Une seule ligne relie ce que contient l'Univers à la forme de l'espace-temps. Que dit-elle vraiment ? Où se cache le poids de la pression ? Pourquoi Einstein a-t-il ajouté une constante, puis l'a-t-il retirée ? Et comment retrouve-t-on Newton ?
Rμν − ½ R gμν + Λ gμν = (8πG/c⁴) Tμν
À gauche, la géométrie. À droite, la matière et l'énergie. Pour voir ce que cela signifie, lâchons au repos une petite boule de grains. Dans la matière, elle se contracte. Dans le vide, elle se déforme, et son volume ne change pas dans les premiers instants.
À gauche, une boule de grains dans un nuage de poussière. À droite, la même boule dans le vide, en chute vers un astre. Pointillés : la boule de départ. Mêmes durées de part et d'autre. À droite, le volume ne s'écarte de 1 que lentement, parce que les grains s'éloignent de la boule initiale.
Le physicien John Wheeler l'a résumé ainsi : la matière dit à l'espace-temps comment se courber, et l'espace-temps dit à la matière comment se mouvoir. Le dialogue ne s'arrête jamais : quand la matière bouge, la courbure change.
L'ombre représente le ralentissement du temps près de l'astre, très exagéré. Les grains ne subissent aucune force : ils suivent les géodésiques déterminées par l'astre, calculées ici avec la limite de Newton.
Le nombre κ = 8πG/c⁴ dit combien de courbure produit une énergie. Il est extraordinairement petit : l'espace-temps est très raide. Dans une matière de densité ρ, la courbure a pour échelle de longueur L = c/√(8πGρ). C'est à comparer à la taille R de l'objet : tant que R est bien plus petit que L, l'espace-temps y reste presque plat.
La droite bleue donne L selon la densité. Chaque point rouge est le rayon réel d'un objet. Sous la droite, la relativité générale n'est qu'une petite correction. Sur la droite, elle est indispensable.
Chez Newton, la source de la gravitation est la masse. Mais la relativité mélange masse, énergie et impulsion : un seul nombre ne peut pas rester le même pour tous les observateurs. La source est donc un tableau de 4 × 4 nombres, Tμν. Sa lecture est simple : Tμν est le flux de la composante μ de l'impulsion-énergie à travers une surface perpendiculaire à ν.
En haut à gauche, Ttt : la densité d'énergie. Sur la première ligne, le flux d'énergie, qui est aussi la densité d'impulsion. Sur la diagonale, les pressions. Hors de la diagonale, les cisaillements. Choisissez une matière, puis regardez-la d'un vaisseau en mouvement.
À gauche, le tableau au repos. À droite, vu d'un observateur à la vitesse β le long de x. Bleu : positif. Rouge : négatif. Unité : la densité d'énergie au repos.
Une pression n'est qu'un flux d'impulsion. Dans une boîte, chaque grain qui rebondit sur la paroi lui donne 2m|vx|. Comptons ces chocs, puis comparons à la composante du tableau calculée à partir des vitesses des grains : Txx = n m ⟨vx²⟩. Ici le calcul est à deux dimensions, en mécanique usuelle.
Chaque choc sur la paroi de droite s'allume en orange. À droite, la mesure cumulée de la pression, qui se stabilise.
Baez et Bunn ont montré qu'on peut dire presque tout en une phrase. Prenez une petite boule de grains en chute libre, au repos les uns par rapport aux autres. Le taux de variation de son volume au départ vaut :
Le volume ne se contracte que là où il y a de l'énergie ou de la pression. Dans le vide, sans Λ, il ne varie pas, même si la boule est étirée par les marées. Cette partie de la courbure, la seule qui n'entre pas dans cette équation, est celle de Weyl.
À gauche, la boule vue de côté (axe x vertical). À droite, le volume relatif au cours du temps : courbe calculée pas à pas, et pointillé donné par la formule. Temps en unités où 4πGρ vaut 1.
Lisons l'équation à l'envers : donnez une métrique, on en déduit la matière nécessaire. Le calcul ci-dessous ne connaît que la métrique. Il dérive une fois pour obtenir Γ, une seconde fois pour obtenir Ricci et G, numériquement. En unités où G = c = 1, il lit ρ = −Gtt/8π et P = Grr/8π.
Le tableau Gμν calculé depuis la métrique. Un tableau entièrement nul signifie : pas de matière ici.
Rien n'interdit d'ajouter au membre de gauche un terme Λgμν. Il respecte les mêmes symétries et il est invisible à l'échelle du Système solaire. Passé à droite, il se lit comme une énergie du vide, de pression P = −ρc². Son histoire est un aller-retour.
En 1917, Einstein veut un Univers éternel et immobile. Or la matière s'attire. Il introduit Λ pour équilibrer exactement : Λ = 4πGρ/c². Mais Eddington montre en 1930 que cet équilibre est instable, comme un crayon sur sa pointe : un rien le fait s'effondrer ou s'emballer. Après la découverte de l'expansion, Einstein abandonne Λ en 1931.
Facteur d'échelle a(t), à partir de l'équilibre a = 1, avec une petite perturbation. Le temps est en unités où 4πGρ₀/3 vaut 1.
En 1998, l'étude de supernovae lointaines montre que l'expansion accélère. Le terme Λ est le candidat le plus simple. Pour un Univers plat, l'équation de Friedmann donne H² = H₀²(Ωm/a³ + ΩΛ). Faites varier ΩΛ.
Facteur d'échelle en fonction du temps, aujourd'hui a = 1. Bleu : votre choix. Gris : un Univers sans Λ. Le point rouge marque le début de l'accélération.
À distance r d'une masse M, l'accélération vaut −GM/r² + Λc²r/3. Le premier terme décroît, le second croît. La distance à laquelle ils s'équilibrent sépare le royaume de la gravitation de celui de l'expansion.
En échelle logarithmique, l'attraction (bleu) et la répulsion due à Λ (rouge), selon la distance en mètres.
Une théorie nouvelle doit retrouver ce qui marche. Prenons un champ faible (Φ ≪ c²), des vitesses faibles (v ≪ c), une pression faible (P ≪ ρc²) et Λ négligeable. Il ne reste qu'un coefficient de la métrique, gtt = −(1 + 2Φ/c²), et les équations se réduisent à celle de Poisson :
C'est ainsi qu'Einstein fixe le coefficient : il n'est pas libre. On impose 2∇²Φ/c² = κρc², et avec ∇²Φ = 4πGρ, on en tire κ = 8πG/c⁴. Vérifions-le deux fois : sur le graphique, par l'équation de Poisson pour une boule ; dans les cadres, par le calcul complet de G à partir d'une métrique faible.
En bleu, le potentiel Φ obtenu en résolvant Poisson sur une grille. En rouge, le champ g = dΦ/dr. En vert, la densité de la boule. Hors de la boule, g décroît en 1/r².
L'orbite d'un corps dans la métrique de Schwarzschild obéit, avec u = p/r et ε = GM/(c²p), à u″ + u = 1 + 3εu². Sans le terme en ε, on obtient l'ellipse de Newton. Avec lui, l'ellipse tourne d'un petit angle à chaque tour. Faites tendre ε vers 0 : l'orbite de Newton revient.
En gris pointillé, l'ellipse de Newton. En rouge, l'orbite calculée. Le rayon est à la même échelle, et aucune amplification n'est appliquée à l'angle.
Dans une étoile, la pression retient le poids. Newton donne dP/dr = −Gmρ/r². Einstein remplace cette équation par celle de Tolman, Oppenheimer et Volkoff : la pression pèse aussi et la géométrie renforce la gravité. Modèle : étoile de densité uniforme, x = rs/R.
À gauche, la pression dans l'étoile, de sa surface au centre. À droite, la pression centrale selon x : elle diverge à x = 8/9. Newton (vert) ne voit aucune limite.
Le nombre qui décide est GM/(Rc²). Ajoutons, pour un observateur immobile, le rapport entre la pesanteur relativiste et celle de Newton : g/gN = 1/√(1 − rs/r).
GM/(Rc²) sur une échelle logarithmique. Chaque graduation multiplie par 1 000.
La forme traditionnelle. Rμν est le tenseur de Ricci et R sa trace, R = gμνRμν. La combinaison Gμν = Rμν − ½Rgμν est la seule, avec Λgμν, qui soit symétrique, sans dérivées supérieures à deux, et de divergence nulle à quatre dimensions : c'est le théorème de Lovelock (1971).
Une action. Les mêmes équations sortent de l'action d'Einstein-Hilbert, S = ∫(R − 2Λ)√−g d⁴x/(2κ), plus celle de la matière. C'est par cette voie que Hilbert les a présentées.
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Le terme ρ + ΣP. La formule de Baez et Bunn s'applique à un petit volume, au tout premier instant. Pour une boule de pression non isotrope, elle garde ΣP. Elle n'épuise pas toute la teneur des équations : pour cela, il faut l'écrire dans tous les référentiels possibles.
Dans la même série. espace-temps-courbe-v1.html pour la métrique et Riemann ; principe-equivalence-v1.html pour les marées ; relativite-v1.html pour Mercure et le GPS ; dynamique-relativiste-v1.html pour E = mc².
Sources principales. Baez et Bunn, The Meaning of Einstein's Equation, American Journal of Physics, 2005 ; Planck Collaboration, 2020 ; O'Raifeartaigh et coll., 2017 ; Frieman, Turner et Huterer, 2008 ; Collaboration DESI, 2025.