Les équations de Maxwell et la lumière
Un champ magnétique qui varie crée un champ électrique ; un champ électrique qui varie crée un champ magnétique. Chacun relance l'autre, un peu plus loin, un peu plus tard : ainsi naît une onde qui se propage seule dans le vide, à 299 792 458 m/s. En 1865, Maxwell comprend que cette onde, c'est la lumière. Cinq planches pour refaire son raisonnement.
Quatre équations pour tout l'électromagnétisme
Maxwell a rassemblé en un seul système tout ce que Coulomb, Ampère et Faraday avaient découvert, en y ajoutant un terme de son invention. Écrites sous forme « intégrale », elles parlent de flux (ce qui traverse une surface) et de circulations (ce que l'on cumule en faisant le tour d'une boucle) :
| Équation | Forme intégrale | Ce qu'elle dit | Planche |
|---|---|---|---|
| Gauss électrique | ∯ E·dS = Q/ε₀ | Les charges sont les sources du champ électrique. | 1 |
| Gauss magnétique | ∯ B·dS = 0 | Il n'existe pas de « charge magnétique » : les lignes de B se referment. | 1 |
| Faraday | ∮ E·dl = −dΦB/dt | Un champ magnétique qui varie crée un champ électrique qui tourne. | 3 |
| Ampère-Maxwell | ∮ B·dl = µ₀I + µ₀ε₀ dΦE/dt | Un courant, mais aussi un champ électrique qui varie, crée un champ magnétique qui tourne. | 2, 3 |
ε₀ = 8,854·10⁻¹² F/m (permittivité du vide) et µ₀ = 1,257·10⁻⁶ H/m (perméabilité du vide) sont deux constantes mesurées sur des condensateurs et des bobines, en laboratoire, sans rien savoir de la lumière.
Les sources du champ : le théorème de Gauss
Question : d'où partent les lignes de champ ? Tracez une boucle fermée et comptez ce qui en sort : c'est le flux. Pour le champ électrique, ce flux ne dépend que des charges enfermées, quelles que soient la forme et la taille de la boucle. Pour le champ magnétique, il est toujours nul : tout ce qui entre ressort. On travaille ici dans le plan, avec des fils chargés et des fils parcourus par un courant qui traversent l'écran ; les lois restent les mêmes.
Le terme manquant : le courant de déplacement
Question : que se passe-t-il entre les armatures d'un condensateur qui se charge ? Un courant arrive par le fil, mais aucune charge ne traverse le vide entre les armatures. Selon la loi d'Ampère d'origine, une boucle tracée autour du fil sentirait un champ magnétique, mais la même boucle posée entre les armatures n'en sentirait aucun. Or le champ ne peut pas dépendre de la surface que l'on imagine s'appuyer sur la boucle. Maxwell résout le paradoxe en 1861 : entre les armatures, c'est le champ électrique qui varie, et cette variation agit comme un courant.
Les deux champs se relancent : naissance d'une onde
Question : comment un champ peut-il voyager tout seul dans le vide ? Prenons un champ électrique vertical qui ne dépend que de la position x, et un champ magnétique horizontal. Faraday et Ampère-Maxwell deviennent deux équations très simples : là où E change dans l'espace, B change dans le temps, et réciproquement. Chacun fabrique l'autre un peu plus loin :
On résout ces deux équations pas à pas avec le schéma de Yee (1966), celui des logiciels de simulation d'antennes : E et B sont calculés à tour de rôle, en des points décalés d'une demi-case. Une impulsion part vers la droite et rencontre une plaque de verre, d'indice n = 1,5.
L'onde plane : couleurs, polarisation et énergie
Question : qu'ont en commun la radio, la lumière et les rayons X ? Ce sont toutes des ondes électromagnétiques ; seule change leur longueur d'onde λ, et donc leur fréquence f = c/λ. Dans toutes, E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, en phase, et dans le rapport E/B = c. L'onde transporte de l'énergie, décrite par le vecteur de Poynting S = E × B/µ₀.
La lumière naît d'une charge qui oscille, et elle interfère
Question : comment fabrique-t-on une onde électromagnétique, et comment prouver que c'est une onde ? Toute charge qui oscille fait varier le champ autour d'elle : la perturbation se propage à la vitesse c et s'éloigne. C'est ainsi qu'émettent les antennes, et, à l'échelle des atomes, les sources de lumière. La preuve qu'il s'agit d'une onde : deux ondes peuvent s'annuler, comme dans l'expérience des fentes d'Young (1801). On résout ici les équations de Maxwell dans le plan, sur 104 000 cases, avec le schéma de Yee.
De l'électricité à la lumière
En trois idées
Des sources et des boucles
Les charges font naître le champ électrique ; le champ magnétique n'a pas de source ponctuelle et s'enroule autour des courants.
Chaque champ fait l'autre
Un champ magnétique qui varie crée un champ électrique, et, grâce au terme ajouté par Maxwell, un champ électrique qui varie crée un champ magnétique.
La lumière
Ce relais mutuel se propage dans le vide à c = 1/√(µ₀ε₀) = 299 792 458 m/s : c'est la lumière, et toute la famille des ondes électromagnétiques.
Pour aller plus loin
La forme différentielle. En chaque point, les équations s'écrivent div E = ρ/ε₀, div B = 0, rot E = −∂B/∂t, rot B = µ₀j + µ₀ε₀ ∂E/∂t. En combinant les deux dernières dans le vide, on obtient l'équation d'onde ∂²E/∂t² = c² ΔE.
Un éther qui n'existait pas. Maxwell pensait que ces ondes vibraient dans un milieu, l'éther. L'expérience de Michelson et Morley (1887) n'a trouvé aucun mouvement de la Terre par rapport à lui ; la relativité d'Einstein a rendu l'éther inutile. Voir la page du cahier sur la relativité.
Le mètre défini par la lumière. Depuis 1983, la vitesse de la lumière est fixée exactement à 299 792 458 m/s, et c'est le mètre qui s'en déduit. Depuis 2019, µ₀ n'est plus exactement 4π·10⁻⁷ H/m mais une valeur mesurée, très proche.
Pages voisines du cahier. Le magnétisme et ses applications ; l'optique mathématique (rayons et ondes) ; la transformée de Fourier.