La supraconductivité : effet Meissner, lévitation, aimants d'IRM
En dessous d'une température critique, certains matériaux laissent passer le courant sans la moindre résistance et chassent le champ magnétique de leur intérieur. Un aimant posé au-dessus flotte ; un courant lancé dans une boucle y tourne pendant des années. Cinq planches pour comprendre ce comportement étrange, et comment il fabrique les champs intenses des appareils d'IRM.
Un état de la matière, pas seulement un très bon conducteur
En 1911, à Leyde, Heike Kamerlingh Onnes refroidit du mercure avec de l'hélium liquide, qu'il est le premier à savoir produire. À 4,2 K (−269 °C), la résistance du mercure disparaît brusquement. En 1933, Walther Meissner et Robert Ochsenfeld découvrent la seconde signature : un supraconducteur expulse le champ magnétique. Ces deux propriétés viennent d'un même phénomène quantique : les électrons s'associent par paires (les paires de Cooper) qui se déplacent toutes ensemble, comme une seule onde, sans se heurter au réseau d'atomes.
Un petit aimant flotte au-dessus d'une pastille supraconductrice refroidie à l'azote liquide. Les lignes de champ (bleu), calculées pas à pas, ne pénètrent pas dans la pastille : elles s'écrasent contre sa surface, et c'est cette compression qui repousse l'aimant.
Matériau
Température critique
Découverte
Usage
Mercure
4,2 K
1911
Historique
Plomb
7,2 K
1913
Type I classique
Niobium-titane (NbTi)
9,2 K
1962
Aimants d'IRM, accélérateurs (LHC)
Niobium-étain (Nb₃Sn)
18,3 K
1954
Aimants à très haut champ, ITER
Diborure de magnésium (MgB₂)
39 K
2001
IRM sans hélium, câbles
YBa₂Cu₃O₇ (YBCO)
92 K
1987
Premier au-dessus de l'azote liquide (77 K) ; rubans, lévitation
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Résistance nulle : le courant qui ne s'arrête pas
Question : comment prouver qu'une résistance est vraiment nulle, et pas seulement très petite ? Aucun voltmètre n'y suffit. L'astuce consiste à lancer un courant dans un anneau fermé, puis à attendre. L'anneau a une inductance L (il « retient » le courant) et une résistance R (qui le freine) : le courant décroît avec une constante de temps τ = L/R. Plus la résistance est petite, plus il dure.
L dI/dt = −RI ⟹ I(t) = I₀ e−t/τ, τ = L/R · anneau : L ≈ µ₀r [ln(8r/a) − 7/4], R = ρ·2πr/(πa²)
Résistance relative d'un fil en fonction de la température (schéma) : ■ un métal ordinaire garde une résistance résiduelle, ■ le mercure tombe à zéro à 4,2 K, comme dans la mesure d'Onnes.
Courant dans un anneau de 1 cm de rayon en fil de 1 mm : ■ calcul par Runge-Kutta, ■ exponentielle exacte. L'échelle de temps s'adapte au matériau.
Ce qu'il faut retenir. Dans un anneau de cuivre, le courant s'éteint en quelques millisecondes, même refroidi. Dans un anneau supraconducteur, on n'a jamais vu le courant diminuer : des expériences de plusieurs années n'ont décelé aucune baisse, ce qui place la résistivité sous 10⁻²⁴ Ω·m, et la durée de vie du courant au-delà de la dizaine de milliers d'années. Ce « courant persistant » est exactement ce qui alimente l'aimant d'une IRM (planche 5).
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L'effet Meissner : le champ est chassé
Question : un supraconducteur n'est-il qu'un conducteur parfait ? Non, et l'ordre des opérations le montre. Un conducteur parfait, par la loi de Faraday, fige le flux qu'il contient : refroidi dans un champ, il le garde prisonnier. Un supraconducteur, lui, expulse le champ au moment où il devient supraconducteur, quel que soit l'ordre des opérations. Des courants apparaissent à sa surface et créent un champ exactement opposé à l'intérieur.
à l'intérieur : B(x) = B₀ e−x/λ (équation de London : λ² B″ = B, λ = √(m/(µ₀nse²)))
Coupe d'un long cylindre dans un champ uniforme horizontal. Les lignes de champ contournent le supraconducteur ; elles se resserrent sur ses flancs, où le champ double. Le point orange mesure le champ à la surface.
Dans une lame supraconductrice, le champ ne pénètre que sur une épaisseur λ de quelques dizaines de nanomètres : ■ résolution numérique de l'équation de London, ■ solution exacte en cosinus hyperbolique.
Champ à la surface, au flanc du cylindre (dérivée numérique)
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Théorie pour un cylindre : 2B₀
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Profondeur de London λ (ns = 10²⁸ m⁻³ à 0 K, modèle à deux fluides)
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Écart maximal entre le calcul par différences finies et la formule exacte
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Ce qu'il faut retenir. Le supraconducteur est un diamagnétique parfait : il se comporte comme un aimant qui s'oppose toujours au champ extérieur. Les courants qui l'assurent circulent dans une peau d'épaisseur λ, quelques dizaines de nanomètres. Près de la température critique, λ grandit, le champ pénètre de plus en plus, et la supraconductivité finit par disparaître. Cette expulsion ne s'explique pas par la seule résistance nulle : c'est un état de la matière à part entière, décrit par les frères London (1935), puis par la théorie de Bardeen, Cooper et Schrieffer (1957).
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La lévitation magnétique
Question : pourquoi un aimant flotte-t-il au-dessus d'un supraconducteur ? Parce que le supraconducteur se comporte comme un miroir magnétique : tout se passe comme si un second aimant, image du premier, se trouvait sous la surface, à la même profondeur, orienté de façon à le repousser. Deux aimants tête contre tête se repoussent d'autant plus qu'ils sont proches : il existe une hauteur où cette répulsion compense exactement le poids.
On lâche l'aimant de plus haut que sa hauteur d'équilibre : il descend, rebondit sur le coussin magnétique et oscille, freiné par les pertes (légères) dans le supraconducteur. Son image magnétique est dessinée en pointillé.
En haut, la hauteur de l'aimant au cours du temps (Runge-Kutta 4). En bas, la force magnétique (bleu) et le poids (rouge) en fonction de la hauteur : ils se croisent à l'équilibre.
Masse et moment magnétique (Br = 1,3 T, 7 500 kg/m³)
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Hauteur d'équilibre (dichotomie sur F = Mg)
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Formule h* = ½ (3µ₀m²/(2πMg))1/4
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Période des oscillations mesurée (sans amortissement, petite amplitude)
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2π/√(4g/h*)
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Ce qu'il faut retenir. La hauteur de lévitation résulte d'une compétition entre le poids, qui croît comme le volume de l'aimant, et la répulsion, qui croît comme le carré de son moment magnétique, donc comme le carré du volume : les gros aimants flottent plus haut. En pratique, les supraconducteurs de type II (planche 4) font mieux encore : des lignes de champ restent accrochées dans le matériau, et l'aimant est tenu en place, même suspendu à l'envers. Les trains Maglev japonais, avec des bobines supraconductrices embarquées, ont atteint 603 km/h en 2015.
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Types I et II : quand le champ entre par petits tourbillons
Question : jusqu'à quel champ un supraconducteur résiste-t-il ? Il existe deux familles. Les supraconducteurs de type I (plomb, mercure) expulsent le champ jusqu'à un champ critique, puis redeviennent brutalement normaux, dès quelques dixièmes de tesla. Ceux de type II (niobium, NbTi, Nb₃Sn, YBCO) laissent entrer le champ à partir d'un premier seuil Bc1, mais sous forme de minces tubes, des vortex, entourés de supercourants tourbillonnants. Chaque vortex porte exactement un quantum de flux, et le matériau reste supraconducteur entre eux jusqu'à un second seuil Bc2, parfois de plusieurs dizaines de teslas.
Φ₀ = h/(2e) = 2,068·10⁻¹⁵ Wb · densité de vortex n = B/Φ₀ · réseau triangulaire de pas a = √(2Φ₀/(√3 B))
Diagramme des états (modèle Bc(T) = Bc(0)(1 − (T/Tc)²)) : ■ état Meissner, ■ état mixte à vortex, blanc : état normal. Cliquez pour choisir un point.
Vue de dessus d'une petite boîte de matériau dans l'état mixte (bords périodiques). Chaque point est un vortex : partis de positions au hasard et secoués d'une agitation qui s'apaise peu à peu, ils se repoussent et s'organisent d'eux-mêmes en réseau triangulaire, le réseau d'Abrikossov, avec quelques défauts comme dans les vrais matériaux.
Point choisi et état
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Vortex dans la boîte : N = B × surface / Φ₀
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Vortex entourés de 6 voisins après mise en ordre
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Distance moyenne aux six plus proches voisins, mesurée / formule du réseau triangulaire
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Φ₀ = h/(2e) avec les constantes exactes du SI
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Ce qu'il faut retenir. Le quantum de flux Φ₀ = h/2e, avec un 2 qui trahit les paires d'électrons, est une signature directe de la nature quantique de la supraconductivité. Sous 1,5 T, un vortex tous les 40 nanomètres, soit plus de soixante-dix milliards par centimètre carré. Les défauts du matériau, en retenant ces vortex, empêchent qu'ils se déplacent et dissipent de l'énergie : c'est l'« ancrage », qui permet aux fils de NbTi de porter des courants énormes sous fort champ, et qui tient les aimants suspendus sous un supraconducteur. Les valeurs de Bc1 et Bc2 sont des ordres de grandeur.
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L'aimant d'une IRM : 1,5 tesla sans consommer de courant
Question : comment produire pendant des années un champ de 1,5 T, trente mille fois le champ terrestre, parfaitement uniforme ? Avec une grande bobine de fil de NbTi baignant dans l'hélium liquide à 4,2 K. On y injecte quelques centaines d'ampères, puis on referme la bobine sur elle-même par un interrupteur supraconducteur : le courant tourne en mode persistant, et l'alimentation peut être débranchée. Reste à rendre le champ uniforme à quelques millionièmes près, et à gérer l'énorme énergie stockée.
centre d'un solénoïde : B = µ₀NI / √(ℓ² + 4R²) · uniformité : on annule d²B/dz² au centre avec deux bobines de correction
Coupe de l'aimant (bobine principale bleue, bobines de correction orange), le patient allongé dans le tunnel. La sphère verte, de 40 cm de diamètre, est la zone où l'image doit être parfaite.
Écart relatif du champ sur l'axe par rapport au centre, en parties par million : ■ bobine seule, ■ avec correction.
Ampères-tours nécessaires et longueur de fil à 400 A
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Champ au centre calculé / visé
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Uniformité sur ±20 cm de l'axe
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d²B/dz² au centre (relatif)
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Un solénoïde de rayon 0,5 m et de longueur 1,5 m stocke une énergie ½LI². Son inductance se calcule de trois façons : par la formule exacte de Nagaoka (intégrales elliptiques), en additionnant les inductances mutuelles de centaines de boucles, ou par l'approximation de Wheeler. Si un point du fil perd sa supraconductivité, il chauffe, la zone normale s'étend : c'est le quench. Toute l'énergie se transforme en chaleur en quelques secondes et fait bouillir l'hélium.
Pendant un quench : ■ courant, ■ résistance de la zone normale qui grandit, ■ énergie restant dans la bobine.
Inductance : Nagaoka / somme de boucles (extrapolée) / Wheeler
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Énergie stockée ½LI²
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Chaleur dégagée ∫RI²dt (Runge-Kutta et Simpson) / ½LI²
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Hélium liquide évaporé (2,6 kJ par litre)
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Temps pour que le courant tombe à 10 %
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Ce qu'il faut retenir. Une bobine supraconductrice de quelques milliers de spires produit 1,5 T sans consommer d'électricité : seule la cryogénie coûte, pour maintenir 4,2 K. Mais l'uniformité exige un dessin savant : une bobine seule varie de plus de 2 % sur la zone d'imagerie, alors que l'IRM demande quelques millionièmes. Deux bobines de correction, placées juste au-delà des extrémités, annulent la courbure du champ et ramènent l'écart à quelques dizaines de millionièmes ; les aimants réels en ajoutent plusieurs, puis des pièces de fer et des bobines d'ajustement. L'énergie stockée, de l'ordre du mégajoule à 1,5 T, est celle d'une voiture lancée à 150 ou 200 km/h : un quench vaporise des centaines de litres d'hélium, évacués par une cheminée au-dessus de l'appareil.
Un siècle de supraconductivité
1908Kamerlingh Onnes liquéfie l'hélium à Leyde.
1911Il découvre que la résistance du mercure s'annule à 4,2 K (prix Nobel 1913).
1933Meissner et Ochsenfeld découvrent l'expulsion du champ magnétique.
1935Fritz et Heinz London écrivent l'équation qui décrit cette expulsion.
1950Ginzburg et Landau proposent une description d'ensemble de l'état supraconducteur.
1957Abrikossov prédit les vortex des supraconducteurs de type II ; Bardeen, Cooper et Schrieffer expliquent la supraconductivité par les paires d'électrons.
1961Le quantum de flux h/2e est mesuré par deux équipes, en Allemagne et aux États-Unis.
1962Brian Josephson prédit l'effet tunnel entre deux supraconducteurs, base des détecteurs SQUID.
années 1980Premiers appareils d'IRM à aimant supraconducteur dans les hôpitaux.
1986-1987Bednorz et Müller découvrent les cuprates ; l'YBCO dépasse la température de l'azote liquide.
2008Les 1 232 dipôles supraconducteurs en NbTi du LHC, refroidis à 1,9 K, entrent en service au CERN.
En trois idées
Zéro résistance
Sous sa température critique, un supraconducteur transporte le courant sans perte : un courant persistant peut circuler pendant des années.
Champ expulsé
Il chasse le champ magnétique (effet Meissner), d'où la lévitation. Dans les types II, le champ entre en vortex quantifiés, ce qui permet de supporter des champs intenses.
Des aimants géants
Les bobines supraconductrices produisent les champs des IRM, des accélérateurs et des réacteurs de fusion, au prix d'un refroidissement extrême.
Pour aller plus loin
La course à la température. Les cuprates au mercure atteignent environ 133 K à pression ordinaire. Sous des pressions de plus d'un million d'atmosphères, des hydrures dépassent 200 K. Une supraconductivité à température ambiante et à pression ordinaire reste à découvrir ; plusieurs annonces récentes n'ont pas résisté à la vérification.
Les SQUID. Deux jonctions Josephson dans un anneau supraconducteur mesurent des variations de flux bien plus petites que Φ₀ : assez pour enregistrer le champ magnétique du cerveau (magnétoencéphalographie).
ITER. Le réacteur de fusion en construction à Cadarache utilise des bobines en Nb₃Sn et NbTi pour confiner son plasma : 18 bobines toroïdales de près de 17 m de haut.
Pages voisines du cahier. Le magnétisme et ses applications (IRM, précession de Larmor) ; le ferromagnétisme ; le moteur électrique et le transformateur ; les équations de Maxwell.