Vers 1900, la physique semble presque achevée. Pourtant, trois observations toutes simples la mettent en échec : la lueur d'un four, l'électricité arrachée à un métal par la lumière, et les couleurs émises par un gaz. Cette page reproduit ces échecs, et montre comment un seul nombre, la constante de Planck, les résout tous.
Ce que la physique classique attend d'un gaz d'hydrogène chaud (toutes les couleurs) et ce qu'il émet vraiment dans le visible (quatre raies). Tout le problème tient dans cette image.
Trois questions sans réponse en 1900
Le phénomène
Ce que prévoit la physique classique
Ce que l'on observe
L'idée qui sauve la situation
Un four chaud rayonne
Une énergie infinie, surtout dans l'ultraviolet
Une courbe en cloche, finie, qui dépend seulement de la température
L'énergie s'échange par paquets hν (Planck, 1900)
La lumière arrache des électrons à un métal
Plus la lumière est intense, plus les électrons sont rapides, quelle que soit la couleur
Sous un certain seuil de fréquence, rien ne se passe, même avec une lumière très intense
La lumière elle-même arrive en grains, les photons (Einstein, 1905)
Un gaz chaud émet de la lumière
Toutes les couleurs, et l'atome s'effondre en un instant
Quelques raies très fines, toujours les mêmes pour un élément donné
L'atome n'a droit qu'à certains niveaux d'énergie (Bohr, 1913)
Planche 1
Pourquoi l'atome classique ne peut pas exister
En 1911, Rutherford montre que l'atome ressemble à un petit système solaire : un noyau minuscule et des électrons autour. C'est là que tout se complique. Selon les équations de Maxwell, une charge qui accélère rayonne, c'est-à-dire qu'elle perd de l'énergie sous forme de lumière. Or un électron qui tourne accélère sans arrêt. Il devrait donc perdre son énergie et tomber en spirale sur le noyau.
r(t)³ = a³ − 4 re² c · t d'où τ = a³ / (4 re² c)
Ici, a est le rayon de départ, c la vitesse de la lumière, et re = 2,818 fm une longueur appelée « rayon classique de l'électron ». L'animation résout vraiment les équations du mouvement. Comme l'électron réel ferait des centaines de milliers de tours, on amplifie le freinage pour voir la chute : c'est le rôle du premier curseur.
La trajectoire, calculée par Runge-Kutta d'ordre 4 à partir de l'attraction du noyau et du freinage par rayonnement.
Le rayon au cours du temps : calcul pas à pas (bleu) contre la formule ci-dessus (vert pointillé). L'unité de temps est 1/ω₀, ω₀ étant la vitesse angulaire de départ.
La fréquence de l'électron augmente à mesure qu'il tombe. Il émettrait donc un glissando continu (en haut, longueurs d'onde sur échelle logarithmique), alors que l'hydrogène réel émet des raies isolées (en bas). Ici, les bandes grises sont hors du visible.
Durée de vie réelle prédite τ
Tours réels avant la chute(a/re)^(3/2) / 4π
Longueur d'onde émise au départ2π a^(3/2) / √re
Durée de chute calculée (ε choisi)
Tours calculés (ε choisi)
Taille réelle / re52,9 pm / 2,818 fm
Moins d'un dix-milliardième de seconde. C'est la durée de vie qu'annonce la physique classique pour un atome d'hydrogène. Or la matière existe depuis des milliards d'années. Il y a un second indice : avec la charge de l'électron, sa masse et c, on ne peut fabriquer qu'une seule longueur, re, près de 19 000 fois trop petite. La physique classique n'a aucun moyen de fixer la taille d'un atome. Il lui manque une constante.
Planche 2
Le rayonnement du corps noir et la catastrophe ultraviolette
Un corps noir est un objet qui absorbe toute la lumière qu'il reçoit. Le meilleur exemple est un four percé d'un petit trou : la lumière qui entre n'en ressort pas. Une fois le four chauffé, la lueur qui sort du trou ne dépend que de la température, ni de la forme du four, ni de son matériau. C'est donc une loi universelle, et les physiciens veulent sa formule.
La physique classique donne la réponse de Rayleigh et Jeans : la lumière dans le four est faite d'ondes stationnaires, les modes, et chaque mode reçoit la même énergie moyenne kBT. Mais plus la longueur d'onde est courte, plus il y a de modes possibles, sans limite. La formule marche pour les grandes longueurs d'onde, puis s'envole. Wien propose une autre formule, juste du côté opposé. Planck trouve celle qui convient partout :
Bλ(T) = (2hc²/λ⁵) · 1 / (ehc/λkBT − 1)
Luminance spectrale en fonction de la longueur d'onde. Bleu : Planck. Rouge : Rayleigh-Jeans. Orange : Wien. La bande colorée marque le domaine visible. L'échelle verticale reste celle de la vraie valeur de h.
Maximum cherché sur la courbe
Puissance par m², intégrale de la courbe
Comparée au four réel (h vraie)suit 1/h³
Couleur vue à cette températurespectre × sensibilité de l'œil
Puissance rayonnée aux longueurs d'onde supérieures à une coupure λc (échelles logarithmiques). Quand on abaisse la coupure, Planck plafonne ; Rayleigh-Jeans grimpe sans fin.
La couleur d'un corps noir, calculée en multipliant le spectre de Planck par les courbes de sensibilité de l'œil. La luminosité est normalisée : un four à 9 000 K est en réalité bien plus éblouissant.
Rayleigh-Jeans au-dessus de λc
Planck au-dessus de λc
Rapport classique / Planckinfini quand λc tend vers 0
Essayez de faire baisser h. La courbe de Planck grimpe alors le long de la courbe rouge et sort du cadre : quand h tend vers 0, on retrouve exactement la catastrophe classique. La physique classique, c'est le monde où h serait nul. Le nom de « catastrophe ultraviolette » vient d'Ehrenfest, en 1911.
Planche 3
Comment la constante de Planck entre en scène
L'idée de Planck tient en une phrase : un oscillateur de fréquence ν ne peut échanger de l'énergie que par paquets de taille hν. Ainsi, il ne peut posséder que 0, hν, 2hν, 3hν, etc. Ce simple interdit soigne la catastrophe : si le paquet est bien plus gros que l'énergie thermique kBT disponible, l'oscillateur n'a presque jamais de quoi se l'offrir, et il reste au repos. Les modes de très haute fréquence, si nombreux soient-ils, sont gelés.
⟨E⟩ = hν / (ex − 1), avec x = hν / kBT
Ci-dessous, 3 000 oscillateurs partent du repos et échangent de l'énergie avec le four, un paquet à la fois, selon le tirage de Metropolis : monter d'un cran a la probabilité e−x, descendre est toujours accepté. La formule n'est pas utilisée dans cette simulation : elle sert seulement de contrôle.
Soixante de ces oscillateurs. Chaque brique représente un paquet d'énergie hν.
Proportion d'oscillateurs possédant n paquets : simulation (barres bleues) contre e−nx(1 − e−x) (points verts).
Taille du paquet / énergie thermiquex = hν / kBT
Énergie moyenne simulée ⟨E⟩ / kBT
Formule de Planck, x / (eˣ − 1)la valeur classique serait 1
Part d'oscillateurs au repos (n = 0)
Le spectre est un produit de deux facteurs. Le nombre de modes croît en ν² (pointillé rouge) ; l'énergie par mode s'effondre quand x dépasse 1 (violet). Leur produit (bleu) est la loi de Planck. Sans le gel, le produit serait la parabole rouge, qui ne s'arrête jamais.
Refaire le calcul de Planck, avec ses chiffres de 1901
Planck dispose de deux mesures : la constante de Stefan, tirée de l'énergie mesurée par Kurlbaum, et le produit λmaxT de Lummer et Pringsheim. Sa formule les relie à h et kB : deux équations, deux inconnues. Modifiez les mesures pour voir leur influence. Ce calcul donne h ∝ K·L⁴ : une erreur de 1 % sur λmaxT pèse donc quatre fois plus sur h.
x solution de x = 5(1 − e⁻ˣ)par dichotomie
Constante de Planck h
Constante de Boltzmann kB
Nombre d'Avogadro, R / kB
Charge de l'électron, F / N
Un tour de force passé presque inaperçu. En partant de la lueur d'un four, Planck obtient h à environ 1 % près, et aussi la charge de l'électron, 4,69·10⁻¹⁰ en unités de l'époque, alors que J. J. Thomson avait mesuré environ 6,5·10⁻¹⁰. Pourtant Planck lui-même voit d'abord ses paquets comme un artifice de calcul : il parlera plus tard d'un « acte de désespoir ». Il faudra Einstein pour les prendre au sérieux.
Planche 4
L'effet photoélectrique et les photons
Éclairons un métal : il libère parfois des électrons. Hertz l'observe en 1887, Lenard l'étudie en 1902. Si la lumière était une onde continue, son énergie se répartirait sur toute la surface, et un électron devrait patienter jusqu'à en avoir accumulé assez. Une lumière plus intense donnerait des électrons plus rapides, et n'importe quelle couleur finirait par convenir. L'expérience dit tout le contraire. En 1905, Einstein propose l'explication : la lumière est faite de grains, les photons, qui portent chacun l'énergie hν. Un électron absorbe un seul photon, d'un coup.
Ec,max = hν − φ
Ici, φ est le travail d'extraction, le prix à payer pour sortir du métal. Pour mesurer Ec,max, on oppose une tension V aux électrons : ils doivent remonter une pente, et seuls les plus rapides atteignent le collecteur. La tension qui arrête le dernier électron, Varrêt, donne Ec,max = eVarrêt.
Énergie d'un photon hν
Seuil du métal λ₀ = hc/φ
Énergie cinétique maximale
Photons par seconde et par cm²intensité / hν
Électrons arrivés au collecteur
Retard prédit par l'onde classiqueφ / (intensité × aire d'un atome)
Question
L'onde classique répond
Les photons répondent
L'expérience
Peut-on arracher un électron avec n'importe quelle couleur ?
Oui, en attendant assez longtemps
Non : il faut hν ≥ φ
Il existe un seuil net
L'intensité change-t-elle la vitesse des électrons ?
Oui
Non : elle change seulement leur nombre
Varrêt ne dépend pas de l'intensité
Faut-il attendre ?
Des secondes, voire des heures en lumière faible
Non : un seul photon suffit
Émission immédiate, moins de quelques nanosecondes dès 1928
Courant en fonction de V, pour l'intensité choisie et sa moitié. Avec les photons, les deux courbes s'annulent au même point. La forme droite vient d'une hypothèse simple : les électrons sortent avec une énergie répartie uniformément de 0 à Ec,max.
Varrêt en fonction de la fréquence. Les points sont des mesures simulées avec le bruit choisi. Chaque métal a son seuil, mais toutes les droites ont la même pente, h/e.
Pente mesurée pour ce métal
h déduit de la pente
Seuil φ lu sur la droite
Le même h que dans le four. Rien dans l'effet photoélectrique ne parle de chaleur, et pourtant la pente de ces droites donne la constante trouvée par Planck. Millikan, qui ne croyait pas aux photons et voulait les réfuter, a fait la mesure en 1916 et trouvé 6,57·10⁻³⁴ J·s. C'est pour cette loi, et non pour la relativité, qu'Einstein a reçu le prix Nobel de 1921.
Planche 5 · Signature
Pourquoi les atomes n'émettent-ils que certaines couleurs ?
Faites passer la lumière d'un gaz chaud dans un prisme : au lieu d'un arc-en-ciel, vous voyez quelques traits fins. Depuis Kirchhoff et Bunsen (1859), on sait que ces traits sont la signature de chaque élément. En 1885, Balmer trouve une formule pour ceux de l'hydrogène, sans comprendre pourquoi elle marche. L'explication vient en 1913, avec Bohr : l'atome ne peut occuper que certains niveaux d'énergie, et chaque photon emporte exactement la différence entre deux niveaux.
En = −13,6 eV / n² et hν = Ehaut − Ebas ⟹ 1/λ = RH (1/nbas² − 1/nhaut²)
L'atome : l'électron saute d'une orbite à l'autre et émet un photon. Les rayons sont comprimés pour tenir dans le cadre : ils valent en réalité n²·a₀.
Les niveaux d'énergie. Échelle verticale comprimée (racine carrée de |E|). Flèche : le saut en cours, avec la couleur du photon.
En haut, le spectre visible se construit raie après raie. En bas, tout le spectre : séries de Lyman (ultraviolet), Balmer (surtout visible) et Paschen (infrarouge).
Saut en cours
Énergie du photonEhaut − Ebas
Longueur d'onde (vide)
Sauts observésseuls ces écarts existent
Quatre chiffres retrouvés au centième de nanomètre. Les couleurs sont discrètes parce que les niveaux le sont : aucun niveau intermédiaire, donc aucune couleur intermédiaire. L'atome classique émettait un glissando ; l'atome de Bohr joue des notes séparées, et il a un plancher, le niveau n = 1, en dessous duquel il ne peut pas tomber. Son effondrement est donc empêché.
Mais pourquoi des niveaux ? En 1924, de Broglie propose qu'à tout électron est associée une onde, de longueur λ = h/(mv). Sur une orbite, cette onde revient sur elle-même après un tour. Si elle ne se raccorde pas exactement, les tours successifs se brouillent et l'onde s'annule. Seul un nombre entier de longueurs d'onde tient sur le cercle : 2πr = nλ. C'est le même phénomène que sur une corde de guitare, qui ne vibre qu'à certaines fréquences.
L'onde sur l'orbite : premier tour en bleu, deuxième tour en orange pointillé. Les deux coïncident seulement si n est entier.
Amplitude restante après K tours, en fonction de n. Plus K est grand, plus les pics se resserrent autour des entiers. C'est de là que vient le « n » de la formule.
Décalage après un tour0° si n est entier
Amplitude après K tours (somme)
Énergie permise
2πr / λ, avec les constantes
Une image, pas encore la théorie. Le raccord de l'onde donne les bons niveaux et explique d'où vient l'entier n. Mais l'électron n'a pas vraiment d'orbite : dans l'état fondamental, l'équation de Schrödinger (1926) décrit une onde sphérique, sans rotation autour du noyau. Cette même équation donne aussi les niveaux des atomes à plusieurs électrons, ce que le modèle de Bohr ne savait pas faire.
Chaque élément a ses propres niveaux, donc ses propres raies. Un gaz chaud les émet ; un gaz froid placé devant une source blanche absorbe ces mêmes couleurs, ce qui fait apparaître des traits noirs. C'est ainsi qu'on lit la composition du Soleil sans y aller. Cochez des éléments pour voir quelles raies sombres du Soleil ils expliquent.
En haut, le spectre du Soleil et 14 de ses grandes raies sombres (Fraunhofer, 1814). En dessous, les raies d'émission des éléments cochés ; un trait vert sur le Soleil signale une coïncidence.
Raies solaires expliquées
Raies affichéeslongueurs d'onde dans l'air
Le gaz mystère
Un élément découvert d'abord dans le ciel. Pendant l'éclipse de 1868, Janssen observe une raie jaune dans les protubérances du Soleil, et Lockyer montre qu'elle n'appartient à aucun élément connu, d'où le nom d'hélium, de hélios. Ramsay ne l'isolera sur Terre qu'en 1895. Cochez He : la raie à 587,56 nm est tout près du doublet du sodium, mais bien distincte de lui.
Voici le résultat le plus frappant : les trois énigmes dépendent toutes du même nombre. Changez h, et trois phénomènes sans rapport apparent bougent ensemble. Quand h tend vers 0, l'atome s'effondre, le four diverge, et les grains de lumière deviennent si nombreux et si petits que la lumière paraît continue. Le monde classique, c'est la limite h → 0. Et ce monde ne pourrait pas exister.
La taille de l'atome, a₀ = ε₀h²/(πme²). Cercle pointillé : l'atome réel.
Le corps noir à 5 772 K, à échelle fixe. Rouge pointillé : la courbe classique, où h n'intervient pas.
Les raies de Balmer, λ ∝ h³ (échelle logarithmique). La bande colorée reste le visible humain.
Rayon de l'atome a₀
Puissance du Soleil par m²
Raie rouge Hα
Photons par seconde (1 W à 550 nm)
Énergie du niveau fondamental
La même constante, mesurée par trois chemins
Valeurs historiques de h en 10⁻³⁴ J·s. Le chiffre de 1913 est recalculé ici en inversant la formule de Bohr avec les constantes de son article (voir le tableau).
Depuis 2019, h n'est plus mesurée. Sa valeur est fixée exactement à 6,626 070 15·10⁻³⁴ J·s, et c'est elle qui définit le kilogramme. La constante apparue dans la lueur d'un four sert aujourd'hui d'étalon de masse.
La frise : trente ans pour changer de physique
1814 · Fraunhofer repère des centaines de raies sombres dans le spectre du Soleil.
1859 · Kirchhoff et Bunsen : chaque élément a ses raies. Kirchhoff pose aussi le problème du corps noir.
1885 · Balmer trouve la formule des raies de l'hydrogène à partir des mesures d'Ångström.
1887 · Hertz observe que l'ultraviolet facilite les étincelles : c'est l'effet photoélectrique.
1896 · Wien propose sa loi du rayonnement, juste aux courtes longueurs d'onde.
1900 · Rayleigh écrit la loi classique. Rubens et Kurlbaum mesurent l'écart à la loi de Wien dans l'infrarouge. Le 14 décembre, Planck présente ses paquets hν.
1902 · Lenard : l'énergie des électrons ne dépend pas de l'intensité de la lumière.
1905 · Einstein : la lumière est faite de grains d'énergie hν.
1911 · Rutherford découvre le noyau, ce qui rend l'atome classique intenable.
1913 · Bohr : des niveaux d'énergie discrets. La constante de Rydberg sort du calcul.
1916 · Millikan confirme la loi d'Einstein et mesure h.
1923 · Compton : un photon rebondit sur un électron comme une bille, avec une quantité de mouvement.
1924 · De Broglie : la matière aussi a une longueur d'onde.
1925-1926 · Heisenberg, Born, Jordan, puis Schrödinger : la mécanique quantique est née.
Une précision d'histoire : l'ordre des manuels n'est pas celui des événements. Planck ne cherchait pas à éviter la catastrophe ultraviolette, qu'il ne mentionne pas. Il partait de la loi de Wien, de la thermodynamique et des mesures de ses collègues berlinois. Présenter la catastrophe d'abord est plus clair, mais c'est une reconstruction après coup.
À retenir
L'échec
La physique classique prédit des atomes qui s'effondrent en un dix-milliardième de seconde, des fours d'énergie infinie et une lumière sans seuil. Ce ne sont pas de petits écarts : ses réponses sont qualitativement fausses.
L'idée
L'énergie s'échange par paquets. Paquets hν pour les oscillateurs du four, photons pour la lumière, niveaux discrets pour l'atome. Une seule constante, h, fixe la taille de tous ces paquets.
La preuve
Trois expériences sans lien apparent donnent le même nombre, avec les moyens de l'époque, à quelques pour cent près. Et quand h tend vers 0, on retrouve exactement les catastrophes classiques.
Pour aller plus loin
Ce que cette page simplifie. Le freinage de la planche 1 suit la formule de Larmor sans relativité : celle-ci change les tout derniers instants de la chute, pas l'ordre de grandeur. Le modèle de Bohr n'est pas la théorie actuelle : il échoue dès l'atome d'hélium, et il attribue à l'état fondamental une rotation qu'il n'a pas. Les valeurs de φ sont typiques : elles varient selon l'état de la surface.
La suite de l'histoire. Une fois admise l'onde de matière, il faut trouver l'équation qu'elle suit : c'est l'objet de la mécanique ondulatoire. Il faut aussi renoncer à connaître à la fois la position et la vitesse : c'est le principe d'incertitude. Ces sujets ont leurs propres pages dans le cahier, tout comme les équations de Maxwell et l'entropie, sur lesquelles s'appuie celle-ci.
Valeurs utilisées. Constantes SI 2019 pour les calculs modernes. Planck 1901 : K = 7,061·10⁻¹⁵, λmaxT = 0,294 cm·K, c = 3·10¹⁰ cm/s, R = 8,31·10⁷ erg/(mol·K), F = 96 580 C/mol. Bohr 1913 : e = 4,7·10⁻¹⁰ u.e.s., e/m = 5,31·10¹⁷ u.e.s./g, h = 6,5·10⁻²⁷ erg·s, R = 3,290·10¹⁵ s⁻¹. Millikan 1916 : h = 6,57·10⁻²⁷ erg·s. Longueur d'onde dans l'air : formule d'Edlén.