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Physique

Le magnétisme et ses applications

D'où vient la force invisible qui oriente une boussole, soulève une ferraille ou fait tourner un moteur ? Cinq planches pour passer de l'aimant de frigo à l'IRM : on regarde le champ, on le mesure, et chaque nombre affiché est recalculé par une seconde méthode indépendante.

Un champ que l'on ne voit pas, mais que l'on peut dessiner

Saupoudrez de la limaille de fer sur une feuille posée sur un aimant : chaque grain devient une minuscule aiguille aimantée et s'aligne sur le champ magnétique B, une flèche attachée à chaque point de l'espace. Sa longueur dit la force, sa direction dit où pointerait une boussole. On le mesure en tesla (T) : le champ terrestre vaut environ 47 µT, un aimant de frigo 5 mT, un appareil d'IRM 1,5 à 3 T.

Limaille de fer simulée : 2 400 grains orientés selon le champ calculé d'un aimant droit qui tourne lentement. Plus le grain est foncé, plus le champ est intense. Les lignes que dessinent les grains ne s'arrêtent jamais en chemin : elles vont d'un pôle à l'autre.

Ce qui crée un champ magnétique	Ce que fait le champ	Planche
Un aimant permanent (les électrons de la matière alignés)	Oriente une boussole, attire ou repousse un autre aimant	1
Un courant électrique (fil, spire, bobine)	Électroaimants, sonneries, haut-parleurs	2
Tout champ magnétique, sur une charge qui bouge	Courbe la trajectoire des charges en mouvement : spectromètres, accélérateurs, aurores	3
Un champ qui varie dans le temps	Fait naître une tension : alternateurs, transformateurs, plaques à induction	4
Un champ très intense et très uniforme	Fait « chanter » les noyaux d'hydrogène du corps : l'IRM	5

Aimants, pôles et lignes de champ

Question : pourquoi une boussole s'oriente-t-elle, et pourquoi deux aimants s'attirent-ils ou se repoussent-ils ? Un aimant a toujours deux extrémités, le pôle nord (N, en rouge) et le pôle sud (S, en bleu). Les pôles contraires s'attirent, les pôles semblables se repoussent. On modélise chaque pôle comme une « charge magnétique » qui rayonne un champ en 1/d², et les deux contributions s'additionnent :

B = (µ₀/4π) · Σ q_i · u_i / d_i² avec µ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A

Les lignes de champ sont les courbes que suivrait une boussole de proche en proche : elles sortent du pôle nord et rentrent par le pôle sud. Glissez les aimants et la boussole ; changez l'orientation du second aimant.

Lignes de champ calculées pas à pas (Runge-Kutta d'ordre 4 le long de la direction du champ). Chaque aimant mesure 5 cm et porte un moment magnétique de 1 A·m² (un petit aimant au néodyme). Faites glisser un aimant par son centre, ou la boussole.

Configuration

Orientation de l'aimant 2

Champ à la boussole

—

Comparé au champ terrestre (47 µT)

—

Force sur l'aimant 2 (modèle des pôles)

—

Rapport à la formule des dipôles 3µ₀m²/(2πd⁴)

—

De près, un aimant ; de loin, un dipôle

Vu de loin, un aimant se résume à un seul nombre, son moment magnétique m (en A·m²). Sur son axe, à la distance r, le champ devient celui d'un dipôle : B = µ₀·2m/(4πr³). Il décroît en 1/r³, bien plus vite que la gravitation. La figure compare le modèle à deux pôles à cette formule.

Échelle log-log : en abscisse la distance rapportée à la longueur de l'aimant, en ordonnée l'écart relatif entre les deux modèles. Une droite de pente −2 signifie un écart en (L/r)².

Distance r / L

B, modèle à deux pôles

—

B, formule du dipôle

—

Écart relatif

—

Écart × (r/L)² (tend vers ½)

—

Pente mesurée (régression, r/L de 5 à 100)

—

Ce qu'il faut retenir. Le champ d'un aimant se lit comme une carte de flèches ; sa décroissance en 1/r³ explique pourquoi un aimant « colle » brutalement quand on l'approche. L'aiguille d'une boussole est un petit aimant dont le pôle nord montre le nord géographique : le pôle Nord de la Terre est donc, magnétiquement, un pôle sud. Enfin, on ne trouve jamais de pôle isolé : cassez un aimant, vous obtenez deux aimants complets.

Le courant crée le champ

Question : d'où vient le magnétisme, s'il n'y a pas d'aimant ? En 1820, Ørsted voit l'aiguille d'une boussole dévier quand il fait passer un courant dans un fil. Tout champ magnétique naît de charges en mouvement. La loi de Biot et Savart donne la contribution de chaque petit morceau de fil ; le théorème d'Ampère dit que la « circulation » du champ le long d'une boucle fermée (la somme de B·dl sur le tour) vaut µ₀ fois le courant qui traverse la boucle.

∮ B·dl = µ₀ I_enlacé · fil droit : B = µ₀I/(2πr) · centre d'une spire : B = µ₀I/(2a)

Courant I

Fils

Rayon du contour

Rayon de la spire a

Éléments de fil (Biot-Savart)

Nombre de spires N

Longueur ℓ

La force de Lorentz : le champ courbe les charges

Question : que fait le champ magnétique à une particule chargée qui le traverse ? Il la pousse de côté, toujours perpendiculairement à sa vitesse. Cette force ne l'accélère ni ne la freine : elle ne fait que tourner sa direction. La particule décrit donc un cercle, parcouru à vitesse constante.

F = q (E + v × B) ⟹ rayon r = mv/(|q|B), période T = 2πm/(|q|B)

La période ne dépend pas de la vitesse : une particule rapide fait un grand cercle, une lente un petit, mais elles mettent le même temps. C'est le secret du cyclotron. Ajoutez un champ électrique : la particule se met à dériver à la vitesse E/B, quelle que soit sa charge.

Champ B sortant de l'écran (points gris). Trajectoire calculée par l'algorithme de Boris, le schéma des simulateurs de plasma, avec 2 000 pas par tour. Le cercle vert en pointillé est la trajectoire théorique.

Particule

Vitesse v

Champ B

Champ électrique E (×vB)

Rayon mesuré (cercle par trois positions)

—

Rayon théorique mv/(|q|B)

—

Période mesurée (passages successifs)

—

Période théorique 2πm/(|q|B)

—

Écart relatif sur la période, mesuré / prévu par le schéma

—

Dérive de l'énergie cinétique sur 10 tours

—

Vitesse de dérive mesurée / E/B

—

Fraction de la vitesse de la lumière

—

Application : peser les atomes

Dans un spectromètre de masse, des ions de même charge sont accélérés par une même tension U, ce qui leur donne la vitesse v = √(2qU/m). Le champ les courbe ensuite en demi-cercle : les plus lourds tournent plus large. Leur point d'impact, à la distance d = 2r = (2/B)·√(2mU/q), trie les isotopes. C'est ainsi qu'on date au carbone 14.

Les ions entrent par la fente en bas à gauche et tombent sur la plaque détectrice. Trajectoires intégrées numériquement ; les points d'impact sont obtenus par interpolation du passage sur la plaque.

Isotopes

Tension d'accélération U

Champ B

Ce qu'il faut retenir. Le champ magnétique ne travaille pas : la dérive de l'énergie reste au niveau des arrondis de la machine. Il ne fait que plier les trajectoires, d'autant plus fort que la charge est grande et la masse petite. Le même mécanisme piège le vent solaire autour de la Terre et le guide vers les pôles, où il allume les aurores ; il guide aussi les faisceaux du LHC et, jadis, les électrons des téléviseurs à tube.

L'induction : un champ qui bouge fait naître une tension

Question : peut-on, à l'inverse, fabriquer du courant avec un aimant ? Oui, à condition qu'il bouge. Faraday le découvre en 1831 : ce qui compte est le flux Φ, la quantité de champ qui traverse une bobine (champ × surface × nombre de spires). Quand le flux varie, une tension apparaît, la force électromotrice e. Le signe moins, dû à Lenz, dit que le courant induit s'oppose toujours à la cause qui l'a créé.

e = − dΦ/dt (loi de Faraday-Lenz)

■ flux Φ(t) à travers la bobine, ■ tension induite e(t) = −dΦ/dt. Le trait gris vertical suit l'aimant.

Vitesse de l'aimant

Nombre de spires

Rayon de la bobine

Tension de crête mesurée (dérivée numérique)

—

Formule 24µ₀Nmv/(25√5·R²)

—

Position du pic mesurée / rayon R

—

Aire du premier lobe (Simpson) / Φ(0) − Φ(début)

—

Somme des deux lobes ∫e dt, rapportée à un lobe

—

Pour un aimant de moment m (ici 1 A·m², assimilé à un dipôle) sur l'axe d'une bobine de N spires de rayon R, à la distance z : Φ = Nµ₀mR²/(2(R²+z²)^3/2). En dérivant, la tension culmine en z = ±R/2 et vaut e_max = 24·µ₀Nmv/(25√5·R²).

Une bobine tourne entre les pôles d'un aimant (animation ralentie). Le flux est maximal quand la bobine fait face au champ, nul quand elle est de profil.

■ flux, ■ tension induite, sur une période.

Vitesse de rotation

Champ B

Nombre de spires

Surface d'une spire

Fréquence de la tension

—

Tension de crête mesurée

—

Formule NBSω

—

Tension efficace mesurée (√ moyenne de e²)

—

Crête / √2

—

Ce qu'il faut retenir. Presque toute l'électricité du monde sort d'alternateurs : barrage, centrale nucléaire ou éolienne ne font que tourner des bobines dans un champ. À 3 000 tours par minute, un alternateur à deux pôles donne exactement le 50 Hz du réseau européen. Le même principe, à l'envers, donne le transformateur (le rapport des tensions égale le rapport des nombres de spires), la plaque à induction, le chargeur sans fil et les freins des TGV.

L'IRM : écouter tourner les protons du corps

Question : comment un aimant peut-il photographier l'intérieur du corps sans rayons X ? Le corps est fait aux deux tiers d'eau, donc de noyaux d'hydrogène, des protons. Chaque proton est un minuscule aimant qui tourne sur lui-même. Placé dans un champ intense B₀, il se met à tourner autour du champ comme une toupie penchée autour de la verticale : c'est la précession de Larmor, à une fréquence exactement proportionnelle au champ.

f₀ = γ̄ · B₀ avec γ̄ = 42,577 MHz/T pour le proton

Toute l'IRM tient dans cette proportionnalité. On bascule l'aimantation par une onde radio accordée sur f₀ (planche a), on la fait « résonner » et on écoute l'écho qu'elle renvoie (planche b), puis on rend la fréquence dépendante de la position pour savoir d'où vient chaque son (planche c).

Vue dans le « référentiel tournant » : on tourne avec l'onde radio, comme un spectateur assis sur le manège, si bien que la précession à 64 MHz disparaît. ■ aimantation, ■ champ efficace ressenti, l'axe x′ portant l'onde radio, ■ trajectoire. Faites glisser pour tourner la vue.

Champ principal B₀

Champ radio B₁

Désaccord f_radio − f₀

Angle visé

Fréquence de Larmor f₀ = γ̄B₀

—

Durée de l'impulsion

—

Composante verticale finale M_z (Runge-Kutta)

—

Formule de Rabi 1 − 2(Ω₁/Ω)²sin²(Ωt/2)

—

Angle de bascule obtenu

—

Résonance. Accordée sur f₀, même une onde radio cent mille fois plus faible que B₀ bascule l'aimantation jusqu'à l'angle voulu. Désaccordée de quelques kilohertz, elle ne fait que la faire vaciller : le champ efficace (orange) se redresse et l'aimantation tourne autour de lui sans jamais descendre. C'est pourquoi l'appareil ne parle qu'aux protons, et pas aux autres noyaux.

Vue de dessus : vingt-quatre groupes de protons après la bascule. Chacun ressent un champ très légèrement différent, donc tourne à sa propre vitesse, et l'éventail s'ouvre. L'impulsion de 180° retourne l'éventail : les rapides, désormais en retard, rattrapent les lents.

■ signal capté par l'antenne (moyenne de 801 groupes), ■ enveloppe e^−t/T₂, ■ impulsion de 180° à τ.

Délai τ

Relaxation T₂ du tissu

Inhomogénéité du champ

Instant de l'écho mesuré

—

Prévu : 2τ

—

Hauteur de l'écho mesurée

—

Prévue : e^−2τ/T₂

—

Demi-vie du premier signal : mesurée / formule gaussienne

—

L'écho. Le signal s'éteint vite après la bascule, mais pas parce que les protons se sont arrêtés : ils se sont désaccordés, comme des coureurs partis ensemble qui s'étalent sur la piste. Faites-les faire demi-tour au même instant τ : ils se retrouvent tous ensemble à 2τ. Ce qui manque alors à l'écho mesure la vraie relaxation T₂, propre au tissu : c'est elle qui distingue la graisse, le muscle ou une tumeur.

Une bobine de gradient ajoute un champ qui croît le long de x : B = B₀ + G·x. Chaque tranche du corps chante alors à sa propre fréquence γ̄(B₀ + Gx), comme les touches d'un piano. L'antenne entend l'accord complet ; une transformée de Fourier le décompose en notes, donc en positions.

Signal reçu pendant la lecture (partie réelle en bleu, imaginaire en violet) : un accord de toutes les tranches à la fois.

Coupe d'une jambe sur 20 cm (peau et graisse, muscle, os cortical, moelle) : ■ vraie densité de protons, ■ image reconstruite. Le cadre gris est le champ de vue ; ce qui dépasse se replie de l'autre côté.

Gradient G

Nombre d'échantillons

Décroissance T₂*

Champ de vue 1/(γ̄GΔt)

—

Taille d'un pixel

—

État

—

Somme de l'image × pixel

—

Aire exacte du profil ∫ρ dx

—

Largeur de la moelle à mi-hauteur : mesurée / vraie (1,4 cm)

—

L'image. Le temps d'échantillonnage est fixé à 10 µs ; le gradient règle donc le champ de vue. Trop fort, il le rend plus petit que la jambe : ce qui dépasse d'un côté réapparaît de l'autre, superposé à l'image. C'est le « repliement », un artefact bien connu des radiologues. Le repliement déplace l'intensité mais ne la crée ni ne la détruit : la somme de l'image reste égale à l'aire du profil, aux arrondis près. Un appareil réel fait la même chose dans deux ou trois directions à la fois.

Vingt-six siècles de magnétisme

vers −600Thalès de Milet décrit la « pierre de Magnésie », la magnétite, qui attire le fer.

XIᵉ siècleEn Chine, Shen Kuo décrit l'aiguille aimantée qui indique le sud ; la boussole gagne l'Europe au XIIᵉ siècle.

1269Pierre de Maricourt, au siège de Lucera, nomme les pôles et remarque qu'un aimant cassé en donne deux.

1600William Gilbert, De Magnete : la Terre elle-même est un grand aimant.

1820Ørsted voit un courant dévier une boussole ; Ampère, Biot et Savart en tirent les lois en quelques semaines.

1831Faraday découvre l'induction ; Lenz précise le sens du courant induit en 1834.

1865Maxwell unifie électricité, magnétisme et lumière en quatre équations.

1895Pierre Curie trouve la température au-delà de laquelle un aimant perd son aimantation.

1907Pierre Weiss explique le ferromagnétisme par des domaines aimantés.

1946Bloch et Purcell observent la résonance magnétique nucléaire.

1973Lauterbur et Mansfield ajoutent les gradients : naissance de l'IRM (Nobel 2003).

1988Fert et Grünberg découvrent la magnétorésistance géante, qui a multiplié la capacité des disques durs (Nobel 2007).

En trois idées

Le champ naît du mouvement des charges

Courant dans un fil ou électrons alignés dans un aimant : même origine. Il n'existe pas de pôle isolé ; les lignes de champ se referment toujours.

Il plie sans pousser

La force de Lorentz est perpendiculaire à la vitesse : elle courbe les trajectoires sans changer l'énergie. D'où spectromètres, accélérateurs et aurores.

Ce qui varie produit

Un flux qui change fait naître une tension. Alternateurs, transformateurs et IRM exploitent tous cette réciprocité entre électricité et magnétisme.

Pour aller plus loin

Matériaux magnétiques. Dans le fer, le cobalt ou le nickel, les petits moments des électrons s'alignent spontanément par domaines (Weiss). Un aimant permanent est un matériau dont les domaines restent alignés ; au-delà de la température de Curie (770 °C pour le fer), l'agitation thermique les désordonne. Les aimants au néodyme (Nd₂Fe₁₄B), inventés en 1982, équipent moteurs de voitures électriques et éoliennes.

Supraconducteurs. Les bobines des IRM sont supraconductrices, refroidies à l'hélium liquide (4 K) : le courant y circule sans résistance pendant des années. Un supraconducteur expulse aussi le champ (effet Meissner), ce qui permet la lévitation magnétique.

Magnétosphère. Le champ terrestre, entretenu par les mouvements du fer liquide du noyau (effet dynamo), dévie le vent solaire. Il s'inverse irrégulièrement ; la dernière inversion date d'environ 780 000 ans, et les roches volcaniques en gardent la mémoire.

Pages voisines du cahier. L'équation de Poisson en électrostatique, la relativité (le magnétisme est l'électricité vue d'un référentiel en mouvement) et la transformée de Fourier, cœur de la reconstruction IRM.