En mécanique quantique, mesurer n'est pas seulement lire une valeur déjà là. Quels résultats sont possibles, avec quelles probabilités ? Que devient le système ensuite ? Et que limitent vraiment les relations de Heisenberg : la nature, ou nos appareils ? Cette page répond à ces questions, expériences à l'appui.
Le même état, préparé à l'identique et mesuré encore et encore : chaque trait est un résultat. La courbe décrit la loi, le trait rouge la moyenne. Un appareil parfait ne ferait pas disparaître cette dispersion.
Les règles du jeu, en quatre phrases
Question
Règle
Écriture
Que peut-on trouver ?
Seulement une valeur propre de l'opérateur associé à la grandeur.
Â|a⟩ = a|a⟩
Avec quelle probabilité ?
Le carré du module de la composante de l'état sur |a⟩ : c'est la règle de Born.
P(a) = |⟨a|ψ⟩|²
Que devient l'état ?
Après une mesure idéale, il devient |a⟩.
|ψ⟩ → |a⟩
Que vaut la moyenne de nombreuses mesures ?
La valeur moyenne, calculable sans faire aucune mesure.
⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩
Planche 1
Les grandeurs mesurables
Une grandeur que l'on peut mesurer s'appelle une observable. À chacune correspond un opérateur, c'est-à-dire une règle qui transforme une fonction d'onde en une autre. Ses valeurs propres sont les seuls résultats possibles. Certaines observables ont un continuum de résultats (position, quantité de mouvement), d'autres une liste discrète (énergie d'une particule liée, spin).
Grandeur
Opérateur
Résultats possibles
Comment la mesurer
Position x
x̂ : multiplier par x
Toute valeur réelle (continu)
Un détecteur, un écran, une plaque
Quantité de mouvement p
p̂ = −iħ d/dx
Toute valeur réelle (continu), sauf condition particulière
La déviation dans un champ, le temps de vol
Énergie E
Ĥ = p̂²/2m + V(x)
Niveaux discrets si la particule est liée
La couleur du photon émis, un calorimètre
Spin Sz (électron)
Ŝz : matrice 2 × 2
+ħ/2 ou −ħ/2, rien d'autre
Un aimant de Stern et Gerlach
Posons les quatre questions à un même système : un électron dans un puits, dans une superposition de ses trois premiers niveaux, et un spin indépendant. Chaque figure donne la loi des résultats. Unités où ħ = m = L = 1.
Position : densité |ψ(x)|², qui change au cours du temps.
Quantité de mouvement : densité |ψ̃(p)|², transformée de Fourier de ψ. Pics vers ±nπ.
Énergie : trois valeurs seulement, de probabilités |cₙ|². Elles ne changent pas au cours du temps.
Spin : deux valeurs seulement, quel que soit l'état.
Position : ⟨x⟩ et σₓ
Quantité de mouvement : ⟨p⟩ et σₚ
Énergie : ⟨E⟩ et σE
Spin : ⟨Sz⟩ et σS
Probabilité totale de p (Fourier)∫|ψ̃|²dp, doit valoir 1
Copies mesuréesle temps s'arrête pour la série
Une seule fonction d'onde, quatre lois. ψ ne dit pas « la particule est ici et va à telle vitesse ». Elle contient une loi différente pour chaque question. Regardez aussi ce qui change : les lois de x et de p évoluent, mais celle de E reste fixe, car l'énergie est une grandeur conservée. Mettez deux parts à zéro : σE s'annule, le résultat devient certain, et ψ cesse de bouger. On appelle cela un état propre de l'énergie.
Planche 2
Les résultats possibles et leurs probabilités
Le spin est le meilleur terrain d'essai : deux résultats, aucun autre. En 1922, Stern et Gerlach font passer des atomes d'argent dans un champ magnétique inhomogène. On attendait une tache continue, ils en voient deux. Préparons des atomes avec un spin orienté à l'angle θ, et mesurons-le selon un axe d'angle α. Le résultat vaut toujours ±ħ/2, jamais un intermédiaire, même si le spin « pointe de côté ».
P(+) = cos²(Δ/2) P(−) = sin²(Δ/2) avec Δ = θ − α
Les atomes arrivent avec un spin préparé. L'aimant les envoie vers le haut (+) ou le bas (−). La petite flèche donne l'état de chaque atome : après l'aimant, elle est alignée sur l'axe de mesure. Quel que soit cet axe, la voie + est dessinée en haut et la voie − en bas.
Dans ce plan, l'état est une flèche (bleu) et la mesure un axe (rouge). La projection de la flèche sur l'axe donne ⟨S⟩ et donc les probabilités : P(+) = (1 + cos Δ)/2.
La probabilité de + selon l'écart Δ : loi de Born (bleu) et fréquence mesurée sur les atomes envoyés (point rouge).
Probabilité de +cos²(Δ/2)
Fréquence mesurée de +
Somme des probabilitésles résultats possibles épuisent tout
Spin moyen ⟨S⟩ prédit
La probabilité n'est pas un défaut de connaissance de l'état. Ici, l'état est connu exactement : on l'a préparé. Et pourtant, à Δ = 90°, le résultat est un pur tirage à pile ou face. La seule certitude possible est Δ = 0° ou 180°. La mesure ne révèle donc pas une valeur déjà inscrite : un spin ne peut pas posséder à la fois une valeur définie sur tous les axes. La règle est toujours la même pour toute grandeur : développer l'état sur les états propres, puis prendre le carré des coefficients.
Planche 3
L'état du système après une mesure idéale
Une mesure est dite idéale si elle ne perturbe que ce qui est imposé par la théorie. Après avoir trouvé la valeur a, le système se trouve dans l'état propre correspondant, |a⟩ : c'est le postulat de projection (von Neumann, 1932 ; Lüders, 1951). Refaire immédiatement la même mesure redonne a à coup sûr. Cette transformation n'a rien de commun avec l'évolution douce de l'équation de Schrödinger : elle est brusque, aléatoire et, en général, irréversible.
Trois aimants à la suite. Le premier ne garde que les spins + selon l'axe z. Le deuxième, s'il est présent, mesure selon un axe d'angle α, et ne garde que son résultat +. Le dernier mesure de nouveau selon z.
Chaque atome porte une flèche, son état. Elle saute au passage d'un aimant. Atomes rejetés : éclat gris. Au bout, les deux compteurs du dernier aimant.
Atomes sortis du premier aimanttous préparés en + selon z
Dernier aimant : résultat +
Dernier aimant : résultat −
La mesure efface l'information précédente. Sans aimant du milieu, tous les atomes redonnent + : la mesure répétée est certaine. Avec un axe à 90°, ils redonnent + ou − à égalité, comme si la première mesure n'avait jamais eu lieu. Sz et Sx ne peuvent pas être définis ensemble : mesurer l'un détruit la valeur de l'autre.
Un état propre exact de la position n'existe pas : il faudrait une ψ infiniment étroite, donc une énergie infinie. Une vraie mesure a une résolution s : elle multiplie ψ par une gaussienne de largeur s autour du résultat lu, puis renormalise. Le paquet se resserre, et sa loi en p s'élargit d'autant.
1/σ′² = 1/σ² + 1/s² · σ′ₚ² = σₚ² + ħ²/(4s²)
Position : avant la mesure (gris), juste après (bleu), le résultat lu (trait rouge) et la fenêtre de largeur s de l'appareil (pointillé rouge). Le paquet s'étale ensuite à nouveau.
Quantité de mouvement : avant (gris), après (bleu). Une mesure fine en position donne une large plage de p.
Résultat lu
σ après la mesure
σₚ après la mesure
Produit σₓσₚ, juste aprèsreste égal à ħ/2 pour une gaussienne
Largeur au temps t
La mesure gagne d'un côté, et perd de l'autre. La loi des résultats n'était pas si étroite : le résultat lu tombe n'importe où dans la largeur √(σ² + s²). Mais une fois lu, le paquet se recentre là, et une mesure immédiate retrouve la même région. La quantité de mouvement, elle, est perturbée. Avec un s très petit, le paquet s'étale ensuite très vite.
Un spin tourne lentement de + vers − sous l'effet d'un champ. Sans mesure, il se retourne en une durée T. Mesurons-le N fois pendant ce temps. Chaque mesure le ramène presque toujours à +, et la rotation repart de zéro. Si N est grand, le spin ne se retourne plus : c'est l'effet Zénon quantique, nommé par Misra et Sudarshan (1977), et observé par Itano et ses collègues (1990).
P(rester en +) = cos2N(π/2N) ≈ 1 − π²/(4N)
Un atome suivi dans le temps. La flèche tourne, et chaque mesure la ramène à + (vert) ou à − (rouge) selon la loi de Born.
Probabilité de ne jamais avoir quitté + à la fin, selon N : formule (bleu) et simulation de 20 000 atomes (points).
Reste en + jusqu'au bout, simulé
Sans aucune mesurele spin se retourne en T
La mesure change vraiment la dynamique. Au tout début d'une rotation, la probabilité de changement croît comme t², et non comme t. Des mesures fréquentes l'empêchent donc de s'accumuler. Aucune loi classique ne fait cela, et c'est bien une conséquence directe de la projection.
Planche 4
Valeurs moyennes, dispersions et relations de Heisenberg
Un seul résultat ne dit presque rien de l'état. Une longue série de copies en donne deux nombres clés : la valeur moyenne ⟨A⟩ et la dispersion σA. Ils se calculent sans aucune mesure à partir de ψ et de l'opérateur. Et certaines paires de dispersions ne peuvent pas être petites ensemble : ce sont les relations d'incertitude.
Mesurons l'énergie de l'électron dans le puits sur des copies du même état. Deux quantités à ne pas confondre : σ, propriété de l'état, qui ne diminue jamais quand on répète ; et l'erreur sur la moyenne, σ/√N, qui diminue, car c'est une propriété de notre échantillon.
Les résultats obtenus : seulement les niveaux permis. Trait rouge : la moyenne, souvent une valeur qu'aucune mesure ne donne.
La moyenne courante selon le nombre de copies (échelle log) : l'entonnoir ±σ/√N (vert) se referme sur ⟨E⟩. La dispersion de l'échantillon, dans les fiches ci-dessous, se stabilise au contraire sur σE.
⟨E⟩ = ∫ψ*Ĥψ dx
σE par l'opérateur
Moyenne de l'échantillon
Dispersion de l'échantillonne tend pas vers 0, mais vers σE
« Dispersion » n'est pas « erreur ». Ajouter des copies améliore la connaissance de la moyenne, mais σE ne baisse pas. Elle fait partie de l'état. Le seul moyen de l'annuler est de changer d'état, pour un état propre.
Comme [x̂, p̂] = iħ, on obtient la relation de Kennard (1927), la forme rigoureuse de l'idée de Heisenberg : σₓσₚ ≥ ħ/2. Elle découle de la transformation de Fourier : un signal court a forcément un spectre large. Choisissez un état, et comparez. La loi en p est calculée par Fourier numérique sur ψ.
σₓ σₚ ≥ ħ/2
|ψ(x)|².
|ψ̃(p)|².
L'état dans le plan (σₓ, σₚ), échelles log. Zone rouge : interdite par la relation.
σₓ∫x²|ψ|²dx − ⟨x⟩²
σₚ par Fourier
Produit σₓσₚ (ħ = 1)
Marge au-dessus de ħ/2jamais négative
Une propriété de l'état, avant toute mesure. Ce calcul n'utilise aucun appareil. Seule la gaussienne sans phase atteint la limite. La phase quadratique augmente σₚ sans changer σₓ, ce qui montre encore que |ψ|² ne dit pas tout. σₓ et σₚ se rapportent à une même préparation : on mesure x sur certaines copies, p sur d'autres.
La relation générale s'applique au spin. Comme [Ŝₓ, Ŝᵧ] = iħŜz, on a σₓσᵧ ≥ (ħ/2)|⟨Sz⟩|. Ici la borne dépend de l'état, et peut s'annuler. Choisissez l'orientation du spin sur la sphère.
La sphère de Bloch, vue en perspective : la flèche donne ⟨S⟩ en unités de ħ/2.
σₓσᵧ (bleu) et sa borne (rouge pointillé), en fonction de θ pour le φ choisi. Unités ħ² : les points donnent la simulation à l'état choisi.
⟨Sₓ⟩, ⟨Sᵧ⟩, ⟨Sz⟩ en ħsinθcosφ/2, sinθsinφ/2, cosθ/2
σₓ et σᵧ simulées
σₓσᵧ et borne, en ħ²
Toutes les grandeurs ne s'opposent pas. Deux observables dont les opérateurs commutent, comme Sz et l'énergie d'un électron libre, ou encore x et py, peuvent être certaines en même temps. La borne provient du commutateur, pas d'une gêne mécanique : pour un spin selon x, σₓ = 0 et la borne vaut 0.
La relation ΔE·Δt ≳ ħ/2 a un autre statut, car t n'est pas une observable, mais un paramètre. Sa version rigoureuse (Mandelstam et Tamm, 1945) dit qu'un état de dispersion σE ne peut pas évoluer plus vite qu'à un certain rythme. Prenons deux niveaux d'écart ΔE : le graphique donne la probabilité de retrouver l'état de départ.
Probabilité de retour, |⟨ψ(0)|ψ(t)⟩|² (bleu), et borne de Mandelstam et Tamm (rouge pointillé), que la courbe ne franchit jamais.
σEΔE √(w(1 − w))
Écart minimal entre P(t) et la bornejamais négatif
Premier état orthogonal t⊥
Largeur de raie ħ/τ pour ce τà 1,6 ns (état 2p de l'hydrogène) : 0,41 µeV
Ce n'est pas : « on peut violer l'énergie pendant Δt ». Un état stationnaire a σE = 0 et n'évolue pas. Tout changement demande une dispersion d'énergie. La largeur des raies en découle : un état de durée de vie τ a une énergie étalée d'environ ħ/τ.
Planche 5 · Signature
Incertitude quantique ou imprécision de l'appareil ?
Le mot « incertitude » prête à confusion. L'imprécision d'un appareil dépend de sa qualité, et peut se réduire. La dispersion quantique vient de l'état lui-même : un appareil parfait la ferait apparaître encore plus nettement, sans la réduire. Une balance mal réglée n'a rien à voir avec σₓσₚ ≥ ħ/2. Comment séparer les deux dans des données réelles ?
Chaque copie du système passe deux fois de suite dans le même appareil, de bruit σa. Le premier passage fixe la position vraie ξ (la mesure projette l'état), puis chaque lecture ajoute son propre bruit : x₁ = ξ + n₁, x₂ = ξ + n₂. Entre deux copies, ξ change, à cause de la dispersion σψ de l'état. Pour une même copie, ξ ne change pas : seul le bruit de l'appareil reste.
Var(x₁) = σψ² + σa² · Var(x₂ − x₁) = 2σa²
À gauche, les résultats x₁ : histogramme observé, loi de l'état seul (vert), loi avec bruit (bleu). À droite, x₂ contre x₁ pour chaque copie : l'étalement le long de la diagonale vient de l'état, l'épaisseur vient de l'appareil.
Dispersion observée
σa retrouvé, sans le connaître√(Var(x₂ − x₁)/2)
σψ retrouvé, sans le connaître√(Var(x₁) − Var(x₂ − x₁)/2)
Copiesdeux lectures chacune
Améliorer l'appareil : la dispersion observée (bleu) descend vers un plancher, σψ (vert), et ne va pas plus bas. L'erreur sur la moyenne (rouge pointillé), elle, dépend de N.
Un plancher qu'aucun appareil ne perce. Faites tendre σa vers 0 : le nuage devient une ligne parfaite, deux lectures d'une même copie coïncident, et pourtant les copies restent dispersées. Attention : cette expérience seule ne prouve pas que σψ soit « quantique ». Un paquet classique mal préparé donnerait le même nuage. Ce qui rend la dispersion quantique irréductible, c'est que l'on ne peut pas la réduire dans x et p en même temps, et les interférences qui excluent une simple ignorance.
Peut-on au moins lire x et p ensemble, en une seule expérience, sur une même copie ? Oui, mais avec un prix : Arthurs et Kelly (1965) montrent qu'une mesure conjointe ajoute un bruit quantique inévitable, au double de la borne de préparation. Le paramètre s règle le partage entre x et p. Avec un appareil classique idéal sur une bille, tout pourrait tendre vers 0.
Résultats (X, P) sur chaque copie. Ellipse verte : l'état (σₓ, σₚ). Ellipse bleue : les résultats. Le point gris en mode bille classique : aucune limite inférieure.
Le produit σXσP selon le réglage s. Trois paliers : borne de préparation ħ/2, borne de mesure conjointe ħ, et 0 pour une bille idéale.
σX et σP simulées (ħ = 1)
Produit mesuré
Produit de l'état seulσₓσₚ
Meilleur réglages = σₓ donne un produit de ħ
Il n'y a pas une limite, mais plusieurs. L'une, σₓσₚ ≥ ħ/2, concerne la préparation, et ne parle d'aucun appareil. L'autre, σXσP ≥ ħ, concerne la mesure conjointe. Heisenberg, avec son microscope de 1927, pensait à une troisième : l'erreur de mesure et la perturbation. Sa forme naïve ε·η ≥ ħ/2 s'est révélée inexacte : Ozawa (2003) en a donné une version corrigée, testée en 2012.
Le mot
Ce que c'est
D'où ça vient
Comment la réduire
Limite
Dispersion quantique σ
L'étalement des résultats sur des copies identiques
L'état lui-même
Changer d'état, en contrepartie de la grandeur conjuguée
σₓσₚ ≥ ħ/2
Imprécision de l'appareil σa
L'erreur de lecture, le bruit, la résolution
L'instrument
Un meilleur instrument, sans limite de principe pour une seule grandeur
Aucune pour x seul
Perturbation par la mesure
Le changement d'état causé par la mesure
La projection et l'interaction
Mesurer moins finement, ou mesurer une grandeur compatible
relation d'Ozawa
Erreur statistique σ/√N
L'incertitude sur une moyenne estimée
Le nombre fini de copies
Faire plus de mesures
Aucune, elle tend vers 0
Vrai ou faux ?
Affirmation
Verdict
Pourquoi
« On ne peut pas mesurer x avec une précision arbitraire. »
Faux
Rien n'interdit de mesurer x très finement. Ce qui est limité, c'est σₚ de l'état ensuite.
« La particule a une position et une vitesse précises, seulement inconnues. »
Trompeur
Les tests des inégalités de Bell excluent des valeurs préexistantes locales. Des interprétations non locales, comme celle de Bohm, gardent des positions définies, mais elles ne permettent ni de les connaître ni de préparer un état sous σₓσₚ = ħ/2.
« Un appareil parfait ferait disparaître la dispersion. »
Faux
Il supprimerait seulement σa. Voir le plancher du premier onglet.
« Mesurer un même état identique peut donner des résultats différents. »
Vrai
C'est le sens même de la règle de Born.
« σₓσₚ ≥ ħ/2 s'applique à une seule mesure. »
Faux
σ est une dispersion sur de nombreuses copies. Une seule mesure n'a pas de σ.
« On peut descendre sous la limite habituelle pour une grandeur. »
Vrai
C'est le principe des états comprimés : on réduit une dispersion en augmentant l'autre. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles l'utilisent.
La phrase à retenir. L'appareil dit avec quelle finesse on lit une valeur. L'état dit quelles valeurs il y a à lire. Les relations de Heisenberg portent sur l'état, non sur l'appareil.
La frise
1922 · Stern et Gerlach : les atomes d'argent se séparent en deux taches.
1925 · Uhlenbeck et Goudsmit : l'électron possède un spin.
1926 · Born : la règle des probabilités.
1927 · Heisenberg et son microscope. La même année, Kennard établit σₓσₚ ≥ ħ/2.
1929 · Robertson : la relation générale avec le commutateur.
1932 · Von Neumann formalise la mesure et la projection, précisée par Lüders en 1951.
1945 · Mandelstam et Tamm : le sens exact de la relation temps-énergie.
1965 · Arthurs et Kelly : la mesure conjointe de x et p.
1977-1990 · L'effet Zénon quantique, de sa prédiction à son observation.
2003-2012 · Ozawa corrige la relation erreur-perturbation, puis des expériences la testent.
2019 · Les détecteurs LIGO et Virgo utilisent couramment des états comprimés de la lumière.
À retenir
Mesurer
Les résultats possibles sont les valeurs propres. Leurs probabilités viennent de la règle de Born. Après une mesure idéale, l'état devient l'état propre trouvé.
Résumer
⟨A⟩ et σA se calculent depuis ψ. σA ne diminue pas quand on répète, seule l'erreur sur la moyenne le fait.
Distinguer
σₓσₚ ≥ ħ/2 limite les états préparables, pas la finesse d'un appareil. Le bruit instrumental s'ajoute à la dispersion, et peut se réduire.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Les résultats sont tirés à partir des lois calculées : ce sont des simulations, pas des données réelles. La mesure de position avec résolution s est un modèle gaussien. La double mesure suppose une répétition immédiate, sans étalement, et un bruit de lecture gaussien indépendant de l'état. Le spin de l'argent est celui de son électron externe.
Une question ouverte. La projection décrit parfaitement les résultats, mais la théorie ne dit pas ce qui fait qu'une interaction est une « mesure » : c'est le problème de la mesure. La décohérence explique pourquoi les interférences disparaissent, pas pourquoi un seul résultat apparaît. Plusieurs interprétations coexistent, sans différence dans les prédictions usuelles.
Les pages voisines. La page du cahier consacrée au principe d'incertitude et à ses applications complète celle-ci, ainsi que « L'état quantique et la fonction d'onde » pour la superposition et les probabilités.