Comment une fourmi peut-elle découvrir que sa surface est courbe sans jamais en sortir ? La même question, posée à quatre dimensions, conduit à la gravitation. Voici les outils pour la comprendre : courbure, géodésiques, métrique, coordonnées et tenseurs.
Un marcheur porte une flèche et prend grand soin de ne jamais la faire tourner. Il suit trois lignes droites et revient à son point de départ. Sur un plan, sa flèche n'a pas bougé. Sur une sphère, elle a tourné de 90°, alors qu'il ne l'a jamais tournée.
À gauche, deux quarts de méridiens et un quart d'équateur forment un triangle à trois angles droits. À droite, un triangle plat. La flèche verte est la flèche de départ, la rouge celle du marcheur. L'écart est une mesure de la courbure, faite sans quitter la surface.
Pour une ligne, c'est simple : la courbure κ est l'inverse du rayon R du cercle qui épouse le mieux la ligne en un point. Une ligne droite a une courbure nulle, un virage serré une grande courbure.
Le cercle orange, dit cercle osculateur, accompagne la courbe sur une petite longueur. Il est grand là où la courbe est presque droite.
En un point d'une surface, il y a une courbure la plus forte κ₁ et une courbure la plus faible κ₂, dans deux directions perpendiculaires. Leur produit K = κ₁κ₂ est la courbure de Gauss. Elle est positive pour un dôme, négative pour une selle, nulle pour un cylindre.
Un morceau de surface z = ½(κ₁x² + κ₂y²). Choisissez les deux courbures.
Une feuille que l'on enroule, avec un triangle dessiné dessus. La feuille paraît courbée, mais sa géométrie n'a pas changé.
La feuille enroulée nous apprend l'essentiel. On distingue la courbure extrinsèque, celle qu'on voit de l'extérieur, et la courbure intrinsèque, celle qu'on peut mesurer depuis la surface. Gauss montre vers 1827 que K est intrinsèque : une fourmi peut la mesurer. L'un de ses moyens est la somme des angles d'un triangle.
Triangle dont les côtés sont des arcs de grands cercles, sur une sphère de rayon 1. L'une des pointes est au pôle.
Une géodésique est la ligne la plus droite possible sur une surface. Deux définitions coïncident : c'est le chemin le plus court entre deux points voisins, et c'est le chemin qui ne tourne jamais ni à gauche ni à droite. Sur une sphère, ce sont les grands cercles.
Un élastique est tendu à la surface du globe, à partir de Paris. Il se raccourcit de lui-même jusqu'au grand cercle. Sur la carte plate, à droite, ce chemin paraît courbe.
Comment tracer une géodésique avec seulement les coordonnées ? Sur la sphère, on utilise θ (distance au pôle) et φ (longitude). L'équation dit que l'accélération en coordonnées compense le fait que la grille se déforme :
Le calcul ci-dessous intègre ces seules équations, sans savoir ce qu'est un grand cercle. Il les retrouve pourtant.
Deux géodésiques lancées du même point. Elles s'écartent, puis se rejoignent à l'opposé du globe. À droite, les mêmes en coordonnées (φ, latitude).
Les coordonnées ne sont que des étiquettes. Ce qui donne la vraie distance entre deux points très voisins, c'est la métrique, notée g. C'est un Pythagore généralisé, dont les coefficients changent d'un endroit à l'autre :
Une carte plate-carrée donne la latitude λ et la longitude φ. Sur la Terre, ds² = R²(dλ² + cos²λ dφ²). Le coefficient cos²λ dit qu'un degré de longitude rétrécit vers les pôles. Les ellipses montrent un même cercle de 1 110 km de rayon : la carte le déforme de plus en plus.
Trait bleu : droit sur la carte. Trait vert : le plus court en réalité. Le Pythagore de la carte ne donne ni l'un ni l'autre.
Une fourmi trace un cercle en restant à une distance r de son centre, puis mesure son périmètre C. Sur un plan, C = 2πr. Sur une sphère, C est plus petit. Sur une selle, C est plus grand. L'écart donne la courbure, là encore sans sortir de la surface.
À gauche, le périmètre mesuré contre 2πr. À droite, le rapport C/(2πr) selon r pour les trois géométries.
Minkowski a montré que le temps entre dans la métrique, avec un signe opposé : ds² = −c²dt² + dx² + dy² + dz². Pour une horloge, la durée qu'elle affiche, le temps propre τ, vient de ds² = −c²dτ². Autour d'une masse M, la métrique de Schwarzschild modifie ces coefficients :
Lisons-y directement la durée pour une horloge en orbite circulaire, de vitesse v² = GM/r : dτ/dt = √(1 − 3GM/rc²). Plus haut, le premier coefficient accélère l'horloge ; la vitesse la ralentit.
À gauche, le satellite à l'altitude choisie. À droite, son avance sur une horloge au sol, en microsecondes par jour.
Dans un espace courbe, il n'existe pas de grille carrée partout. Il faut donc des coordonnées quelconques, et une façon d'écrire la physique qui ne dépende pas de ce choix. C'est le rôle des tenseurs : ce sont des objets réels, dont les composantes changent avec les coordonnées selon une règle précise.
Le même vecteur rouge est décrit dans trois systèmes de coordonnées sur un plan. Ses composantes changent, ainsi que la métrique. Mais sa longueur, calculée avec la formule v² = gij vi vj, reste la même. C'est un scalaire, un nombre qui ne dépend pas de la grille.
En bleu et orange, les vecteurs de base de la grille au point choisi. En polaires, eφ grandit quand on s'éloigne du centre : il est dessiné à demi-longueur.
Transporter un vecteur « parallèlement » veut dire ne pas le faire tourner localement. En coordonnées, cela demande les symboles de Christoffel Γ, calculés à partir de la métrique. Sur le plan en polaires, Γ n'est pas nul, parce que la grille se tord ; mais la flèche revient intacte. Sur la sphère, elle revient tournée. Γ dépend des coordonnées, pas la rotation.
Le vecteur fait le tour d'un parallèle. Les flèches grises marquent son orientation tout au long du trajet. La verte est celle du départ.
Le chemin complet tient en trois étapes. La métrique g donne les Γ par ses dérivées. Les Γ donnent le tenseur de Riemann R par une nouvelle dérivation. Si Riemann est nul partout, l'espace est plat, quelles que soient les coordonnées.
Le calcul complet, effectué numériquement à partir de la seule métrique, par différences finies.
Composantes indépendantes en un point, selon la dimension. À 2 dimensions, un seul nombre suffit : la courbure K de Gauss.
C'est la confusion la plus courante. La courbure de l'espace concerne une tranche à temps fixé : elle ne change que les distances. La courbure de l'espace-temps mêle aussi le temps, et c'est elle qui décrit la gravitation. Une balle ne tombe pas parce que l'espace est creusé : elle tombe surtout à cause du temps.
Une balle lente et un projectile rapide parcourent la même distance. Dans l'espace, leurs trajectoires n'ont pas du tout la même courbure. Il est difficile de croire qu'il s'agit d'une même géométrie. Mais ajoutons le temps : dans le plan (temps, hauteur), les deux suivent la même courbe.
À gauche, dans l'espace. À droite, hauteur selon le temps, à partir du sommet. Le projectile n'occupe qu'un petit morceau de la même parabole. L'axe vertical n'a pas la même échelle à gauche et à droite.
Dans l'espace, une géodésique est le chemin le plus court. Dans l'espace-temps, c'est la durée propre qui compte, et une géodésique suivie par un corps en chute libre est, localement, le chemin de durée la plus longue. On lance une horloge en l'air, et elle revient au même point au bout du temps T. Quelle montée lui donne la durée la plus longue ?
En montant, elle gagne du temps, parce que le temps s'écoule plus vite en altitude. Mais elle en perd en se déplaçant vite. Le meilleur compromis est exactement la chute libre.
À gauche, le trajet choisi (bleu) et la chute libre (vert). À droite, l'avance de l'horloge sur celle restée au sol, selon la hauteur atteinte.
Prenons maintenant l'espace seul, autour d'une masse : une tranche à t fixé de la métrique de Schwarzschild, à laquelle on retire une dimension. On peut la représenter par une surface, le paraboloïde de Flamm. La distance radiale réelle y est plus grande que la différence des rayons r, définis par C = 2πr.
Surface z = 2√(rs(r − rs)). L'anneau noir, en bas, est l'horizon. La longueur mesurée sur cette surface reproduit la métrique de l'espace seul.
Quelle part revient au temps et quelle part à l'espace ? Un paramètre le montre bien, noté γ en physique des tests de la relativité : γ = 0 retire la courbure de l'espace et ne garde que le temps ; γ = 1 donne la relativité générale. Pour la lumière, qui va à la vitesse c, le temps et l'espace comptent à parts égales.
Rayon passant près du Soleil, avec une déviation très amplifiée. Le trait gris est la ligne droite d'origine.
Les équations d'Einstein. Gμν = (8πG/c⁴) Tμν. À gauche, G se déduit de Ricci, donc de la métrique et de ses dérivées. À droite, T décrit la matière et l'énergie. Ces équations ne donnent pas directement la totalité de Riemann : elles fixent la partie de Ricci, et Weyl reste possible dans le vide.
Le vide n'est pas plat. Autour de la Terre, Ricci est nul, mais Riemann ne l'est pas : les marées existent. C'est ce qu'exprime le rapport 2 : −1 : −1 de la page sur le principe d'équivalence, dont la somme fait zéro.
Conventions. Certains ouvrages écrivent ds² = +c²dt² − dx² − dy² − dz², et d'autres placent les indices ou le signe de Riemann autrement. Les résultats physiques ne changent pas.
Limites de la page. Les surfaces montrées sont des images à deux dimensions. Un espace-temps courbe n'a pas besoin d'être plongé dans un espace plus grand, et les tubes ou les toiles n'en donnent qu'une idée partielle.
Dans la même série. principe-equivalence-v1.html pour la cabine et les marées ; relativite-v1.html pour le GPS et Mercure ; transformations-lorentz-v1.html pour la géométrie de Minkowski.
Sources principales. Everitt et coll., Physical Review Letters 106, 2011 ; Ashby, Relativity of GPS Measurement, 2003 ; Taylor et Wheeler, Spacetime Physics ; Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation, 1973.