L’intrication quantique
Deux systèmes peuvent partager un état qui ne se réduit pas à deux états individuels. Leurs mesures révèlent alors des corrélations que certains modèles locaux classiques ne peuvent pas reproduire.
Le fil conducteur : distinguer intrication et simple corrélation, comprendre le débat EPR, tester une inégalité de Bell et voir pourquoi aucun message instantané n’en résulte.
Cours autonome • 35 à 50 minutes • écriture noire sur fond blanc cassé. Les ateliers utilisent deux spins 1/2 idéaux. Les tirages pseudo-aléatoires illustrent les prédictions, sans constituer une expérience physique de Bell.
Qu’est-ce qu’un état intriqué ?
Un état pur de deux systèmes est intriqué lorsqu’il ne peut pas s’écrire comme un produit |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩. L’état de l’ensemble contient alors des informations qui ne sont pas deux descriptions pures séparées.
C’est le singulet de deux spins 1/2. Sur un même axe, les résultats sont toujours opposés. Pris séparément, chacun des deux résultats est pourtant aléatoire, avec probabilité 1/2 pour chaque signe.
État produit
|+z⟩_A|−z⟩_B : chaque résultat selon z est certain. Selon x, les résultats sont indépendants et équiprobables.
État intriqué
|Ψ⁻⟩ : chaque résultat local est aléatoire, mais les résultats sur le même axe sont toujours opposés, que cet axe soit z, x ou y.
Un mélange classique « moitié (+z,−z), moitié (−z,+z) » reproduit l’anticorrélation selon z, mais pas celle du singulet selon tous les axes. Une corrélation sur un seul réglage ne suffit donc pas à établir l’intrication.
Et pour les états mixtes ?
Un état mixte est séparable s’il peut s’écrire ρ_AB = ∑ p_k ρ_A,k ⊗ ρ_B,k. Il peut alors avoir des corrélations classiques. S’il ne possède aucune telle décomposition, il est intriqué.
Mesurer le singulet à deux endroits
Alice et Bob reçoivent chacun un spin de chaque paire. Ils choisissent un axe et obtiennent +1 ou −1, en unités de ℏ/2. Dans le plan des axes choisi ici :
P(A = B) = [1 + E(a,b)]/2
Même axe : toujours des résultats opposés.
Axes perpendiculaires : corrélation nulle.
Axes opposés : mêmes résultats.
Le modèle local utilise une direction cachée λ uniforme, partagée à la préparation : A = signe cos(a−λ), B = −signe cos(b−λ). Il reproduit certains cas simples, mais pas toute la courbe quantique. Ce n’est pas le seul modèle classique possible ; Bell impose une contrainte plus générale.
Vert : −cos γ. Orange pointillé : −1 + 2γ/π pour le modèle local, avec 0 ≤ γ ≤ π. Le point indique l’écart actuel. Les calculs de tirage utilisent une loi conjointe ; leur ordre dans le code ne représente pas un signal physique d’un observateur vers l’autre.
Le problème EPR : la description est-elle complète ?
L’article EPR original porte sur les corrélations de position et de quantité de mouvement. La version à deux spins, proposée ensuite par Bohm, rend la discussion plus accessible ; c’est celle utilisée dans cette page.
- Dans l’état intriqué, mesurer Alice permet de prévoir le résultat de Bob sur le même axe.
- Alice pourrait choisir un autre axe et prévoir la composante correspondante de Bob.
- Si son action ne perturbe pas à distance Bob, peut-on considérer que ces propriétés de Bob existent indépendamment du choix d’Alice ?
- EPR en concluent, avec leur critère de réalité et leur hypothèse de localité, que la fonction d’onde ne constitue pas une description complète.
La réponse quantique conteste la possibilité d’attribuer simultanément toutes ces valeurs comme des propriétés classiques définies à l’avance. Bell transformera le débat en une comparaison quantitative entre classes de modèles et prédictions expérimentales.
EPR n’est pas une preuve de communication instantanée. Il met en tension des hypothèses sur les propriétés physiques, la localité et la complétude de la description.
Les inégalités de Bell : la version CHSH
Alice choisit entre deux axes a₀ et a₁ ; Bob entre b₀ et b₁. Chaque résultat vaut ±1. On combine quatre corrélations :
+ E(a₁,b₀) − E(a₁,b₁)
Modèles locaux de Bell : |S| ≤ 2
D’où vient le nombre 2 ?
Pour des réponses locales prédéterminées A₀, A₁, B₀, B₁ = ±1, l’expression A₀(B₀+B₁) + A₁(B₀−B₁) vaut toujours +2 ou −2. La moyenne d’un mélange de ces stratégies reste entre −2 et +2.
La borne s’étend aux modèles locaux stochastiques. Les hypothèses comprennent la factorisation locale des probabilités conditionnées par les variables partagées et l’indépendance statistique des choix de réglage vis-à-vis de ces variables. L’analyse suppose aussi un protocole expérimental et un traitement des détections adaptés.
Les réglages choisis
a₀ = 0°, a₁ = 90° ; b₀ = 45°, b₁ = −45°.
Pour v = 1, |S| = 2√2 ≈ 2,828 : la borne locale est dépassée. C’est aussi la borne maximale quantique CHSH, dite borne de Tsirelson.
Le bruit est modélisé par ρ = v|Ψ⁻⟩⟨Ψ⁻| + (1−v)I₄/4. La violation avec ces mesures apparaît pour v > 1/√2 ≈ 0,707.
Une absence de violation de ce test ne prouve pas l’absence d’intrication. Pour cette famille d’états, l’intrication existe déjà pour v > 1/3. Intrication et violation d’un test de Bell donné ne sont pas des notions équivalentes.
| Réglages | E théorique | E simulé |
|---|
Aucun échantillon simulé. Lancez un des deux modèles.
Les écarts d’un échantillon fini sont statistiques. Une valeur estimée au-dessus de 2 ne suffit pas à elle seule à établir une violation significative : il faut une analyse statistique et un protocole physique rigoureux. Cette simulation ne fournit aucune preuve expérimentale indépendante de son modèle.
Quelle est la portée des expériences de Bell ?
Les violations observées excluent la classe des modèles satisfaisant conjointement les hypothèses de Bell, pour les systèmes et protocoles testés. Elles ne désignent pas à elles seules une interprétation unique de la mécanique quantique et ne permettent pas de choisir arbitrairement un résultat distant.
Pourquoi aucun message plus vite que la lumière ?
Dans le singulet, Bob voit localement une suite aléatoire à 50 % de + et 50 % de −. Le choix d’axe d’Alice ne change pas cette distribution non conditionnée.
Bob garde l’axe z.
Ce que Bob peut constater seul
Le choix « z » ou « x » d’Alice ne modifie pas la distribution des résultats de Bob. Elle ne contrôle pas non plus le signe de son propre résultat.
Ce qui apparaît après comparaison
Si Alice lui transmet ses réglages et ses résultats par un canal classique, Bob peut trier les événements. Parmi ceux où Alice a obtenu + selon z, son résultat selon z est toujours − ; si Alice a mesuré x, il reste équiprobable.
Le tri exige le message classique d’Alice. Sans celui-ci, Bob ne sait pas quels événements sélectionner. La distribution conditionnelle peut changer, tandis que la distribution locale totale reste la même.
Plus généralement, une opération locale d’Alice qui conserve la trace ne change pas l’état réduit non conditionné de Bob. Une sélection d’événements peut changer un sous-ensemble conditionnel, mais Bob a besoin d’une information classique pour identifier ce sous-ensemble.
La téléportation quantique utilise l’intrication et une communication classique : elle ne transmet pas un état utilisable instantanément à distance.
Quiz corrigé
Les idées à retenir
- Un état intriqué est une propriété de l’ensemble, non réductible à deux états purs séparés.
- Les corrélations dépendent des axes, alors que les résultats locaux du singulet restent aléatoires.
- Bell fournit des contraintes testables sur une classe de modèles locaux.
- Les corrélations quantiques ne constituent pas un canal de communication instantané.