Comment décrire un système quantique, si on ne peut plus donner sa position et sa vitesse ? Par son état, représenté par une fonction d'onde ψ. Cette page explique ce qu'est ψ, comment en tirer des probabilités, pourquoi elle doit être normalisée, et ce que signifie additionner deux états.
Une fonction d'onde dans un puits. La hauteur donne |ψ|², la couleur donne la phase de ψ. Tout ce que l'on peut prédire sur la particule se trouve dans cette seule courbe colorée.
Le mot
L'écriture
Ce qu'il veut dire
État
|ψ⟩
Tout ce que l'on peut savoir du système, pour prédire toute mesure future.
Fonction d'onde
ψ(x)
L'état écrit dans le langage des positions : un nombre complexe en chaque point.
Densité de probabilité
|ψ(x)|²
La probabilité de trouver la particule près de x, par unité de longueur.
Normalisation
∫|ψ|²dx = 1
La particule est forcément quelque part : la somme des probabilités vaut 1.
Superposition
c₁ψ₁ + c₂ψ₂
Si deux états sont possibles, leurs combinaisons le sont aussi, et elles interfèrent.
Planche 1
La notion d'état d'un système
L'état d'un système est l'ensemble des informations qui permettent de prévoir ce qu'on mesurera. En mécanique classique, il tient en deux nombres pour une particule sur une droite : sa position x et sa quantité de mouvement p. C'est un point dans un plan, appelé espace des phases. Une mesure donne alors un résultat certain, sans modifier ce point.
En mécanique quantique, l'état reste une description complète, mais il change de nature. Il donne, pour chaque mesure possible, une loi de probabilité. Des copies parfaitement identiques du même état peuvent donner des résultats différents. Ci-dessous, une bille classique et une particule quantique oscillent dans le même puits (unités où ħ = m = ω = 1).
L'espace des phases. L'état classique est un point rouge. L'état quantique, ici un « état cohérent », occupe une tache bleue (cercle de rayon 1/√2) qu'on ne peut pas réduire à un point.
Le même mouvement, vu sur l'axe des positions : puits en gris, bille en rouge, |ψ|² en bleu. Le bouton mesure 50 copies du système au même instant.
Bille : position exactex₀ cos t
Quantique : position moyenne ⟨x⟩
Quantique : impulsion moyenne ⟨p⟩
Largeurs σₓ et σₚcalculées sur ψ
Produit σₓσₚminimum permis : ħ/2 = 0,5
Dernière série de 50 mesures
Un état, ça se modifie : trois filtres polarisants
Un photon polarisé est le système quantique le plus simple : son état est un angle. Devant un filtre orienté à l'écart Δ, le photon passe ou non, sans demi-mesure, avec la probabilité cos²Δ. S'il passe, son état devient celui du filtre : la mesure a modifié l'état.
Les photons quittent le premier filtre (0°). Le trait porté par chacun indique son état de polarisation : il tourne au passage d'un filtre. Ceux qui sont arrêtés font un éclat gris.
Photons envoyéspréparés à 0°
Part arrivée au bout
Ajouter un filtre laisse passer plus de lumière. Filtres à 0° et 90° : rien ne passe. Glissez entre eux un filtre à 45°, et 25 % des photons arrivent au bout. Le filtre du milieu ne « trie » pas des photons déjà décidés : il prépare un nouvel état. L'état n'est donc pas une étiquette cachée sur le photon. Il dit ce que l'on peut prévoir, et il dépend des mesures déjà faites.
Planche 2
La fonction d'onde ψ
Pour une particule sur une droite, l'état s'écrit par une fonction ψ(x), la fonction d'onde, introduite par Schrödinger en 1926. Elle attribue à chaque point x un nombre complexe : un module |ψ| et une phase, autrement dit une flèche dans le plan complexe. ψ s'appelle aussi l'amplitude de probabilité.
ψ(x) = |ψ(x)| · eiφ(x) = Re ψ(x) + i Im ψ(x)
Dans la figure du haut, on voit ψ pour ce qu'elle est : une courbe en trois dimensions, tournant autour de l'axe des x. Plus la phase tourne vite le long de x, plus la longueur d'onde est courte, et plus la quantité de mouvement est grande : c'est λ = h/p, soit p = ħk.
ψ(x) dans l'espace (x, Re ψ, Im ψ), vue qui pivote lentement. Couleur : la phase, selon la roue de la figure de droite.
Module |ψ| (trait) et phase (couleur sous la courbe). Trait orange : le point observé.
La valeur ψ(x) au point observé, dans le plan complexe. La roue donne le code des couleurs utilisé dans toute la page.
ψ(x) au point observéunité : 1/√longueur
Module et phase
|ψ(x)|²Re² + Im²
Quantité de mouvement moyenne ⟨p⟩
Effet de la phase globale sur |ψ|²écart maximal mesuré
Ce qui se voit et ce qui ne se voit pas. Faites tourner toute la phase d'un même angle : la flèche tourne, mais aucune mesure ne change. Cette phase globale n'a pas de sens physique : ψ et eiαψ sont le même état. En revanche, les différences de phase entre deux points comptent : elles donnent la quantité de mouvement, et elles feront les interférences de la planche 5. ψ elle-même ne se mesure pas directement en un seul coup : elle se déduit de nombreuses mesures sur des copies.
Planche 3
L'interprétation probabiliste : |ψ|² est une densité
En 1926, Max Born donne le sens de ψ : elle n'est pas un nuage de matière étalé, mais une loi de probabilité. Si l'on mesure la position, on trouve la particule en un seul point, au hasard. La probabilité de la trouver entre x et x + dx est :
dP = |ψ(x)|² dx
Le mot « densité » est important. |ψ(x)|² n'est pas une probabilité, mais une probabilité par unité de longueur, comme une densité de population est un nombre d'habitants par km². La probabilité d'un point exact est nulle, seule celle d'un intervalle a un sens. Une densité peut d'ailleurs dépasser 1 sans contradiction, si le paquet est étroit.
En haut, le détecteur et ses impacts. En bas, leur histogramme, en densité, comparé à |ψ|² (bleu). Les impacts sont tirés au hasard selon |ψ|² par la page. Pour le paquet gaussien, changer k n'affecte ni la courbe ni les impacts.
Impacts
Probabilité de la tranche, intégrale∫|ψ|²dx, par Simpson
Approximation |ψ(x)|²Δx
Fréquence observée dans la tranche
Position moyenne des impacts
Densité maximalepar unité de longueur
L'écart maximal entre la répartition cumulée des impacts et la loi exacte (Kolmogorov-Smirnov), moyenné sur 30 séries, selon le nombre d'impacts. Échelles logarithmiques.
La répartition cumulée des impacts (escalier bleu) rejoint la loi exacte F(x) (vert) à mesure que N augmente. Le premier écart se voit après quelques dizaines d'impacts : cliquez sur Effacer pour le voir.
Pente mesurée de l'écartattendue : −1/2, soit une erreur en 1/√N
Écart cumulé actuel
Le hasard porte sur chaque impact, pas sur la loi. Un impact isolé ne dit presque rien. Mais la répartition de milliers d'impacts obéit à |ψ|² avec une précision qui s'améliore en 1/√N. Il y a aussi des endroits où |ψ|² s'annule, comme au centre de la fonction « deux paquets » : on n'y trouve jamais d'impact.
Planche 4
La normalisation et le calcul des probabilités
Une particule existante se trouve forcément quelque part : la probabilité totale doit valoir 1. C'est la condition de normalisation. En pratique, on part d'une forme ψ = A·f(x), et on choisit la constante A pour que l'aire sous |ψ|² vaille exactement 1. Ensuite, chaque probabilité est une aire.
∫−∞+∞ |ψ(x)|² dx = 1 ⟹ |A|² = 1 / ∫|f|²dx · P(a ≤ x ≤ b) = ∫ab |ψ|²dx
|ψ|² = A²|f|² : l'aire colorée est la probabilité de l'intervalle choisi. Tant que A n'est pas la bonne valeur, l'aire totale n'est pas 1, et les aires ne sont pas des probabilités.
L'aire sous |f|² entre −R et +R. Une fonction normalisable atteint un plateau (bleu). La fonction choisie est en trait épais. Une onde plane ou 1/√(1+|x|) montent sans fin : aucune constante ne peut les normaliser.
Aire totale avec le A choisi
A qui normalise
P(a ≤ x ≤ b) après normalisation
Tirage de 100 000 particulespart dans l'intervalle
Position moyenne et largeur⟨x⟩ = ∫x|ψ|²dx et σₓ
Le calcul complet : la particule dans un puits
Dans un puits de largeur L, les états d'énergie définie sont ψₙ = √(2/L) sin(nπx/L). Quelle est la probabilité de trouver la particule dans le premier quart ? Une bille classique y passerait 25 % de son temps. Le calcul donne P = 1/4 − sin(nπ/2)/(2nπ).
|ψₙ|² dans le puits, et le premier quart en orange.
La norme se conserve dans le temps : un paquet libre s'étale et se déplace, et la probabilité de l'intervalle marqué change, mais l'aire totale reste égale à 1.
Quart gauche, intégrale numérique
Écart à la valeur classique 25 %tend vers 0 quand n grandit
Paquet libre : probabilité de l'intervalle
Paquet libre : aire totalecalculée à chaque instant
Normaliser, c'est fixer une échelle, pas changer l'état. ψ et 3ψ décrivent le même état physique. La normalisation sert seulement à lire directement des probabilités. L'onde plane parfaite, elle, n'est pas normalisable : elle ne représente aucune particule réelle, mais une idéalisation. Et la norme ne bouge jamais : l'équation de Schrödinger conserve la probabilité totale.
Planche 5 · Signature
Le principe de superposition des états
Si ψ₁ et ψ₂ sont deux états possibles, toute combinaison c₁ψ₁ + c₂ψ₂ est aussi un état possible. Ce principe vient de ce que l'équation de Schrödinger est linéaire. Superposer ne veut pas dire que la particule est « à moitié ici, à moitié là » : c'est un nouvel état, à part entière, avec ses propres prédictions. La différence vient du double produit, le terme d'interférence.
Un électron dans un puits, dans une superposition des deux premiers niveaux. Chaque niveau seul est immobile, avec un |ψ|² qui ne change jamais. Leur superposition, elle, se balance d'un bord à l'autre, car les deux phases tournent à des vitesses différentes, E₁/ħ et E₂/ħ. Unités où ħ = m = L = 1.
|ψ|² (bleu, couleur de la phase) contre |c₁ψ₁|² + |c₂ψ₂|² (rouge pointillé). L'écart entre les deux est le terme d'interférence.
La position moyenne ⟨x⟩ au cours du temps. Le point rouge marque l'instant présent.
Les résultats des mesures d'énergie. On ne trouve jamais une valeur intermédiaire : seulement E₁ ou E₂.
État actuel
|c₁|² et |c₂|²
Période mesurée de ⟨x⟩
Fréquences mesurées, E₁ / E₂
Énergie moyenne ⟨E⟩ = ∫ψ*Hψ dx
Vérifications
Une moyenne qui n'est jamais mesurée. ⟨E⟩ peut valoir 12,3, mais aucune mesure ne donne jamais 12,3 : seulement 4,93 ou 19,74. Après la mesure, l'état a changé : il ne reste qu'un seul niveau, le balancement s'arrête net, et une nouvelle mesure redonne la même valeur. Un état d'énergie bien définie ne change pas avec le temps : pour qu'il y ait du mouvement, il faut une superposition d'énergies différentes.
Tout état du puits est une superposition de ses niveaux : ψ = Σcₙφₙ, comme un son est une somme d'harmoniques. Prenons un paquet étroit. Chaque niveau tourne à sa vitesse, n²π²/2, si bien que le paquet se défait complètement. Mais les n² sont entiers : après la durée T = 4/π, toutes les phases se réalignent, et le paquet initial réapparaît intact. On appelle cela le retour quantique, et sa trace dans le temps est un « tapis quantique ».
Le tapis quantique : |ψ(x,t)|² (clair = forte probabilité), avec le temps en horizontal, de 0 à T, et la position en vertical. Trait orange : l'instant présent. Rien ici n'est dessiné à la main : chaque pixel est calculé par la somme des niveaux.
Le paquet à l'instant présent (bleu, couleur de la phase) et le paquet initial (gris).
Les coefficients |cₙ|² : quelle part de chaque niveau entre dans la superposition.
Ressemblance au paquet initial|⟨ψ(0)|ψ(t)⟩|²
Ressemblance à son image miroirmaximale à T/2
Part conservée avec N niveauxΣ|cₙ|², 1 si complet
Norme de ψ(x,t)∫|ψ|²dx, par Simpson
T pour un électron dans 1 nmT = 4mL²/(πħ)
Rien n'a été perdu. Le paquet semble s'être dissous en un bruit désordonné, mais toute l'information est restée dans les phases des cₙ. À T/2, il revient en image miroir. À T/4, il se trouve en deux copies, et les fractions plus fines en donnent davantage. Ce sont les motifs réguliers du tapis. Des retours de ce type ont été observés en laboratoire, avec des paquets d'ondes atomiques et moléculaires.
Une erreur fréquente consiste à dire : « en superposition, le photon est en réalité soit H, soit V, mais on l'ignore ». L'expérience tranche. Comparons deux sources : l'une émet tous ses photons dans l'état (|H⟩ + eiφ|V⟩)/√2, l'autre émet au hasard des photons H ou V, moitié-moitié. Mesurées avec un filtre H ou V, elles sont identiques. Tournez le filtre à 45°, et elles ne le sont plus.
Transmission selon l'angle du filtre : superposition (bleu), mélange (rouge pointillé). Les points sont des mesures simulées sur 4 000 photons. À φ = 90°, un filtre linéaire ne voit plus la différence : il faudrait un analyseur de polarisation circulaire, et la cohérence reste bien présente dans la matrice.
Superposition, mesurée à cet angle
Mélange, mesuré à cet anglethéorie : 50 %
Terme d'interférence restant
Le mélange est de l'ignorance, la superposition n'en est pas. Dans le mélange, chaque photon a un état précis, que nous ignorons. Dans la superposition, tous les photons ont le même état, parfaitement connu, et le terme d'interférence le prouve. Brouillez la phase : ce terme s'efface, et la superposition devient un mélange. C'est la décohérence, qui explique pourquoi on ne voit pas de chats en superposition.
La frise : comment s'est construite cette description
1809 · Malus énonce sa loi en cos² pour la lumière polarisée.
1924 · De Broglie associe une onde à toute particule.
1925 · Heisenberg, Born et Jordan : la mécanique des matrices.
1926 · Schrödinger : l'équation d'onde pour ψ. Born y voit des probabilités, dans une note ajoutée à son article, qui précise que c'est le carré qui compte.
1927 · Heisenberg : le principe d'incertitude. Bohr : la complémentarité.
1930 · Dirac : le principe de superposition placé au fondement de la théorie, illustré par des photons polarisés.
1932 · Von Neumann : les états sont des vecteurs d'un espace de Hilbert, et la mesure est formalisée.
1935 · Schrödinger imagine son chat pour montrer l'étrangeté d'une superposition macroscopique.
2011 · Lundeen et ses collègues mesurent directement la fonction d'onde de photons, à partir de nombreuses copies.
2012 · Prix Nobel à Haroche et Wineland pour le contrôle d'états quantiques individuels.
À retenir
L'état
ψ contient tout ce que l'on peut prédire. Elle donne des lois de probabilité, pas des résultats certains, et une mesure la modifie.
La lecture
|ψ|² est une densité. Une probabilité est une aire, ∫|ψ|²dx, et l'aire totale vaut 1. La phase globale ne se voit pas, mais la phase relative, si.
La superposition
On additionne les amplitudes, pas les probabilités. Ce qui fait la différence est le terme d'interférence, que le mélange statistique ne possède pas.
Pour aller plus loin
La notation de Dirac. On écrit |ψ⟩ l'état lui-même, indépendamment de la façon de le décrire. Et ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ est sa composante sur la position. Le même état a une autre fonction d'onde, ψ̃(p), dans le langage des quantités de mouvement : ce sont les deux faces d'une transformation de Fourier.
Ce que la page simplifie. Une seule particule sur une droite, sans spin. Les impacts et les mesures sont simulés à partir des lois calculées. La mesure est idéale et instantanée. Pour plusieurs particules, ψ dépend de toutes les positions à la fois : c'est là que naît l'intrication, que cette page ne traite pas.
La suite. L'équation qui fait évoluer ψ et le principe d'incertitude ont leurs propres pages dans le cahier. Elles complètent aussi « Pourquoi une mécanique quantique ? » et « Ondes et particules ».