Physique · mécanique quantique

Le principe d'incertitude de Heisenberg

Pourquoi on ne peut pas connaître en même temps, avec une précision illimitée, l'endroit où se trouve une particule et la vitesse à laquelle elle va — et comment cette limite explique la taille des atomes, le mouvement qui persiste au zéro absolu, la largeur des raies spectrales et la couleur des boîtes quantiques.

L'idée en une phrase

Une particule quantique n'est pas une petite bille : elle se comporte comme une onde. Or une onde bien ramassée dans l'espace est forcément un mélange de nombreuses longueurs d'onde, donc de nombreuses vitesses ; et une onde de longueur d'onde unique s'étale forcément partout. On ne peut pas avoir les deux à la fois.

σ_x · σ_p ≥ ħ / 2

σ_x est l'écart-type de la position, c'est-à-dire la largeur typique de la zone où l'on peut trouver la particule ; σ_p est l'écart-type de son impulsion p = m·v (masse × vitesse) ; ħ = h/2π = 1,054 571 817·10⁻³⁴ J·s est la constante de Planck réduite. Ce nombre minuscule explique tout : pour une balle de tennis, l'effet est indétectable ; pour un électron enfermé dans 0,1 nm, la vitesse est forcément floue d'au moins 579 km/s.

Un même état vu de deux côtés. Quand la cloche des positions (à gauche) se resserre, celle des impulsions (à droite) s'élargit d'autant : pour cette forme en cloche de Gauss, le produit des deux largeurs reste exactement égal à ħ/2 (unités où ħ = 1).

Ce que dit le principe

Il existe une limite inférieure au produit des deux flous. On peut rendre la position aussi précise qu'on veut, mais alors l'impulsion devient très floue, et réciproquement. Le même compromis relie la durée d'un phénomène et la précision de sa fréquence, donc de son énergie.

Ce qu'il ne dit pas

Ce n'est pas d'abord une maladresse de l'expérimentateur ni un défaut des instruments : même un état préparé parfaitement possède ces deux largeurs. C'est pourquoi on parle aussi de relation d'indétermination. La planche 3 montre l'image historique de la « mesure qui perturbe », la planche 2 la propriété plus profonde.

Planche 1

Une note trop brève n'a plus de hauteur

Commençons sans physique quantique, avec du son. Une note de musique est une vibration de fréquence f (le nombre d'oscillations par seconde, en hertz). Si on la joue pendant un temps très court, quelle est sa fréquence ? Le spectre (la décomposition du son en fréquences pures, calculée ici par transformée de Fourier) répond : plus la note est brève, plus son spectre est large.

En haut, le signal sonore : une sinusoïde multipliée par une enveloppe (pointillés) de durée σ_t. En bas, son spectre, calculé numériquement par l'intégrale de Fourier. Les accolades rouges marquent ±σ_t et ±σ_f (écarts-types de l'énergie sonore en temps et en fréquence).

Durée σ_t Fréquence f Enveloppe

Durée σ_t (mesurée sur le signal)

—

Largeur du spectre σ_f

—

Oscillations dans la note (≈ 4σ_t·f)

—

Produit σ_t·σ_f mesuré

—

Valeur exacte pour cette enveloppe

—

Borne absolue 1/(4π)

—

Écart mesure − valeur exacte

—

Le bouton « Écouter » joue la note avec l'enveloppe et la durée choisies : sous 2 ms environ, on n'entend plus qu'un clic sans hauteur.

À retenir. Un musicien le sait sans formule : un coup de baguette très bref sonne comme un « toc » sans hauteur, et pour reconnaître un la à 1 Hz près il faut l'entendre au moins un dixième de seconde. Le produit durée × largeur du spectre ne descend jamais sous 1/(4π) ≈ 0,0796. Seule la cloche de Gauss atteint la borne ; la cloche de Hann donne 0,0817 et le triangle 0,0872. C'est exactement la mathématique de Heisenberg : il suffira de remplacer le temps par la position et la fréquence par l'impulsion.

Planche 2

Le paquet d'ondes : la position contre l'impulsion

En mécanique quantique, l'état d'une particule est décrit par une fonction d'onde ψ(x) ; la probabilité de la trouver près de x vaut |ψ(x)|². Louis de Broglie a montré qu'une onde de nombre d'onde k (k = 2π/λ) porte l'impulsion p = ħk. Les impulsions présentes dans la particule se lisent donc sur le spectre de ψ, noté φ(p). Choisissez une forme et serrez-la : le spectre réagit.

En haut, |ψ(x)|² (bleu plein) et la partie réelle de l'onde (trait fin, qui oscille à la cadence k₀). En bas, |φ(p)|², calculé par transformée de Fourier numérique. Unités où ħ = 1 : la position en unités de longueur ℓ, l'impulsion en ħ/ℓ.

Forme Largeur a Impulsion moyenne k₀ Écart des bosses d

σ_x (largeur en position)

—

σ_p lu sur le spectre

—

σ_p par la pente de ψ (Parseval)

—

Impulsion moyenne ⟨p⟩ mesurée

—

Produit σ_x·σ_p mesuré (en ħ)

—

Valeur exacte (formule)

—

Borne de Kennard

0,5000 ħ

Écart mesure − exact

—

À retenir. Aucune forme ne passe sous 0,5 ħ : c'est le théorème démontré par Earle Kennard en 1927, quelques mois après l'article de Heisenberg. La cloche de Gauss est la seule à toucher la borne ; la sécante hyperbolique donne π/6 ≈ 0,5236 et l'onde à un nœud 1,5. Avec deux bosses, la particule est « à deux endroits à la fois » : σ_x grandit, des franges strient le spectre, et le produit grimpe. Enfin, augmenter k₀ met la particule en mouvement : le spectre se déplace, sans s'élargir.

Planche 3

Le microscope de Heisenberg : regarder, c'est bousculer

L'expérience de pensée de 1927. Pour voir un électron, on l'éclaire avec un photon de longueur d'onde λ et on recueille le photon diffusé dans un objectif de demi-angle d'ouverture α. L'optique limite la netteté de l'image : Δx ≈ λ/(2 sin α). Mais le photon, d'impulsion h/λ, est entré quelque part dans l'objectif, sans qu'on sache où : il a donné à l'électron un recul horizontal inconnu, d'étendue Δp ≈ 2 (h/λ) sin α.

Chaque photon arrive par la gauche, rebondit sur l'électron (point bleu), traverse l'objectif puis forme un point sur le plan image. La flèche rouge est le recul de l'électron. Les taches du plan image se dispersent selon la figure de diffraction de l'objectif.

Histogrammes des photons recueillis : à gauche, la position de l'électron déduite de l'image ; à droite, le recul horizontal qu'il a reçu (écart à la moyenne). En vert, les lois exactes attendues (figure de diffraction en sinus cardinal au carré, recul uniforme).

Longueur d'onde λ Ouverture α

Flou de position Δx = λ/(2 sin α)

—

Flou du recul Δp = 2h sin α/λ

—

Produit Δx·Δp / h

—

Photons recueillis

Étendue mesurée des reculs / prévue

—

Écart-type mesuré des reculs / prévu

—

Images dans la tache centrale

—

Objet éclairé par ce photon	Masse	Flou de vitesse Δv = Δp/m

À retenir. Les deux histogrammes tirent en sens contraire : ouvrir l'objectif ou prendre une lumière plus bleue affine la position mais rend le recul plus incertain. Le produit Δx·Δp reste égal à h, quels que soient λ et α. Le tableau montre pourquoi personne ne s'en aperçoit au quotidien : la même bousculade fait trembler un électron de plus d'un kilomètre par seconde et une balle de tennis de quelques 10⁻²⁶ m/s. Cette image de la mesure qui perturbe est parlante, mais elle n'est qu'une partie de l'histoire : la planche 2 a montré que la limite existe avant toute mesure.

Planche 4

La fente : mieux savoir où, c'est moins savoir où va

Des électrons traversent une fente de largeur a. Au passage, on sait leur position transverse à a près : Δy = a. L'onde de de Broglie, de longueur λ = h/(m v), est alors diffractée : elle sort en éventail, avec un premier minimum à l'angle θ₁ tel que sin θ₁ = λ/a. L'impulsion transverse p_y = p sin θ devient incertaine d'environ p·λ/a = h/a.

Le canon à électrons à gauche, la fente au centre, un écran en demi-cercle centré sur la fente (la position d'impact y donne directement l'angle). Les barres radiales comptent les impacts par direction ; les droites vertes marquent ±θ₁.

Les mêmes impacts rangés par impulsion transverse p_y. En vert, la probabilité exacte de chaque case ; en rouge, le premier minimum p_y = ±h/a ; en gris, la limite |p_y| ≤ p qu'aucun électron ne peut dépasser.

Largeur de fente a Vitesse v

Longueur d'onde λ = h/(m v)

—

sin θ₁ = λ/a (formule)

—

sin θ₁ trouvé (zéro de l'intégrale, dichotomie)

—

Ouverture du lobe central 2θ₁

—

Δp_y = p sin θ₁

—

Produit a·Δp_y / h

—

Impacts dans le lobe central

—

À retenir. Rétrécir la fente, c'est mieux connaître l'endroit où l'électron est passé — et aussitôt la tache s'élargit. Changer la vitesse modifie l'angle mais jamais le produit : a·Δp_y = h dans tous les cas, puisque l'impulsion et la longueur d'onde varient en sens inverse. Quand la fente devient plus étroite que la longueur d'onde, il n'y a plus de premier minimum : l'électron peut sortir dans toutes les directions.

Planche 5

Une limite qui façonne le monde

Le principe d'incertitude n'est pas seulement un interdit : il fixe des tailles et des énergies. Quatre exemples, du plus fondamental au plus technologique. Dans chacun, un compromis entre « serrer » et « payer » se résout par un minimum, que la page cherche à l'aveugle puis compare à la formule.

Pourquoi l'électron ne tombe-t-il pas sur le proton qui l'attire ? Le confiner dans un rayon r rend son impulsion floue d'environ ħ/r, ce qui coûte une énergie cinétique ħ²/(2 m r²). L'attraction électrique ne rapporte que −k e²/r. Quand r diminue, le coût grandit plus vite que le gain : l'énergie totale a un minimum, qui fixe la taille de l'atome.

À gauche, le nuage électronique de rayon r autour du proton. À droite, l'énergie cinétique (orange), l'énergie électrique (violet) et leur somme (bleu) ; le point vert marque le minimum trouvé par la méthode de la section dorée.

Rayon r Particule

Énergie cinétique ħ²/(2mr²)

—

Énergie électrique −ke²/r

—

Énergie totale

—

Rayon du minimum (section dorée) / formule ħ²/(mke²)

—

Énergie du minimum / valeur exacte

—

Écart au calcul exact sur l'onde e^−r/a

—

À retenir. Le minimum tombe sur le rayon de Bohr, 52,9 pm, et sur −13,6 eV, l'énergie d'ionisation mesurée de l'hydrogène. Ce n'est pas tout à fait un hasard : pour l'onde e^−r/a, le vrai calcul quantique, mené ici numériquement, donne exactement la même courbe. Avec un muon, 207 fois plus lourd, l'atome rétrécit 207 fois (256 fm) et se lie 207 fois plus fort (−2,81 keV). Sans le principe d'incertitude, la matière s'effondrerait.

Une particule dans une cuvette de potentiel (un ressort, une liaison chimique) devrait, au zéro absolu, s'immobiliser au fond. Impossible : immobile au fond, elle aurait une position et une impulsion parfaitement connues. Si son nuage a une largeur σ, son impulsion est floue d'au moins ħ/(2σ). L'énergie vaut alors au minimum ħ²/(8mσ²) + ½ m ω² σ², et ne peut pas descendre à zéro.

À gauche, la cuvette parabolique, le nuage de largeur σ posé à son niveau d'énergie et la particule qui ne tient jamais en place. À droite, l'énergie en fonction de σ, en unités de ħω et de ℓ = √(ħ/mω).

Largeur σ

Énergie cinétique minimale

—

Énergie du ressort

—

Énergie totale

—

σ du minimum (section dorée) / 1/√2

—

Énergie minimale / ħω/2

—

Équation de Schrödinger résolue sur grille

—

À retenir. L'énergie ne descend jamais sous ħω/2 : c'est l'énergie de point zéro, retrouvée ici par la section dorée et par la résolution numérique de l'équation de Schrödinger. Elle n'a rien d'une curiosité : la molécule H₂ garde environ 0,27 eV de vibration au zéro absolu, soit 6 % de son énergie de liaison, et l'hélium reste liquide jusqu'au zéro absolu sous pression ordinaire, ses atomes légers s'agitant trop pour se ranger en cristal.

La même relation lie le temps et l'énergie. Un atome excité se désexcite en émettant de la lumière pendant une durée de vie moyenne τ : le train d'onde émis a une durée finie, donc — comme la note brève de la planche 1 — une fréquence floue. La raie spectrale a une largeur naturelle Δν = 1/(2πτ), soit une énergie floue ΔE = ħ/τ.

En haut, le train d'onde émis, d'amplitude décroissante (la fréquence de l'oscillation n'est pas à l'échelle). En bas, la raie correspondante autour de la fréquence centrale, sur une échelle fixe de ±250 MHz ; l'accolade rouge marque sa largeur à mi-hauteur.

Durée de vie τ

—

Largeur Δν = 1/(2πτ)

—

Largeur mesurée sur le spectre calculé

—

Flou d'énergie ΔE = hΔν

—

Produit ΔE·τ / ħ mesuré

—

Boson Z (largeur 2,4952 GeV) : durée de vie

—

À retenir. Une vie courte donne une raie large, une vie longue une raie fine. C'est pourquoi les horloges atomiques les plus précises exploitent des états qui vivent longtemps, comme celui du strontium (21,5 µs, raie de 7,4 kHz). À l'autre extrême, les physiciens des particules mesurent des durées de vie de 10⁻²⁵ s, impossibles à chronométrer, en mesurant la largeur en énergie d'une particule : celle du boson Z donne 2,64·10⁻²⁵ s.

Une boîte quantique est un grain de semi-conducteur (ici du séléniure de cadmium, CdSe) de quelques nanomètres. Un électron et un « trou » y sont enfermés dans un rayon R : leur impulsion devient floue d'environ ħπ/R, ce qui ajoute à l'énergie de la lumière émise un terme en 1/R². Plus le grain est petit, plus la lumière est bleue : la couleur se règle par la taille, sans changer de matériau.

À gauche, cinq boîtes de 2 à 6 nm de rayon, à l'échelle entre elles, colorées par la lumière qu'elles émettent. À droite, la longueur d'onde émise en fonction du rayon (modèle de Brus).

Rayon R

Énergie du matériau massif (CdSe)

1,740 eV

Énergie de confinement (incertitude)

—

Attraction électron-trou

—

Énergie du photon émis

—

Longueur d'onde émise

—

k·R du niveau fondamental (tir numérique) / π

—

À retenir. Entre 2 et 6 nm de rayon, la même matière passe du bleu (486 nm) au rouge (688 nm). Ces boîtes quantiques, récompensées par le prix Nobel de chimie 2023, colorent aujourd'hui les écrans « QLED » et servent de marqueurs lumineux en biologie. Le modèle de Brus utilisé ici est simplifié : il exagère un peu l'effet pour les plus petits grains, mais il garde la loi essentielle, issue directement de l'incertitude.

Une idée née en quelques mois

1924Louis de Broglie propose d'associer une onde à toute particule, de longueur d'onde λ = h/p.
1925Werner Heisenberg, 23 ans, fonde la mécanique des matrices ; avec Born et Jordan, il établit la règle xp − px = iħ : position et impulsion ne commutent pas.
1926Erwin Schrödinger publie son équation d'onde ; Max Born interprète |ψ|² comme une densité de probabilité.
1927En mars, Heisenberg publie son article sur le contenu « intuitif » de la mécanique quantique, avec le microscope à rayons γ. Niels Bohr lui fait corriger l'analyse : c'est l'ouverture finie de l'objectif qui compte.
1927Earle Kennard démontre l'inégalité exacte σ_xσ_p ≥ ħ/2 et montre que seule la gaussienne l'atteint. À Côme, Bohr présente la complémentarité.
1929Howard Robertson généralise la relation à deux grandeurs quelconques qui ne commutent pas ; Schrödinger la renforce en 1930.
1930Au congrès Solvay, Einstein croit mettre en défaut la relation temps-énergie avec une boîte à photons pesée ; Bohr le réfute en invoquant… la relativité générale d'Einstein.
1985Premiers états « comprimés » de la lumière : on réduit le bruit sur une grandeur en le reportant sur l'autre, sans violer la borne.
2003Masanao Ozawa distingue précisément l'erreur de mesure et la perturbation, et montre que leur produit peut descendre sous ħ/2 ; des expériences sur des neutrons le confirment en 2012.
2019Les détecteurs d'ondes gravitationnelles LIGO et Virgo injectent de la lumière comprimée pour repousser leur bruit quantique : le principe d'incertitude est devenu un réglage d'instrument.

En trois idées

Une propriété des ondes

Toute onde ramassée est faite de nombreuses fréquences : c'est vrai d'une note de musique (planche 1) comme d'un électron (planche 2). Le produit des largeurs ne descend jamais sous une borne, atteinte par la seule gaussienne.

Pas seulement une maladresse

Le microscope et la fente (planches 3 et 4) montrent la mesure qui bouscule. Mais la limite existe avant toute mesure : c'est une propriété de l'état lui-même, d'où le mot d'indétermination.

Une limite créatrice

Elle fixe la taille des atomes, interdit le repos absolu, élargit les raies et règle la couleur des nanocristaux (planche 5). Sans elle, la matière ne serait pas stable.

Pour aller plus loin

La forme générale. Pour deux grandeurs A et B, Robertson a montré que σ_Aσ_B ≥ ½|⟨[A,B]⟩|, où [A,B] = AB − BA. Pour la position et l'impulsion, [x,p] = iħ donne σ_xσ_p ≥ ħ/2. Deux grandeurs qui commutent, comme x et p_y, peuvent au contraire être connues ensemble : la fente de la planche 4 brouille p_y, pas p_x.

Le temps n'est pas une grandeur comme les autres. En mécanique quantique, le temps est un paramètre et non une grandeur mesurée sur la particule. La relation ΔE·Δt ≳ ħ se lit donc autrement : Δt est le temps qu'il faut à l'état pour changer notablement (la durée de vie de la planche 5), et c'est la forme démontrée en 1945 par Mandelstam et Tamm.

Les constantes du facteur. Les versions heuristiques (microscope, fente) donnent un produit égal à h, la version rigoureuse ħ/2 = h/4π : un facteur 4π qui ne vient que de la façon de mesurer une largeur (écart-type, premier zéro, largeur totale). L'ordre de grandeur, lui, est le même.

Les états comprimés. Une gaussienne peut être plus étroite en position que l'état fondamental d'un oscillateur, à condition d'être plus large en impulsion. La lumière ainsi « comprimée » sert aujourd'hui dans les interféromètres géants pour mesurer des déplacements de 10⁻¹⁹ m.