Dynamique des solides : le tenseur d'inertie
Troisième page sur la dynamique du solide. En trois dimensions, un seul nombre ne suffit plus à dire comment la masse est répartie : il en faut neuf, rangés dans un tableau appelé tenseur d'inertie. Avec lui, on comprend pourquoi une roue mal équilibrée secoue la voiture, comment on oriente un satellite sans carburant, et pourquoi Explorer 1 s'est mis à tourner à plat.
L'idée : une matrice à la place d'un nombre
Autour d'un axe fixe, le moment cinétique vaut L = I ω, avec un seul nombre I. Mais un solide libre peut tourner autour de n'importe quelle direction de l'espace, et sa réponse dépend de cette direction.
La vitesse de rotation est un vecteur ω (sa direction est l'axe de rotation, sa longueur la vitesse en radians par seconde). Le moment cinétique L est aussi un vecteur. Le lien entre les deux est un tableau de 3 × 3 nombres, le tenseur d'inertie I :
L = I ω, avec I = Σ m ( r² 𝟙 − r rT )
La somme porte sur tous les petits morceaux de masse m du solide, situés à la position r depuis le centre de gravité ; 𝟙 est la matrice identité. Écrit en coordonnées, cela donne :
| Σ m(y²+z²) | −Σ m x y | −Σ m x z |
| −Σ m x y | Σ m(x²+z²) | −Σ m y z |
| −Σ m x z | −Σ m y z | Σ m(x²+y²) |
Sur la diagonale (en bleu), on reconnaît les trois moments d'inertie autour des axes x, y et z. Hors de la diagonale (en orange) se trouvent les produits d'inertie : ils mesurent le déséquilibre de la masse, par exemple le fait qu'il y ait plus de matière en haut à droite qu'en haut à gauche. Le tableau est symétrique : six nombres différents seulement.
Quand L n'est pas parallèle à ω : la roue voilée
Un arbre vertical tourne à vitesse constante. Il porte une haltère (deux masses de 1 kg aux bouts d'une tige de 60 cm) fixée de travers, à un angle α de l'arbre. Tout paraît régulier, et pourtant les paliers qui tiennent l'arbre doivent forcer en permanence.
Le moment cinétique L n'est pas dans l'axe : il penche de 90° − α et tourne avec l'haltère. Or un vecteur qui tourne change, et dL/dt = M exige un couple. Ce couple, les paliers le fournissent :
M = ω × L, de valeur M = m r² ω² sin 2α
Le moment cinétique est calculé de deux façons indépendantes : par la définition, en additionnant r × m v pour chaque masse, et par le produit du tenseur par ω. Le couple mesuré est la variation de L sur un très court instant.
Les neuf nombres d'un satellite
Un satellite est fait de morceaux : un corps en boîte, deux panneaux solaires, une antenne parabolique, un mât portant un magnétomètre. Son tenseur d'inertie s'obtient en additionnant celui de chaque morceau, déplacé au centre de gravité commun.
Pour déplacer le tenseur d'un morceau de masse m dont le centre est à la position d du centre de gravité, on utilise la version en trois dimensions du théorème de Huygens (ou de Steiner) :
I = Ipropre + m ( d² 𝟙 − d dT )
Le résultat est comparé à un calcul brutal : chaque morceau découpé en milliers de petits cubes, dont on additionne les contributions. Tournez ensuite le satellite : les neuf nombres changent tous, mais certaines combinaisons ne bougent pas. Ce sont les invariants du tenseur, qui ne dépendent que du solide et pas de la façon de le regarder.
Les axes principaux : diagonaliser le tenseur
Existe-t-il des directions privilégiées, où les produits d'inertie disparaissent ? Oui, toujours trois, perpendiculaires entre elles : les axes principaux d'inertie. Dans ce repère, le tenseur n'a plus que sa diagonale, les trois moments principaux I1 ≤ I2 ≤ I3.
Les trouver, c'est diagonaliser la matrice : chercher ses valeurs propres et ses vecteurs propres. La méthode de Jacobi (1846) le fait par petites rotations successives : chacune annule le plus grand produit d'inertie restant. Les autres réapparaissent un peu, mais de plus en plus petits. Autour d'un axe principal, et seulement là, L est parallèle à ω : le solide peut y tourner sans que rien ne force.
Orienter un satellite avec des roues à réaction
Dans l'espace, pas d'appui. Pour tourner, un satellite fait tourner en sens inverse trois roues internes montées selon ses axes x, y et z. Le moment cinétique total, satellite plus roues, reste nul : c'est lui qui guide tout.
On demande une rotation d'un angle donné autour d'un axe n, en accélérant puis en freinant. Pour que le satellite tourne vraiment autour de n, les roues doivent porter le moment cinétique h = −I ω : une commande qui tient compte du tenseur. Une commande naïve, qui n'actionnerait que la roue (ou la combinaison de roues) dirigée selon n, ferait tourner le satellite autour de la direction I−1n, et il manquerait sa cible. Le calcul intègre pas à pas les équations complètes du satellite et de ses roues :
I dω/dt = −τ − ω × (I ω + h), dh/dt = τ (τ : couple des moteurs des roues)
Satellites en liberté : Poinsot, Explorer 1 et le gradient de gravité
Livré à lui-même, un satellite n'obéit plus qu'à son tenseur d'inertie et aux petits couples de son environnement. Trois expériences montrent ce que cela produit : un roulement géométrique parfait, un basculement inattendu, un alignement spontané vers la Terre.
En 1834, Louis Poinsot trouve une image saisissante du mouvement libre. Prenez l'ellipsoïde d'inertie du satellite, attaché à lui. Le vecteur ω, convenablement réduit, touche toujours sa surface ; en ce point, le plan tangent est perpendiculaire à L et à une distance fixe du centre, √(2E) / L. Conclusion : l'ellipsoïde roule sans glisser sur un plan immobile, le plan invariable. La courbe tracée sur l'ellipsoïde est la polhodie ; celle tracée sur le plan, l'herpolhodie, qui en général ne se referme jamais.
Le 31 janvier 1958, le premier satellite américain, Explorer 1, est lancé en tournant sur son grand axe, comme une balle de fusil, à 750 tours par minute. Ses ingénieurs pensaient cette rotation stable : c'était l'axe de plus petit moment d'inertie, stable pour un solide parfaitement rigide. Mais ses quatre antennes souples fléchissaient à chaque tour et dissipaient un peu d'énergie. Or, à moment cinétique fixé, l'énergie E = L²/(2I) est la plus basse autour de l'axe de plus grand moment. Perdant peu à peu son énergie, sans pouvoir perdre de moment cinétique, le satellite a glissé vers une rotation à plat. Dès la première orbite, il tournait en culbutant. C'est la règle de l'axe majeur.
La pesanteur diminue avec l'altitude. Un satellite allongé placé en travers de la verticale a son bout bas un peu plus attiré, son bout haut un peu moins : un petit couple, le couple de gradient de gravité, le ramène vers la verticale. Il vaut M = 3 n² r̂ × (I r̂), où n est la vitesse angulaire de l'orbite et r̂ la direction de la Terre : encore le tenseur d'inertie. Le satellite oscille alors autour de la verticale, comme un pendule. Pour un satellite en forme de tige, la période des petites oscillations vaut Torbite / √3. C'est ce couple qui garde la face visible de la Lune tournée vers nous.
d²θ/dt² = −(3/2) n² (It − Ia)/It · sin 2θ (It : moment transversal ; Ia : moment autour du mât)
Où intervient le tenseur d'inertie ?
L'équilibrage des roues
Une roue parfaitement ronde peut vibrer si ses produits d'inertie ne sont pas nuls. L'équilibreuse du garagiste mesure les efforts sur deux plans et indique où poser des masselottes, à l'intérieur et à l'extérieur de la jante.
Les turbines et les vilebrequins
Les rotors de turbines, les tambours de machines à laver, les vilebrequins sont conçus pour qu'un axe principal coïncide avec l'axe de rotation. Sinon, les paliers s'usent à grande vitesse, car l'effort croît comme ω².
Le contrôle d'attitude
Télescopes spatiaux et satellites d'observation pointent grâce à des roues à réaction et, pour les plus lourds comme la Station spatiale, à des gyroscopes de commande. Le logiciel de bord calcule chaque commande avec le tenseur d'inertie, mis à jour quand le carburant se consume.
La stabilisation par gradient de gravité
Des satellites simples, sans moteur de pointage, déploient un long mât lesté : le gradient de gravité suffit à garder une face tournée vers la Terre. La Lune en est l'exemple naturel.
Le sport et la danse
Plongeurs, gymnastes et patineurs changent leur tenseur d'inertie en repliant bras et jambes. Un salto vrillé est une rotation autour d'un axe non principal, obtenue en asymétrisant le corps.
La conception des engins
Les logiciels de CAO calculent le tenseur d'inertie de chaque pièce et de l'ensemble : on en déduit le comportement d'une voiture en virage, d'un avion en roulis ou d'un drone en vol stationnaire.
Une brève histoire du tenseur d'inertie
En résumé
Un tableau de neuf nombres
L = I ω. Les moments d'inertie sont sur la diagonale, les produits d'inertie en dehors. Tant que ceux-ci ne sont pas nuls, L et ω divergent, et faire tourner le solide demande un couple.
Trois axes principaux
Diagonaliser le tenseur donne trois directions perpendiculaires et trois moments principaux. Tourner le solide change les neuf nombres, pas la trace, le déterminant ni les moments principaux.
Le moment cinétique commande
Conservé sans couple, il permet d'orienter un satellite avec des roues, fait rouler l'ellipsoïde de Poinsot, et oblige un satellite qui dissipe de l'énergie à finir autour de son axe de plus grand moment.
Pour aller plus loin
Pourquoi un tenseur et pas une simple matrice ? Un tenseur est un objet qui existe indépendamment du repère ; la matrice n'en est que l'écriture dans un repère donné. Changer de repère transforme la matrice en R I Rᵀ, et les propriétés physiques (valeurs propres, trace, déterminant) ne changent pas.
Inégalités triangulaires. Les trois moments principaux vérifient toujours I₁ + I₂ ≥ I₃ : aucun ne peut dépasser la somme des deux autres. L'égalité vaut pour une plaque plane, dont le moment perpendiculaire est la somme des deux autres (théorème des axes perpendiculaires).
Le cas de la Terre. La Terre est presque un solide symétrique : ses deux petits moments principaux ne diffèrent que d'environ deux cent-millièmes. C'est pourquoi on la traite souvent comme une toupie symétrique (voir la page sur la toupie et le gyroscope).
Lectures. L. Landau et E. Lifchitz, Mécanique, chapitre VI ; H. Goldstein, Mécanique classique, chapitre 5 ; M. Sidi, Spacecraft Dynamics and Control (Cambridge, 1997), pour les roues à réaction et le gradient de gravité.