C'est l'équation du mouvement de la mécanique quantique : elle dit comment l'état change entre deux mesures. Cette page en explique chaque symbole, la résout vraiment sous vos yeux, et montre ce qui évolue exactement : la fonction d'onde, ou la densité de probabilité.
Un paquet d'ondes dans un puits, calculé en direct par l'équation de Schrödinger. Hauteur : |ψ|². Couleur : la phase de ψ.
iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ avec Ĥ = −(ħ²/2m) ∂²/∂x² + V(x)
Le symbole
Ce qu'il dit
Où
∂ψ/∂t
À quelle vitesse l'état change. Connaître ψ maintenant suffit à connaître son avenir.
Planche 1
ħ = h/2π
L'unité qui transforme une énergie en vitesse de rotation de phase.
Planche 1
Ĥ
L'énergie, écrite comme un opérateur : cinétique et potentielle.
Planche 2
i
Fait tourner ψ au lieu de la faire décroître : la probabilité totale est conservée.
Planche 3
Ĥψ = Eψ
Les états d'énergie définie, ceux dont la densité ne bouge pas.
Planche 4
|ψ|²
Ce qu'on observe, mais qui ne suffit pas à prévoir sa propre évolution.
Planche 5
Planche 1
Le rôle de l'équation, et la constante ħ
Newton donne le mouvement d'une bille : F = ma. Schrödinger (1926) joue le même rôle pour l'état quantique. Si l'on connaît ψ à un instant, l'équation donne ψ à tout instant ultérieur, sans aucun hasard. Le hasard n'intervient qu'au moment d'une mesure. La théorie contient donc deux règles très différentes.
Mécanique de Newton
Schrödinger
Mesure quantique
État
x et p
ψ(x)
ψ(x)
Loi
m d²x/dt² = F
iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ
Projection (Born)
Déterministe ?
Oui
Oui
Non, aléatoire
Réversible ?
Oui
Oui
Non
Linéaire ?
Pas en général
Oui, toujours
Non
Essayez : laissez évoluer le paquet, puis inversez le temps. Il remonte exactement à son état de départ. Mesurez sa position en cours de route, et l'inversion ne ramène plus au départ.
|ψ|² avec la phase en couleur (l'état), pointillé gris : l'état de départ, trait gris : le potentiel V. Unités où ħ = m = 1.
Temps écoulé
Probabilité totaleconservée par l'équation
Énergie moyenne ⟨Ĥ⟩
Ressemblance à l'état initial
Une évolution sans mystère, une mesure qui en a. Tant que l'on ne mesure pas, ψ évolue d'une façon parfaitement déterministe et réversible : au retour, la ressemblance revient à 100 %, à moins de 10⁻¹² près. La mesure change tout : elle tire un résultat au hasard et détruit de l'information, et rien n'annule cela en inversant le temps.
Planck a introduit h, avec E = hν, où ν compte les tours par seconde. Mais les physiciens mesurent les angles en radians : un tour fait 2π radians, d'où la vitesse angulaire ω = 2πν. La constante réduite ħ = h/2π permet d'écrire les mêmes lois sans 2π.
La phase e^(−iEt/ħ) d'un électron d'énergie E, au ralenti. Arc épais : un radian, parcouru en ħ/E. Un tour complet dure h/E.
L'onde de cet électron : λ = h/p est la longueur d'un cycle complet, et 1/k = ħ/p, la longueur d'un radian.
h/2π
Fréquence ν = E/h
Vitesse angulaire ω = E/ħ
Longueur d'onde λ = h/p
ħ fixe la frontière du quantique
ħ a la dimension d'une action, ou d'un moment cinétique. Un système est quantique lorsque ses actions caractéristiques sont de l'ordre de ħ.
La même physique, une notation plus simple. Il n'y a pas deux constantes : ħ et h diffèrent seulement par la façon de compter les angles. Dans l'équation de Schrödinger, c'est ħ qui apparaît naturellement, car ψ tourne de E/ħ radians par seconde. Et dès qu'un moment cinétique vaut 10³¹ ħ, les effets de la quantification ne se voient plus.
En physique classique, l'énergie est E = p²/2m + V(x). Pour passer au quantique, on remplace p par l'opérateur −iħ d/dx. On obtient l'hamiltonien Ĥ. Le premier terme mesure la courbure de ψ : une fonction qui oscille vite a une grande énergie cinétique. Le second multiplie ψ par le potentiel, là où elle se trouve.
Une gaussienne dans un puits harmonique, V = x²/2. Si on la serre, sa courbure augmente, et l'énergie cinétique aussi. Si on l'élargit, elle monte sur les flancs du puits, et l'énergie potentielle augmente. L'énergie totale a un minimum. Unités ħ = m = ω = 1.
ψ (bleu), Ĥψ (rouge) et V (gris). Si Ĥψ a la même forme que ψ, alors ψ est un état d'énergie définie.
Énergies selon la largeur σ : cinétique (orange), potentielle (violet), totale (bleu). Le point marque l'état choisi.
Cinétique ⟨T̂⟩
Potentielle ⟨V⟩
Totale ⟨Ĥ⟩intégrale de ψ*Ĥψ
Dispersion σE0 si l'énergie est certaine
Minimum trouvé (section dorée)σ = 1/√2, E = ħω/2
L'énergie la plus basse n'est pas nulle. Au minimum, E = ħω/2, l'énergie de point zéro. Une particule ne peut pas rester immobile au fond du puits, car être localisée coûte de l'énergie cinétique. Et à ce minimum, σE tombe à 0 : on vient de trouver le niveau fondamental en cherchant seulement la meilleure largeur. C'est la méthode variationnelle.
La planche 1 de la page « Pourquoi une mécanique quantique ? » montrait l'électron classique s'effondrant sur le noyau. L'hamiltonien explique pourquoi il ne le fait pas. Pour une fonction d'onde ψ ∝ e−r/a de taille a, l'énergie vaut :
⟨Ĥ⟩(a) = (ħ²/2m)/a² − Z e²/(4πε₀ a)
L'énergie selon la taille a de l'atome. Cinétique (orange), électrostatique (violet), totale (bleu). Sans le terme cinétique, rien n'empêcherait a → 0.
Cinétique13,606 eV × (a₀/a)²
Électrostatique−27,211 Z eV × (a₀/a)
Totale
Minimum trouvé numériquement
La stabilité de la matière tient dans un terme. Le potentiel attire en 1/a, mais le terme cinétique, qui vient de ħ, repousse en 1/a². Quand a diminue, c'est le terme en 1/a² qui finit par gagner. Le minimum donne le rayon de Bohr et −13,6 eV pour l'hydrogène, exactement les valeurs observées. Cette forme de ψ se trouve être la vraie solution.
Planche 3
L'équation dépendant du temps
Lisons-la en isolant la dérivée : ∂ψ/∂t = −(i/ħ) Ĥψ. En chaque point, Ĥψ indique dans quelle direction ψ change. Le facteur −i tourne cette direction d'un quart de tour dans le plan complexe. Si Ĥψ est aligné sur ψ, la flèche ψ tourne sans changer de longueur. La partie qui déplace le paquet vient de la courbure.
iħ ∂ψ/∂t = −(ħ²/2m) ∂²ψ/∂x² + V(x) ψ
Un paquet libre, solution exacte connue. Sous la courbe, sept petits plans complexes montrent ψ (bleu) et sa vitesse de variation ∂ψ/∂t (rouge) à sept endroits. Un potentiel constant V₀ ne déplace rien : il fait seulement tourner toute la phase plus vite.
Re ψ (bleu), Im ψ (rouge) et |ψ| (gris). En bas, en sept points : ψ et ∂ψ/∂t, en flèches.
iħ∂ψ/∂t, dérivée dans le tempsdifférences finies en t
Ĥψ, dérivées dans l'espacedifférences finies en x
Écart entre les deux membres
Vitesse de rotation au sommet
Le temps et l'espace sont reliés par une seule égalité. À gauche, une dérivée première en temps, à droite, une dérivée seconde en espace. Déterminer l'un par l'autre ne demande que l'état présent : voilà pourquoi l'équation est déterministe. Elle est aussi linéaire : la somme de deux solutions est une solution, et le principe de superposition en découle.
L'équation est résolue en direct, sur 800 points. Choisissez un potentiel et lancez un paquet. Le point rouge est une bille classique, partie avec les mêmes position et élan moyens.
|ψ|² avec la phase en couleur, potentiel V en gris, bille classique en rouge, ⟨x⟩ en vert.
Norme et ⟨Ĥ⟩
Probabilité à droite de x = 0
⟨x⟩ et position de la bille
d⟨p⟩/dt et −⟨dV/dx⟩théorème d'Ehrenfest
L'effet tunnel n'a pas été ajouté à la main. Il sort de l'équation sans aucune hypothèse : avec k₀ = 3 et V₀ = 5, une part passe et une part revient. Ici, l'énergie du paquet (environ 4,6) reste sous la barrière : la bille rebondit, mais une part du paquet passe quand même. La moyenne ⟨p⟩ suit la force moyenne, mais ce n'est pas la force en ⟨x⟩ : la bille et ⟨x⟩ peuvent se séparer. Dans un puits harmonique, ils restent confondus.
Pour calculer ψ sur ordinateur, on découpe l'espace et le temps. La méthode la plus naïve, celle d'Euler, explose. Pourquoi ? Parce que chaque pas multiplie ψ par 1 − iĤΔt, qui n'est pas de module 1. La méthode de Crank et Nicolson, utilisée dans cette page, moyenne les deux bouts du pas, et conserve exactement la norme.
Norme de ψ au cours du calcul (échelle log) : Euler (rouge) contre Crank-Nicolson (bleu).
Erreur de Crank-Nicolson à t = 2, contre une référence très fine, selon le pas Δt (échelles log). Pointillé : pente 2.
Euler : norme à t = 1elle ne devrait pas bouger
Crank-Nicolson : norme à t = 1
Ordre mesuré de Crank-Nicolsonpente log-log, attendu : 2
La conservation de la norme vient de l'hermiticité. Si Ĥ est hermitien, l'évolution exacte e^(−iĤt/ħ) est unitaire. Crank-Nicolson l'imite parfaitement, car son rapport (1 − iĤΔt/2)/(1 + iĤΔt/2) est de module 1 pour tout Δt. Une bonne méthode numérique respecte la structure de l'équation.
Supprimons le i. L'équation devient ħ∂ψ/∂t = −Ĥψ : c'est une équation de la chaleur. Tout change. Les composantes de haute énergie meurent, le paquet s'étale sans osciller, et l'état tend vers le niveau fondamental. C'est même une technique de calcul, dite du « temps imaginaire ».
Avec le i : le paquet oscille dans le puits, indéfiniment.
Sans le i : le même état de départ glisse vers le fond du puits, et y reste. Renormalisé à chaque pas, sinon il disparaît.
Avec i : énergie ⟨Ĥ⟩constante
Sans i : énergie ⟨Ĥ⟩descend jusqu'à ħω/2 = 0,5
Sans i : norme perdue, sans correctionpar unité de temps, soit e^(−2⟨Ĥ⟩)
Un seul i sépare les ondes de la diffusion. Le i transforme une décroissance en rotation. C'est lui qui fait de l'équation de Schrödinger une équation d'ondes, avec interférences et réversibilité, plutôt qu'une équation de diffusion, irréversible. Il rend aussi inévitables les nombres complexes.
Planche 4
Les états stationnaires : Ĥψ = Eψ
Cherchons les solutions les plus simples : ψ(x,t) = φ(x) · f(t), où la forme ne change pas. En reportant dans l'équation, on sépare temps et espace : d'un côté, f′ = −(iE/ħ) f, donc f = e−iEt/ħ. De l'autre, l'équation de Schrödinger indépendante du temps, une équation aux valeurs propres :
La phase tourne, mais la densité n'évolue plus : c'est un état stationnaire. Seules certaines valeurs de E conviennent, lorsque la particule est liée. La page diagonalise ici l'hamiltonien sur une grille de 1 200 points, et confronte les niveaux aux formules exactes.
Le potentiel (gris), les niveaux d'énergie permis (traits), et le niveau choisi (rouge) avec sa fonction φ, dessinée sur son niveau.
La fonction d'onde complète : Re ψ (bleu), qui oscille sur place, et |ψ|² (rouge), qui ne bouge pas. En haut à droite, la phase e^(−iEt/ħ).
Énergie du niveau
Résidu ‖Ĥφ − Eφ‖sur la grille
Variation de |ψ|² par le simulateurmax|ρ(t) − ρ(0)|, Crank-Nicolson, t = 3
E déduite de la vitesse de phase
Orthogonalité avec le niveau voisin⟨φₙ|φₙ₊₁⟩
Pourquoi ces états sont si importants. Ils ne semblent pas bouger, et pourtant tout état est une superposition d'états stationnaires : ψ(x,t) = Σcₙφₙ(x) e^(−iEₙt/ħ). Résoudre Ĥφ = Eφ une fois pour toutes donne donc toute la dynamique. Dans le double puits, les niveaux vont par paires très proches : leur écart mesure la vitesse de l'effet tunnel d'un puits à l'autre.
Planche 5 · Signature
La fonction d'onde évolue, la densité en est l'ombre
L'équation de Schrödinger porte sur ψ, et non sur |ψ|². La fonction d'onde a un module et une phase : |ψ|² ne garde que le module. On pourrait penser que c'est suffisant, puisque seule la densité s'observe directement. Les trois expériences suivantes montrent le contraire : ψ peut bouger quand ρ est immobile, et deux états de même ρ peuvent avoir deux avenirs différents.
Dans un puits, superposons les deux premiers niveaux. Avec un seul niveau, ψ tourne et ρ ne bouge pas. Dès que les deux sont présents, ρ bat, à la fréquence de l'écart d'énergie. Ajoutez ensuite une constante E₀ à toutes les énergies : ψ tourne plus vite, et ρ ne change absolument pas.
En haut, ψ(x,t) : Re (bleu) et Im (rouge). En bas, ρ = |ψ|² (couleur = phase). Unités ħ = m = L = 1.
Vitesse de variation de ψ, ‖∂ψ/∂t‖√⟨Ĥ²⟩/ħ
Vitesse de variation de ρ, max|∂ρ/∂t|
Période de ρ, mesurée
Effet de E₀ sur ρécart maximal à E₀ = 0
Une partie de ψ n'a aucune réalité directe. Seules les différences d'énergie sont observables. E₀ change la vitesse de rotation de ψ, sans aucun effet sur ρ. Une évolution de ψ n'est donc pas nécessairement une évolution de ce qu'on peut observer. Et on comprend que la « fréquence » d'une raie spectrale soit un écart E₂ − E₁, non une énergie.
Voici deux paquets libres dont la densité initiale est identique, point par point. Seule leur phase diffère. Si ρ suivait sa propre équation, ils auraient le même futur. Observez.
État A (haut), état B (bas) : |ψ|² avec la phase en couleur. Pointillé : ρ de l'autre état. À t = 0, les deux coïncident.
Écart max|ρA − ρB| à t = 0identiques
Écart max|ρA − ρB| maintenant
Largeurs σA et σB
⟨x⟩ de A et de B
La densité ne prévoit pas sa propre évolution. ρ à un instant ne détermine pas ρ à l'instant suivant : il manque la phase. Elle contient la vitesse locale. Une carte de présence ne dit pas où vont les gens. Pour cette raison, il n'y a pas d'équation fermée pour ρ seul, et l'état quantique est ψ, avec sa phase, et non |ψ|².
ρ et ψ sont reliés par une loi de conservation, comme un fluide : la probabilité ne disparaît pas d'un endroit sans passer par ailleurs. Le courant j est déduit de la phase : j = ρ·v, avec v = (1/m) ∂S/∂x. Vérifions-le point par point, en cours d'évolution, avec le simulateur.
ρ (bleu), courant j (rouge), et le potentiel (gris).
∂ρ/∂t, différence entre deux pas (bleu), et −∂j/∂x, calculé à partir de la phase (rouge pointillé). Les courbes coïncident.
Écart à ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
Flux à travers x = 0 depuis le départ∫j(0, t)dt
Variation de P(x > 0)doit être égale au flux
Après conjugaison
La phase est la vitesse. Conjuguer ψ, c'est changer S en −S : ρ reste identique, mais j change de signe, et le paquet repart en sens inverse. Une même densité porte alors deux flux opposés. Cela montre encore que l'information de mouvement se trouve dans la phase, et elle seule. La probabilité totale, elle, ne varie jamais.
Deux paquets libres se croisent. Si l'on additionnait les densités, on verrait deux bosses se traverser. Mais ce sont les ψ qui s'additionnent : des franges apparaissent pendant le croisement, et se déplacent selon la phase relative δ. Ce décalage n'a aucun effet sur chacun des paquets pris seul.
|ψ₁ + ψ₂|² (bleu) contre |ψ₁|² + |ψ₂|² (rouge pointillé), avec la densité de chaque paquet (gris).
Densité au centre, x = 0
Interfrange mesuré
Aire du terme d'interférenceintégrale nulle, ou presque : la norme reste 1
En résumé : ψ est le calcul, ρ est le résultat. L'équation est linéaire en ψ et non linéaire en ρ. Toute prédiction passe par ψ, avec sa phase, puis se lit dans |ψ|². On ne peut pas supprimer l'intermédiaire. Remarquons que ψ et eiαψ restent équivalentes : la phase globale n'a pas de sens, mais les phases relatives et leurs variations d'un point à l'autre en ont un.
La frise
1924 · De Broglie : à toute particule, une onde.
1925 · Heisenberg, Born et Jordan : la mécanique des matrices.
1926 · Schrödinger publie son équation en quatre articles, et retrouve les niveaux de l'hydrogène.
1926 · Born interprète ψ en termes de probabilités.
1926 · Madelung écrit l'équation sous forme hydrodynamique, avec ρ et S.
1927 · Ehrenfest : les moyennes suivent les lois classiques.
1928 · Gamow, Gurney et Condon expliquent la radioactivité alpha par l'effet tunnel.
1928 · Dirac : l'équation relativiste de l'électron.
1947 · Crank et Nicolson publient leur méthode numérique, d'abord pour la chaleur.
1981 · Binnig et Rohrer : le microscope à effet tunnel.
À retenir
L'équation
iħ∂ψ/∂t = Ĥψ est déterministe, réversible et linéaire. Le hasard vient seulement de la mesure.
Les états stationnaires
Ĥφ = Eφ donne les niveaux permis. Leur phase tourne à la vitesse E/ħ, et leur densité reste immobile. Tout état en est une superposition.
ψ et |ψ|²
L'équation agit sur ψ. Seule la densité s'observe, mais c'est la phase qui fixe son évolution : ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0, où j vient de la phase.
Pour aller plus loin
Ce que la page simplifie. Une seule particule, sur une droite, sans spin, sans relativité. Le simulateur place des murs aux bords de la grille, et la résolution finie crée une petite dispersion numérique. L'équation de Schrödinger est non relativiste : à haute énergie, il faut celle de Dirac, ou la théorie quantique des champs.
D'où vient l'équation ? Elle ne se démontre pas à partir de principes plus simples : c'est un postulat, justifié par ses succès. On la retrouve à partir de E = ħω, p = ħk et de la relation classique E = p²/2m + V, en remplaçant E par iħ∂/∂t et p par −iħ∂/∂x.
Les pages voisines. « La mécanique ondulatoire » part de Newton pour arriver à cette équation. « Pourquoi une mécanique quantique ? » pose les problèmes qu'elle résout, et « L'état quantique et la fonction d'onde » prépare le sens de ψ.