La mesure et les incertitudes
Que peut-on prédire lorsqu’on mesure un système quantique ? Pourquoi des systèmes préparés de la même manière ne donnent-ils pas toujours le même résultat ? Et que signifie exactement le principe d’incertitude ?
Le fil conducteur : un état quantique permet de calculer les probabilités des résultats. Même avec un appareil idéal, certains résultats restent dispersés.
Parcours conseillé : 25 à 35 minutes. Page autonome sans connexion. Les exemples de spin et de paquets d’ondes sont des modèles idéalisés.
Que mesure-t-on ?
Une observable est une grandeur physique associée à un opérateur mathématique. Les résultats permis par une mesure idéale sont les valeurs de son spectre : ils peuvent être discrets ou continus.
| Grandeur | Exemple de mesure | Nature des résultats |
|---|---|---|
| Position x | Localiser une détection sur un écran | Continu dans le modèle usuel |
| Quantité de mouvement p | Analyse du mouvement ou temps de vol | Souvent continu |
| Énergie E | Spectroscopie et transitions | Niveaux discrets pour les états liés ; continuum possible |
| Composante du spin d’un électron | Analyse selon un axe donné | Deux résultats : +ℏ/2 ou −ℏ/2 |
Le spin est une propriété intrinsèque. Le dessin d’une flèche ci-dessous sert à représenter un état de spin ; il ne décrit pas une petite bille tournant matériellement sur elle-même.
Un résultat individuel, une loi de probabilité
Préparons chaque électron dans le même état de spin « + » selon une direction inclinée d’un angle θ par rapport à l’axe z. Mesurons ensuite sa composante de spin selon z.
P(−) = sin²(θ/2)
θ = 0° : le résultat + est certain.
θ = 90° : chaque résultat a une probabilité de 1/2.
θ = 180° : le résultat − est certain.
Une mesure ne donne jamais « 40 % de + ». Elle donne un résultat précis. Le pourcentage concerne une série de mesures sur des systèmes préparés de façon identique.
Chaque clic dans cette expérience utilise un nouvel électron préparé dans l’état initial. Mesurer plusieurs fois le même électron est une autre expérience, présentée ensuite.
Les tirages sont simulés par un générateur pseudo-aléatoire selon les probabilités quantiques du modèle.
Quel état après le résultat ?
Dans notre modèle, si une mesure de Sz donne +ℏ/2, l’état immédiatement après la mesure est |+z⟩. Une deuxième mesure idéale de la même grandeur, sans évolution intermédiaire, retrouve le même résultat avec certitude.
Essayez cette succession
- Préparez |+z⟩.
- Mesurez selon z plusieurs fois : toujours +.
- Mesurez selon x : + ou −, chacun avec probabilité 1/2.
- Mesurez à nouveau selon z : + ou −, chacun avec probabilité 1/2.
La mesure intermédiaire selon x prépare un état propre de Sx. Il n’est pas un état propre de Sz.
Ce modèle suppose une mesure projective idéale, non destructive pour le spin étudié, et aucune évolution entre les mesures. Toutes les mesures réelles ne suivent pas ce protocole : certaines absorbent ou détruisent le système.
Après le résultat a, dans le cas non dégénéré : |ψ⟩ → |a⟩
C’est la règle de Born et la mise à jour de l’état pour une mesure projective. Avec un résultat dégénéré, on projette sur le sous-espace correspondant puis on normalise. Le problème de l’interprétation physique de la mesure dépasse cette règle opérationnelle.
Une moyenne n’est pas forcément un résultat possible
Pour un spin mesuré selon z, exprimons les résultats en unités de ℏ/2 : ils valent +1 ou −1. La moyenne peut pourtant valoir 0, même si aucun électron ne donne le résultat 0.
ΔA = √(⟨A²⟩ − ⟨A⟩²)
Pour le réglage θ de la première expérience, ⟨Sz⟩ = (ℏ/2) cos θ et ΔSz = (ℏ/2)|sin θ|.
À 90°, la moyenne théorique est nulle et l’écart-type vaut ℏ/2. À 0° ou 180°, l’écart-type est nul : le résultat est certain dans ce modèle idéal.
Avec un nombre fini de mesures, la moyenne observée fluctue autour de la moyenne théorique. Accumuler les observations améliore l’estimation de la moyenne ; cela ne réduit pas la dispersion intrinsèque des résultats d’un état inchangé.
Localiser davantage, disperser les moments
Pour un état quantique d’une particule en une dimension, les écarts-types de position et de quantité de mouvement satisfont :
Cette inégalité concerne les distributions de résultats dans un même état. On peut les étudier sur deux ensembles de systèmes préparés de la même manière : on mesure x sur l’un et p sur l’autre.
Un paquet gaussien
Le premier graphique représente une densité de probabilité en position ; le second, celle de la quantité de mouvement. Les deux axes horizontaux gardent une échelle fixe.
À b = 0 : réduire Δx augmente Δp. Le produit reste exactement ℏ/2 : ce paquet atteint la borne minimale.
Augmentez b : la densité en position reste identique, mais une phase qui varie avec x élargit la distribution des moments. Le produit devient supérieur à ℏ/2.
Modèle : ψ(x) ∝ exp[−(1−ib)x²/(4σ²)] avec σ = Δx, centres ⟨x⟩ = ⟨p⟩ = 0. Unité de longueur arbitraire L ; position en L et moment en ℏ/L. Les aires sous les densités complètes valent 1. La zone verte couvre ± un écart-type, soit environ 68,3 % pour ces gaussiennes.
La relation vient de la structure de la théorie et de [x̂, p̂] = iℏ. L’image de Fourier aide : construire une onde très localisée demande une gamme plus large de nombres d’onde k, avec p = ℏk.
Incertitude quantique et précision d’un appareil
| Notion | Ce qu’elle décrit | Peut-on la réduire ? |
|---|---|---|
| Dispersion quantique ΔA | La distribution des résultats dans un état donné | En changeant l’état ; avec des contraintes entre grandeurs incompatibles |
| Erreur ou bruit instrumental | La qualité de la mesure et sa calibration | Par de meilleurs appareils et protocoles |
| Incertitude statistique d’une moyenne | La précision de l’estimation à partir d’un échantillon fini | En général, avec davantage de mesures indépendantes |
Heisenberg ne dit pas simplement que nos instruments sont imparfaits. L’inégalité ΔxΔp ≥ ℏ/2 reste vraie pour les distributions idéales, avant d’ajouter le bruit des appareils.
Une interaction de mesure peut aussi perturber le système. Les relations entre erreur de mesure et perturbation sont un sujet distinct : la formule ci-dessus n’est pas, à elle seule, une formule universelle sur cette perturbation.
La forme générale
Le commutateur [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â exprime le fait que l’ordre des opérations peut compter. Cette borne dépend de l’état ; elle peut être nulle pour certaines paires et certains états.
Énergie et temps : on rencontre aussi des relations énergie-temps, mais le temps joue habituellement le rôle d’un paramètre dans la mécanique quantique usuelle. Il ne faut pas les lire comme une copie directe de la relation position-moment ni comme une permission « d’emprunter de l’énergie ».
Quiz corrigé
Les quatre idées à retenir
- La théorie prédit les résultats possibles et leurs probabilités.
- La mesure idéale met à jour l’état selon le résultat obtenu.
- L’écart-type décrit une dispersion ; la moyenne peut ne correspondre à aucun résultat individuel.
- ΔxΔp ≥ ℏ/2 est une contrainte sur les états quantiques, indépendante des seules imperfections instrumentales.