions, symétries et bornes de probabilité.
- Rapporter la précision obtenue pour les grandeurs étudiées, sans la généraliser à tout l’état.
Quiz corrigé
À retenir : une approximation est utile quand ses hypothèses et ses erreurs sont maîtrisées. Une courbe convaincante ne suffit pas : on doit savoir ce qui a été négligé et vérifier la convergence.