Deux particules séparées, chacune totalement au hasard, et pourtant parfaitement corrélées, quel que soit l'axe choisi après leur départ. Einstein y voyait la preuve qu'il manquait quelque chose. Bell a montré comment trancher, et l'expérience a tranché. Mais on ne peut pas s'en servir pour envoyer un message.
Une source émet des paires dans des directions opposées. À chaque bout, les résultats ressemblent à une suite de pile ou face. C'est en comparant les deux listes qu'apparaît l'accord.
Un état intriqué est un état d'un système composé qu'on ne peut pas écrire comme un état de la première partie multiplié par un état de la seconde. On connaît alors l'ensemble mieux que chacune de ses parties. Pour un qubit, c'est-à-dire un système à deux états comme un spin ½ ou une polarisation de photon, on note ces états |0⟩ et |1⟩. Une paire en a quatre : |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩. Dans toute la page, on appelle Alice et Bob les deux personnes qui mesurent.
Planche 1
Les états intriqués
L'état d'une paire de qubits est donné par quatre amplitudes a, b, c, d. Il est factorisable s'il s'écrit (α|0⟩ + β|1⟩)⊗(γ|0⟩ + δ|1⟩). Sinon, il est intriqué. Un test simple suffit à le reconnaître : ad = bc équivaut à factorisable.
|ψ⟩ = a|00⟩ + b|01⟩ + c|10⟩ + d|11⟩ · concurrence C = 2|ad − bc|, entre 0 et 1
À gauche, les quatre amplitudes, écrites dans une grille (lignes : qubit A ; colonnes : qubit B). Au centre et à droite, le vecteur de Bloch de chaque qubit pris seul, c'est-à-dire ce qu'on saurait de lui sans regarder l'autre. Plus il est court, plus le qubit est incertain à lui seul.
État normaliséles curseurs sont renormalisés à 1
Concurrence C = 2|ad − bc|
Coefficients de Schmidt
Entropie d'intrication0 : produit ; 1 bit : maximale
Tout savoir sur le tout, rien sur les parties. Pour les quatre états de Bell, on connaît exactement l'état de la paire, et pourtant le vecteur de Bloch de chaque qubit est nul : pris seul, il donne 50 % dans toute direction. C'est le contraire d'un mélange classique, où connaître les parties donne le tout. Essayez aussi le bouton « Produit caché » : il a l'air compliqué, avec quatre amplitudes non nulles, mais ad = bc, et il n'est pas intriqué. Compter les termes ne suffit donc pas.
Un calculateur quantique le fait en deux portes. Une rotation met le premier qubit en superposition, puis une porte contrôlée (CNOT) retourne le second si le premier vaut 1. En laboratoire, on utilise aussi des photons issus d'un cristal non linéaire, des atomes ou des ions couplés.
Probabilité de chacun des quatre états à chaque étape du circuit, calculée par produit de matrices. Le point rouge indique l'étape courante.
Étape
Amplitudes|00⟩ ; |01⟩ ; |10⟩ ; |11⟩
Concurrence
Normeles portes sont unitaires
Il faut une interaction. Une porte qui agit sur un seul qubit ne peut pas créer d'intrication : la concurrence reste nulle après la rotation. C'est la porte à deux qubits qui la crée. Autrement dit, les deux particules doivent avoir interagi, directement ou à travers un intermédiaire. Ensuite, on peut les éloigner autant qu'on veut, tant que l'environnement ne perturbe pas la paire.
Planche 2
Les corrélations entre mesures
Prenons l'état singulet, (|01⟩ − |10⟩)/√2. Alice et Bob mesurent chacun selon l'axe qu'ils choisissent, avec comme résultats +1 ou −1. La corrélation E est la moyenne du produit des deux résultats : +1 s'ils sont toujours d'accord, −1 s'ils sont toujours opposés.
P(même résultat) = sin²(θ/2), P(opposés) = cos²(θ/2), E(θ) = −cos θ, θ = angle entre les axes
Résultats reçus au fil de l'eau. Haut : Alice. Bas : Bob. Bleu : +1 ; rouge : −1. Regardée seule, chaque ligne est du pur hasard.
Corrélation E selon l'angle. Courbe verte : −cos θ. Point rouge : la mesure pour l'angle choisi.
Alice : part de +1
Bob : part de +1ne dépend pas de l'axe d'Alice
Corrélation mesurée
Part des résultats identiques
Chacun voit du hasard. L'accord n'existe que dans la comparaison. Mettez le même axe : toujours opposés, et cela quel que soit cet axe, choisi même une fois les particules parties. Alice voit toujours ½ ; Bob aussi. Ces deux listes prises séparément ne contiennent aucune information : il faut les rapprocher, donc les transporter d'un lieu à l'autre, pour voir la corrélation.
Ne serait-ce pas un simple mélange ? Imaginez une source classique qui envoie au hasard ↑↓ ou ↓↑. Les résultats selon z sont bien opposés. La différence apparaît dès qu'on change d'axe.
Tableau des corrélations ⟨σi⊗σj⟩, pour i, j = x, y, z. Bleu : positif ; rouge : négatif.
E(θ), avec Alice le long de z et Bob incliné, pour l'état choisi (trait épais), et les deux autres. Le singulet est en bleu.
Pureté Tr(ρ²)
Somme des corrélations sur x, y, z
Concurrence de Woottersnulle pour les mélanges de produits
Alice seule, selon zla même chose dans les trois cas
Un seul axe ne prouve rien. Une corrélation parfaite selon z peut venir d'un simple tirage au départ, comme deux gants dans deux boîtes. Le singulet, lui, donne −1 sur x, y et z simultanément. Un mélange de produits ne peut pas dépasser 1 en valeur absolue pour la somme des trois, et le singulet atteint 3. Ce test sert en laboratoire à certifier une intrication, même sans inégalité de Bell.
Planche 3
Le problème d'Einstein-Podolsky-Rosen
En 1935, Einstein, Podolsky et Rosen ne contestent pas les prédictions de la mécanique quantique. Ils demandent si elle est complète. Leur argument tient en quelques étapes, et repose sur deux hypothèses qui semblent aller de soi : la localité et un critère de réalité.
Version à spins, due à Bohm (1951), plus simple que l'article de 1935.
Étape
[σz⊗σz, σx⊗σx]ces deux corrélations commutent
[σz, σx] sur une particuleces deux grandeurs ne commutent pas
σz⊗σz ; σx⊗σx sur le singuletdeux valeurs certaines
Ce que dit Einstein, et ce que répond Bohr. Pour EPR, les valeurs doivent donc préexister, et la mécanique quantique est une description incomplète. Bohr répond la même année : les conditions de la mesure font partie de la définition du phénomène, et on ne peut pas parler à la fois de deux dispositifs incompatibles. Pendant trente ans, le débat paraît philosophique : les deux camps font les mêmes prédictions. Il faudra Bell pour montrer qu'il se tranche par l'expérience.
L'article de 1935 prend deux particules dont x₁ − x₂ et p₁ + p₂ sont connus ensemble avec une précision aussi grande qu'on veut. C'est permis, car ces deux grandeurs commutent. Mais pour chaque particule, x et p ne le sont pas.
|Ψ(x₁, x₂)|² : la position de l'une fixe celle de l'autre.
|Ψ̃(p₁, p₂)|² : la quantité de mouvement de l'une fixe celle de l'autre, avec le signe opposé.
Produit des deux, en ħaucune limite : elles commutent
Particule 1 : Δx · Δp, en ħ
Des paires fixées à distance, sur des grandeurs incompatibles. En mesurant x₁, Alice prédit x₂ ; en mesurant p₁, elle prédit p₂. Elle ne peut faire que l'un des deux, mais son choix ne doit pas modifier la particule éloignée. Pour EPR, x₂ et p₂ existent donc tous les deux, ce que la mécanique quantique ne permet pas d'écrire. Les faisceaux de lumière dite « comprimée » réalisent aujourd'hui ce type d'état.
Planche 4
Les inégalités de Bell et leur portée
En 1964, John Bell prend EPR au sérieux. Supposons que chaque paire emporte des valeurs préétablies, et que le résultat d'un côté ne dépende pas du réglage de l'autre. Alors les corrélations obéissent à une inégalité. La mécanique quantique la viole. Ce n'est plus de la philosophie : on peut mesurer.
S = E(a, b) − E(a, b′) + E(a′, b) + E(a′, b′) · local : |S| ≤ 2 · quantique : |S| ≤ 2√2
Deux boîtes séparées, avec un bouton à trois positions (1, 2, 3) et deux lampes (V, R). À chaque paire reçue, chacun choisit une position au hasard. On observe deux faits : avec la même position, les lampes sont toujours identiques ; toutes positions confondues, elles sont identiques une fois sur deux. Peut-on l'expliquer par une « notice » commune, qui fixe la réponse pour chaque position ?
Part de lampes identiques au fil des essais, en tirant les positions au hasard. Bleu : les paires intriquées. Orange : la notice choisie. La ligne en pointillé est le plancher 5/9 de toutes les notices non uniformes.
Notice : identiques, mesuré
Quantique : identiques, mesuréattendu : ½ avec des axes à 120°
Quantique, même positionattendu : 100 %, sans notice
Minimum sur les 8 noticesénumérées par la page
Aucune notice ne peut suffire. Le fait n° 1 impose une notice commune, car les boîtes ne communiquent pas. Mais toute notice donne au moins 5/9 de lampes identiques quand les positions sont tirées au hasard : sur les trois lettres, au moins deux sont égales, et le décompte des neuf couples de positions donne ce plancher. Or on observe ½. C'est la version de David Mermin (1981) du théorème de Bell : le raisonnement n'utilise que des comptages.
Les quatre axes de mesure dans le plan. Les arcs bleus relient les couples mesurés : (a, b), (a, b′), (a′, b), (a′, b′).
S selon l'écart entre axes voisins (trait vert), et votre configuration (point). Zone orange : au-delà de la limite locale.
|S| calculé
|S| tiré au sort
Maximum local16 stratégies déterministes énumérées
Maximum quantique cherché au hasard200 000 tirages d'angles ; 2√2 = 2,82843
Pourquoi 2 ? Avec des résultats préétablis ±1, S = A(B − B′) + A′(B + B′), et l'un des deux termes entre parenthèses vaut 0 tandis que l'autre vaut ±2. La limite vient donc d'une ligne d'algèbre. Le bruit fait baisser S : en dessous de V = 1/√2 ≈ 70,7 %, cet état n'atteint plus la violation. Une expérience doit donc garder ses paires très propres. Ce calcul ne peut pas dépasser 2√2, la limite de Tsirelson : aucun principe de relativité n'impose cette valeur, mais c'est le maximum quantique.
Pour que le test soit probant, il faut fermer des échappatoires : un modèle local pourrait profiter d'un défaut du dispositif. Trois conditions comptent.
Échappatoire
Le danger
La parade
Localité
Un signal, à la vitesse de la lumière au plus, informe un côté du réglage de l'autre
Choisir les réglages et finir les mesures hors du cône de lumière de l'autre côté
Détection
On ne compte que les particules détectées, et le détecteur « choisit » lesquelles
Une très haute efficacité de détection, ou des qubits lus à coup sûr
Liberté de choix
Les réglages et les paires auraient une cause commune dans le passé
Des générateurs aléatoires rapides. On ne l'élimine pas complètement
Diagramme d'espace-temps (espace horizontal, temps vertical). Les cônes de lumière partent de chaque choix de réglage. Si la mesure de l'autre côté se termine avant d'y entrer, aucun signal n'a pu l'informer.
Temps de vol de la lumièreL/c
Marge
Année
Équipe
Résultat
1972
Freedman et Clauser
Première violation avec des photons
1981-82
Aspect, Grangier, Dalibard, Roger
violation nette, S ≈ 2,70 ; réglages changés pendant le vol, en 1982
1998
Weihs, Zeilinger et al.
Réglages aléatoires rapides, 400 m
2015
Hensen et al. (Delft)
S = 2,42 ± 0,20 sur 245 essais (p = 0,039), spins à 1,3 km : la première à fermer ensemble localité et détection
2015
Giustina et al. (Vienne), Shalm et al. (NIST)
Le même résultat avec des photons, sur des centaines de millions d'essais et plus : p = 2,3·10⁻⁷ (NIST) ; 11,5 écarts-types (Vienne)
2022
Aspect, Clauser, Zeilinger
Prix Nobel de physique
La portée exacte du résultat. L'expérience exclut toutes les théories qui combinent valeurs préétablies, localité et liberté de choix. Elle ne dit pas laquelle abandonner, et plusieurs interprétations sont défendues : théories non locales comme celle de Bohm, mondes multiples, interprétations où la réalité dépend de la mesure, ou superdéterminisme, très minoritaire. Elle ne prouve pas non plus qu'un signal circule : aucun modèle n'a besoin d'une influence observable, comme le montre la planche suivante.
Planche 5 · signature
Pourquoi on ne peut pas envoyer de message plus vite que la lumière
Si Alice « fixe » l'état de Bob en mesurant, pourquoi ne pas s'en servir ? C'est simple : Bob ne voit que ses propres statistiques, et elles ne dépendent de rien de ce que fait Alice. L'énoncé est un théorème, et on peut le vérifier ici, sur un vrai message.
Convention : pour envoyer 0, Alice mesure selon z ; pour envoyer 1, elle mesure selon x. Bob mesure toujours selon z, et prend la majorité de ses résultats comme bit reçu.
Bits envoyés et reçus. En rouge, les erreurs. La colonne de droite montre ce que Bob voit réellement : une fréquence qui reste à 50 %, quel que soit le bit.
Reçu par Bob
Taux d'erreur50 % : réponse au hasard
Information reçue par bit
Fréquence de +1 chez Bob
L'information n'est pas passée, mais la corrélation existe. Alice peut bien connaître, après sa mesure, ce que Bob trouvera selon le même axe. Mais elle ne choisit pas son résultat, qui reste aléatoire, et Bob n'a aucun moyen de savoir quel axe elle a utilisé. Pour en tirer parti, ils doivent comparer leurs résultats, par un canal ordinaire, donc au plus à la vitesse de la lumière.
Tout ce que Bob peut observer se déduit de la matrice densité réduite ρB, obtenue en sommant sur tout ce qui concerne Alice. Or une opération locale d'Alice, unitaire ou mesure, ne change pas cette somme : les opérateurs d'Alice et de Bob commutent, et la somme des probabilités d'Alice vaut 1.
ρB = TrA ρ · TrA [(U⊗𝟙) ρ (U⊗𝟙)†] = TrA ρ · Σk TrA [(Pk⊗𝟙) ρ (Pk⊗𝟙)] = TrA ρ
À gauche, l'état de Bob sur sa sphère vu en coupe, avant et après l'action d'Alice : le point ne bouge pas. Au centre, les matrices ρB. À droite, ce que devient l'état de Bob selon le résultat d'Alice : il se déplace, mais la moyenne reste fixe.
ρB avantdiagonale, puis hors diagonale
ρB après
Écart ‖après − avant‖calcul sur les matrices 4×4
Résultats d'Alice, avec leur poids
Tout repose sur une somme. Si Alice obtient +, l'état de Bob est tel état. Si elle obtient −, tel autre. Mais Bob ne sait pas lequel : son état est la moyenne des deux, avec les probabilités de ces résultats. Et cette moyenne ne dépend pas de l'axe d'Alice. Ce serait différent si l'on pouvait copier un qubit : Bob ferait plusieurs copies, et les distinguerait. C'est l'idée de « FLASH », proposée par Herbert en 1982, qui a poussé à démontrer le théorème de non-clonage. Une copie parfaite de tout état est impossible, car l'évolution quantique est linéaire.
Peut-on au moins transporter un état ? Oui, c'est la téléportation quantique (Bennett et al., 1993). Alice mesure ensemble son qubit à envoyer et sa moitié de paire intriquée. Elle obtient 2 bits, et les envoie par un canal ordinaire. Tant qu'il n'a pas ces 2 bits, Bob n'a qu'un état totalement mélangé.
Les quatre résultats possibles d'Alice, vus en coupe x–z. Point vert : l'état à envoyer. Point orange : l'état de Bob avant correction. Flèche bleue : après correction. En bas, le diagramme d'espace-temps : les bits ne peuvent pas aller plus vite que la lumière.
Résultat d'Alice
Fidélité de Bob sans le messagemoyenne : ½, comme au hasard
Fidélité après correctionsimulation à 3 qubits, 8 amplitudes
Bob sans les 2 bits : ρB
Ni matière, ni clonage, ni raccourci. L'état original est détruit chez Alice : il n'y a jamais deux copies. Rien n'atteint Bob avant les deux bits classiques. Les mêmes corrélations ont d'autres usages, tous soumis à cette règle : le partage de clés secrètes (protocole d'Ekert, 1991), où toute écoute dégrade la violation de Bell, et les réseaux quantiques.
Pour deux mesures séparées par un intervalle de genre espace, l'ordre temporel dépend de l'observateur. Il n'existe donc pas de sens objectif à « Alice a mesuré en premier et a agi sur Bob ». La corrélation, elle, ne dépend pas de cet ordre.
Les deux mesures A et B dans le diagramme d'espace-temps. Les lignes en vert sont celles de simultanéité d'un observateur se déplaçant à la vitesse β c. Le cône de lumière issu de A est en orange. Si B est en dehors, aucun signal n'a pu aller de l'un à l'autre.
Écart de temps tB − tA vu par l'observateur
Qui mesure en premier ?
Intervalle s² = (cΔt)² − L²
P(même résultat), axes séparés de 60°calculée dans les deux ordres : identique
La causalité est sauve. Si un signal pouvait aller plus vite que la lumière, il existerait un observateur pour qui la réponse arrive avant la question. C'est ce que le théorème évite. La mécanique quantique et la relativité coexistent donc sans se contredire : les corrélations sont non locales, au sens de Bell, mais aucune information n'y voyage. Les notions d'« effondrement instantané » sont une façon de faire le calcul, et non un événement que l'on peut observer d'un seul côté.
La frise
1935 · Einstein, Podolsky et Rosen : la mécanique quantique est-elle complète ? Schrödinger forge le mot d'intrication (Verschränkung).
1951 · Bohm donne la version à deux spins.
1964 · Bell : une inégalité, et une prédiction qui la viole.
1969 · Clauser, Horne, Shimony et Holt : la forme testable (CHSH).
1972 · Freedman et Clauser : première violation.
1980 · Tsirelson : le maximum quantique 2√2.
1982 · Aspect et ses collègues : réglages changés en vol. Herbert propose FLASH ; Wootters, Zurek et Dieks répondent par le non-clonage.
1991-93 · Ekert : clés secrètes par l'intrication. Bennett et ses collègues : téléportation.
1997 · Première téléportation expérimentale, à Innsbruck et à Rome.
2015 · Trois expériences ferment ensemble localité et détection.
2022 · Prix Nobel à Aspect, Clauser et Zeilinger.
À retenir
L'intrication
Un état de la paire qu'on ne peut pas factoriser. Chaque partie, seule, peut être totalement incertaine, et l'ensemble parfaitement défini.
Bell
Valeurs préétablies et localité imposent |S| ≤ 2. L'expérience trouve davantage, comme le prévoit la mécanique quantique. Il faut renoncer à au moins une hypothèse.
Pas de signal
Les statistiques de Bob ne dépendent pas de ce que fait Alice. Il faut un canal ordinaire pour voir la corrélation. La relativité n'est pas violée.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Les paires sont des qubits idéaux, avec un seul paramètre de bruit. Les tirages au sort simulent les statistiques quantiques, sans simuler les photons, les spins ni les détecteurs. Le calcul de la concurrence et de la matrice densité est exact, mais la machine de Mermin et les notices ne sont qu'une présentation pédagogique du théorème de Bell. Les marges de l'onglet « Ce qui a été mesuré » ne reprennent pas les chronologies détaillées des expériences.
Plus de deux particules. Les états GHZ (Greenberger, Horne, Zeilinger, 1989) donnent une contradiction en un seul coup, et sans statistique. L'intrication est aussi « monogame » : un qubit maximalement intriqué avec un autre ne peut l'être avec un troisième.
La décohérence. Une particule interagit avec son environnement, et s'intrique avec lui. Vue seule, elle a alors l'air d'un mélange classique : c'est pourquoi on ne voit pas de chats en superposition, et pourquoi les ordinateurs quantiques sont difficiles à construire.
Les pages voisines. « Les systèmes de plusieurs particules » introduit le produit tensoriel, « Le spin en mécanique quantique » traite la mesure selon un axe, et la page sur la relativité de la simultanéité explique l'ordre dépendant de l'observateur.
Données utilisées. Delft : Hensen et al., arXiv:1508.05949. Autres expériences de 2015 : arXiv:1805.09289. S ≈ 2,70 pour Aspect, valeurs de Tsirelson et noms des expériences de 1997 : valeurs usuelles, à vérifier avant citation. Les 3,7 µs du diagramme sont un ordre de grandeur choisi pour la page.