L’équation de Schrödinger
Une fois l’état initial connu, comment prévoir ce qu’il devient ? L’équation de Schrödinger décrit l’évolution de la fonction d’onde dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste.
Le fil conducteur : l’énergie, représentée par l’hamiltonien, gouverne l’évolution des amplitudes. Les probabilités se déduisent ensuite de leur module au carré.
Parcours : 30 à 40 minutes. Animations et calculs autonomes, sans connexion. Exemples : une particule sans spin, en une dimension.
Que dit l’équation ?
Le membre de gauche décrit la variation temporelle de ψ. Le membre de droite applique l’opérateur d’énergie Ĥ à l’état. L’équation est une relation entre ces deux quantités, à chaque instant.
| Symbole | Signification |
|---|---|
| ψ(x,t) | Amplitude complexe de l’état en représentation de position |
| i | Unité imaginaire : i² = −1 |
| ℏ = h/(2π) | Constante de Planck réduite, environ 1,055 × 10⁻³⁴ J·s |
| ∂ψ/∂t | Variation de ψ avec le temps, à position fixée |
| Ĥ | Hamiltonien : opérateur représentant l’énergie totale |
Ce qu’il faut fournir pour calculer une évolution
- Un état initial ψ(x,0), normalisé.
- L’hamiltonien, notamment la masse et le potentiel.
- Le domaine spatial et les conditions aux limites.
Cette évolution est déterministe pour la fonction d’onde d’un système fermé. Les résultats individuels de mesure sont ensuite prédits probabilistiquement par la règle de Born. L’équation seule ne remplace pas les règles de mesure.
L’hamiltonien : l’énergie devient un opérateur
Pour une particule non relativiste de masse m, en une dimension, sans champ magnétique :
iℏ ∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x² + Vψ
Le premier terme représente l’énergie cinétique, avec p̂ = −iℏ∂/∂x. Le second multiplie ψ par le potentiel V. La dérivée seconde traduit la courbure spatiale de la fonction d’onde.
Pour une onde plane exp(ikx), l’opérateur cinétique donne l’énergie ℏ²k²/(2m). Des oscillations spatiales plus serrées correspondent donc à une énergie cinétique plus élevée pour ce cas.
Une « forte courbure » n’est pas, à elle seule, une règle locale générale donnant l’énergie mesurée : celle-ci dépend de l’état et de l’opérateur complet. V peut dépendre du temps ; les états stationnaires ci-dessous supposent un hamiltonien indépendant du temps.
Le rôle de la constante de Planck
p = ℏk = h/λ
ℏ relie les échelles d’énergie et de quantité de mouvement aux variations de phase dans le temps et dans l’espace. Elle apparaît dans les deux termes de l’équation.
Une fonction d’onde qui évolue, une densité fixe
Lorsque Ĥ est indépendant du temps, cherchons une solution sous la forme ψ(x,t) = φ(x) exp(−iEt/ℏ). En la remplaçant dans l’équation, on obtient l’équation aux valeurs propres :
Dans une boîte infinie de longueur L, le potentiel est nul à l’intérieur et impose ψ = 0 aux parois. Les solutions permises sont :
Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²), n = 1, 2, 3…
Vert : Re ψ ; orange : Im ψ. Amplitudes exprimées en unités de L⁻¹/².
La phase temporelle tourne, mais son module vaut toujours 1 :
Stationnaire signifie ici que la densité de probabilité ne change pas. Cela ne veut pas dire que la fonction d’onde complexe est constante.
Le fondamental n = 1 a une énergie positive. Une fonction constante non nulle ne pourrait pas satisfaire les deux conditions aux parois.
La courbe n’est pas une trajectoire : les bosses montrent des amplitudes ou des densités. La probabilité de position se calcule en intégrant la densité sur une région.
Temps réduit u = E₁t/ℏ. Les animations sont ralenties ; le rythme relatif des niveaux respecte Eₙ/E₁ = n².
Une superposition peut avoir une densité mobile
L’équation de Schrödinger est linéaire : une combinaison de solutions reste une solution pour le même hamiltonien. Dans la boîte, combinons les niveaux 1 et 2 :
+ sin θ eiδ₀ φ₂(x)e−iE₂t/ℏ
La phase relative évolue comme δ(t) = δ₀ − (E₂−E₁)t/ℏ. Les interférences font varier la densité.
À θ = 45° : regardez la probabilité passer d’une moitié de la boîte à l’autre.
À θ = 0° ou 90° : il reste un seul état ; la densité devient fixe.
Les probabilités de mesure de l’énergie restent cos²θ pour E₁ et sin²θ pour E₂. La densité de position peut varier alors que l’énergie moyenne reste constante.
L’ensemble des probabilités reste normalisé. Le changement de densité n’indique pas la trajectoire d’une particule particulière et n’exige aucun échange d’énergie avec l’extérieur.
Temps réduit indépendant v = E₁t/ℏ, remis à zéro avec les réglages. La période de la densité vaut 2π/3 dans ces unités.
Une particule libre : déplacement et étalement
Pour V = 0, un paquet gaussien initialement sans corrélation position-moment se déplace et s’élargit. Le graphique ci-dessous utilise la solution analytique exacte de ce modèle.
σ(t) = σ₀ √[1 + (ℏt/2mσ₀²)²]
Le centre suit ici le mouvement uniforme classique. La largeur augmente, car le paquet combine plusieurs quantités de mouvement.
Une masse plus grande ralentit l’étalement, à largeur initiale et temps physique fixés. Un paquet initial plus étroit s’étale plus vite.
Un paquet gaussien libre ne s’étale pas nécessairement dès l’instant initial si sa phase contient des corrélations adaptées. Le modèle présenté suppose une gaussienne initiale sans ces corrélations.
Unités : y = x/L, s = ℏt/(mL²), q₀ = p₀L/ℏ ; x₀ = 0. Le curseur de largeur donne σ₀/L. L’aire sur toute la droite reste 1 ; les queues au-delà du cadre ne sont pas dessinées. Gris pointillé : densité initiale ; vert : densité à l’instant choisi.
Norme, probabilités et domaine de validité
Avec un hamiltonien auto-adjoint et les conditions aux limites adaptées, l’évolution conserve la norme. Pour un hamiltonien indépendant du temps, l’énergie moyenne est également conservée.
∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
La deuxième formule est l’équation de continuité : la probabilité se transporte localement. Pour le hamiltonien étudié, j = (ℏ/m) Im(ψ*∂ψ/∂x).
| Situation | Description adaptée |
|---|---|
| Système fermé, non relativiste | Évolution par l’équation de Schrödinger |
| État propre d’un hamiltonien fixe | Équation stationnaire Ĥφ = Eφ, puis phase temporelle |
| Mesure d’une grandeur | Règle de Born et description du processus de mesure |
| Interactions fortes avec l’environnement | Modèles de systèmes ouverts, souvent par matrice de densité |
| Vitesses relativistes, création de particules | Cadre relativiste et théorie quantique des champs selon le problème |
L’équation stationnaire n’est pas une autre loi indépendante : elle résulte de la recherche de solutions à énergie définie lorsque le hamiltonien ne dépend pas du temps.
Quiz corrigé
À retenir
L’hamiltonien gouverne l’évolution de l’état ; le module au carré donne la densité de probabilité. Un état stationnaire peut avoir une phase qui tourne sans changement de densité. Une superposition ou un paquet libre peut avoir une densité qui évolue.