D'où vient la formule la plus célèbre de la physique, ce qu'elle veut dire exactement, et pourquoi elle explique aussi bien l'éclat du Soleil que le fait qu'un noyau d'hélium pèse moins que ses morceaux.
E = mc²
« L'énergie au repos d'un corps est égale à sa masse multipliée par le carré de la vitesse de la lumière. »
E l'énergie contenue dans le corps immobile, en joules (J). Un joule, c'est à peu près l'énergie qu'il faut pour soulever une pomme de 1 m.
m la masse du corps, en kilogrammes : ce qui résiste quand on veut le mettre en mouvement, et ce que mesure une balance.
c² le carré de la vitesse de la lumière, c = 299 792 458 m/s. Ce carré vaut exactement — m²/s² : un nombre gigantesque.
La formule se lit dans les deux sens. Toute masse renferme de l'énergie, même immobile, même froide : c'est l'énergie au repos. Et toute énergie qu'on ajoute à un corps augmente sa masse : un ressort comprimé, une tasse de thé chaude, une batterie chargée pèsent un peu plus. Comme c² est énorme, il faut une énergie colossale pour une masse minuscule — c'est pourquoi on ne l'avait jamais remarqué avant 1905.
Unité utile pour la suite : en physique nucléaire, on compte les masses en unités de masse atomique (1 u = 1/12 de la masse d'un atome de carbone 12 = 1,660 539 07·10⁻²⁷ kg) et les énergies en mégaélectronvolts (1 MeV = 1,602 176 634·10⁻¹³ J). La page recalcule à partir de ces constantes : 1 u × c² = — MeV.
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D'où sort E = mc² ? Le raisonnement d'Einstein (1905)
Einstein n'a pas « deviné » la formule : il l'a déduite d'une expérience de pensée très simple. Un corps immobile émet deux éclairs de lumière identiques, d'énergie L/2 chacun, dans deux directions opposées. Les deux poussées s'annulent, donc le corps reste immobile. Regardons maintenant la même scène depuis un observateur qui se déplace.
En haut, la scène vue « au repos » : deux éclairs jumeaux. En bas, la même scène vue par un observateur qui se déplace vers la droite à la vitesse β (en fraction de c) : pour lui le corps file vers la gauche. L'éclair émis vers l'avant du mouvement est comprimé, plus bleu et plus énergétique (effet Doppler) ; l'autre est étiré, plus rouge, moins énergétique.
facteur de Lorentz γ = 1/√(1−β²)
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éclair vers l'avant du mouvement, vu en mouvement
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éclair vers l'arrière, vu en mouvement
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total émis vu en mouvement = γ·L
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énergie cinétique perdue par le corps (surplus)
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vitesse du corps après l'émission (calculée)
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perte de masse Δm·c² / L (par la quantité de mouvement)
—
approximation d'Einstein ½β² / exact (γ−1)
—
Énergie cinétique perdue, en unités de L, selon la vitesse de l'observateur : exacte (γ−1, bleu) et approximation des basses vitesses ½β² utilisée par Einstein en 1905 (orange, pointillé).
Le raisonnement en quatre lignes
1. Au repos, le corps perd l'énergie L.
2. Vu en mouvement, il émet plus : γL (on le lit ci-dessus en additionnant les deux éclairs).
3. La différence γL − L ne peut venir que de son énergie de mouvement (énergie cinétique), qui baisse donc de (γ−1)L.
4. Or la vitesse du corps n'a pas changé ! Une énergie de mouvement plus faible à vitesse égale veut dire une masse plus faible. Comme l'énergie cinétique vaut (γ−1)mc², la masse a baissé de exactement Δm = L/c².
Ce qu'il faut retenir. Un corps qui perd l'énergie L perd la masse L/c². Il n'y a rien de nucléaire ici : une lampe qui brille, un fer à repasser qui refroidit perdent eux aussi de la masse. Einstein conclut : « la masse d'un corps est une mesure de son contenu en énergie ». Le contrôle par la quantité de mouvement redonne Δm·c²/L = 1 à la précision de la machine, quelle que soit la vitesse choisie.
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Combien d'énergie dans un gramme ?
Multiplier par c² ≈ 9·10¹⁶ change tout. Choisissez une masse : la page calcule l'énergie qu'elle représente et la place sur une règle d'énergies où chaque graduation est dix fois la précédente (échelle logarithmique). Dans l'autre sens, les boutons montrent de combien la masse d'objets ordinaires augmente quand on leur donne de l'énergie.
Règle des énergies de 1 J à 10²¹ J. Repères gris : énergies de la vie courante et de la société. Curseur rouge : l'énergie au repos mc² de la masse choisie.
masse m
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énergie au repos E = mc²
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en kilowattheures
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en tonnes de TNT (1 t = 4,184·10⁹ J)
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production d'un réacteur de 1 GW électrique pendant
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contrôle : retour E / c² comparé à m (écart relatif)
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Ce qu'il faut retenir. Un seul gramme de matière équivaut à 9·10¹³ J, soit environ 21 000 tonnes de TNT ou un réacteur de 1 GW tournant — jour. À l'inverse, chauffer un litre d'eau ne l'alourdit que de quelques millionièmes de milligramme : c'est vrai, mais aucune balance ne peut le voir. La conservation de la masse de Lavoisier n'est donc pas fausse en chimie : elle est vraie à 10⁻¹⁰ près.
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Le noyau pèse moins que ses morceaux : le défaut de masse
Un noyau atomique est fait de Z protons et N neutrons. Pesez-les séparément, puis pesez le noyau assemblé : le noyau est plus léger. La différence, appelée défaut de masse Δm, correspond à l'énergie qu'il faudrait fournir pour séparer les nucléons : l'énergie de liaison B = Δm·c². Plus B par nucléon est grand, plus le noyau est solidement lié.
On peut aussi cliquer sur un point de la courbe.
Énergie de liaison par nucléon B/A selon le nombre de nucléons A. Points bleus : masses mesurées. Courbe orange : formule de Weizsäcker (modèle de la goutte liquide, 1935).
La balance : à gauche les nucléons séparés, à droite le noyau assemblé. L'inclinaison est exagérée ; la vraie différence est indiquée en dessous.
protons Z et neutrons N
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masse des constituants Z·m(¹H) + N·m(n)
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masse mesurée de l'atome
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défaut de masse Δm
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part de masse disparue Δm / m
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énergie de liaison B = Δm·c²
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B/A mesuré
—
B/A selon la formule de Weizsäcker (écart)
—
Ce qu'il faut retenir. La courbe monte, culmine autour du fer et du nickel — le maximum mesuré est au — — puis redescend lentement. Tout noyau qui se rapproche du sommet libère de l'énergie : en fusionnant à gauche (hydrogène → hélium) ou en se cassant à droite (uranium → baryum + krypton). Les masses utilisées sont celles des atomes : les électrons se compensent, car Z·m(¹H) contient aussi Z électrons.
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La masse d'un système n'est pas la somme des masses
Un photon (un grain de lumière) n'a pas de masse. Pourtant deux photons qui partent dans des directions différentes forment un système qui a une masse. La règle générale de la relativité relie l'énergie totale E, la quantité de mouvement totale p et la masse M : E² = (pc)² + (Mc²)². Pour un corps immobile (p = 0), elle redonne E = Mc².
À gauche, les deux photons (flèches bleues, longueur proportionnelle à l'énergie) et la quantité de mouvement totale (violet). À droite, le triangle rectangle de la relation E² = (pc)² + (Mc²)² : l'hypoténuse est l'énergie totale, un côté la quantité de mouvement, l'autre la masse.
énergie totale E
—
quantité de mouvement totale pc
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masse du système Mc² = √(E² − (pc)²)
—
contrôle √(2E₁E₂(1−cos θ)) (écart)
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vitesse du « centre » du système v/c = pc/E
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masse en électrons (mₑc² = 0,510 999 MeV)
—
Ce qu'il faut retenir. Deux photons de 0,511 MeV partant dos à dos ont une masse totale égale à celle de deux électrons : c'est exactement ce qui sort quand un électron et son antiparticule, le positon, s'annihilent (on s'en sert dans les scanners TEP des hôpitaux). Parallèles, les mêmes photons n'ont plus aucune masse. Conséquence étonnante : une boîte à miroirs remplie de lumière pèse plus lourd que vide, et environ 99 % de la masse d'un proton vient de l'énergie de mouvement et de liaison des quarks et des gluons qui s'y agitent, non de leurs masses propres.
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La masse qui manque : de la flamme au Soleil
Dans toute réaction qui libère de l'énergie, les produits pèsent un peu moins que les réactifs. E = mc² dit combien : l'énergie libérée est la masse manquante multipliée par c². Choisissez une réaction : on pèse avant, on pèse après, et la balance mesure ce qui est parti sous forme d'énergie.
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masse avant
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masse après
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masse manquante Δm
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part de la masse convertie Δm / m
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énergie libérée Q = Δm·c²
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énergie par kilogramme de réactifs
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comparée à la combustion du méthane
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contrôle
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Le Soleil rayonne 3,828·10²⁶ W, soit une perte de masse de L/c² = — par seconde. Depuis l'ouverture de cet onglet, il a perdu :
—
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Ce qu'il faut retenir. E = mc² ne dit pas d'où vient l'énergie — des liaisons chimiques entre atomes ou de la force nucléaire entre nucléons —, elle dit combien la balance doit baisser. La seule différence entre une flamme et une étoile est l'ordre de grandeur : un dix-milliardième de la masse pour la chimie, quelques millièmes pour le nucléaire, et c'est ce facteur d'environ dix millions qui sépare un plein d'essence de quelques grammes de combustible nucléaire.
Une formule et son histoire
1900 — Henri Poincaré remarque que la lumière transporte une quantité de mouvement comme si elle avait une masse E/c², sans en tirer que tout corps en possède une.
1905 — Albert Einstein publie en septembre, dans les Annalen der Physik, un article de trois pages : « L'inertie d'un corps dépend-elle de son contenu en énergie ? ». Il y écrit m = L/V² (V désigne alors la vitesse de la lumière). C'est le raisonnement de la planche 1.
1932 — John Cockcroft et Ernest Walton cassent des noyaux de lithium avec des protons accélérés : les deux noyaux d'hélium emportent environ 17 MeV, ce qui correspond à la masse manquante. Première vérification nucléaire de la formule.
1938 — Otto Hahn et Fritz Strassmann trouvent du baryum dans de l'uranium bombardé de neutrons ; Lise Meitner et Otto Frisch comprennent qu'il s'agit d'une fission et estiment, avec E = mc², l'énergie libérée à environ 200 MeV par noyau.
1939 — Hans Bethe explique que les étoiles brillent en fusionnant l'hydrogène en hélium, et que le Soleil perd ainsi des millions de tonnes de masse à chaque seconde.
1942 — Première réaction en chaîne contrôlée à Chicago (Enrico Fermi). Suivront les bombes de 1945, puis l'électricité nucléaire civile dans les années 1950.
2005 — Une équipe du MIT et du NIST compare un défaut de masse mesuré à la balance atomique et l'énergie des rayons γ émis : la formule est vérifiée à environ 4·10⁻⁷ près.
2008 — Le calcul numérique de la chromodynamique quantique (Dürr et coll.) retrouve la masse du proton et des autres hadrons : elle provient presque entièrement de l'énergie des quarks et des gluons.
En résumé
La masse est de l'énergie
Un corps immobile contient l'énergie mc². Lui donner de l'énergie l'alourdit ; lui en prendre l'allège. Ce n'est pas une conversion « de matière en énergie », c'est la même grandeur vue de deux façons.
c² est énorme
D'où les écarts gigantesques : 10⁻¹⁰ de la masse pour une réaction chimique, quelques 10⁻³ pour la fission ou la fusion, 100 % pour l'annihilation matière-antimatière.
La masse n'est pas additive
Un noyau pèse moins que ses nucléons, deux photons sans masse forment un système massif, et la masse de notre corps vient presque toute de l'énergie enfermée dans les protons et les neutrons.
Pour aller plus loin
Pourquoi parle-t-on parfois de « masse relativiste » ? Certains manuels anciens appellent γm la « masse » d'un corps en mouvement. Les physiciens d'aujourd'hui préfèrent garder un seul mot pour une seule grandeur : la masse m, la même pour tous les observateurs, et l'énergie totale E = γmc², qui dépend de l'observateur. E = mc² est alors le cas particulier du corps immobile.
La formule complète. E² = (pc)² + (mc²)² couvre tous les cas : corps au repos (E = mc²), lumière (m = 0, E = pc), et tout l'entre-deux. L'énergie cinétique s'obtient par différence : K = E − mc² = (γ−1)mc², qui redonne ½mv² aux faibles vitesses.
Les masses utilisées. Masses atomiques de l'évaluation internationale des masses (AME), constantes du Système international 2019 (c, e exacts). La page de relativité de la série traite le reste de la théorie : dilatation du temps, contraction des longueurs, composition des vitesses.