La dynamique relativiste
Quand on pousse une particule au-delà d'une fraction de c, sa vitesse plafonne, son énergie ne plafonne pas. Il faut refaire la quantité de mouvement et l'énergie, et l'on découvre au passage que la masse peut se changer en énergie, et inversement.
Toutes les formules de la page tiennent dans ce triangle rectangle. Son côté vertical, mc², est le même pour tous les observateurs. Son côté horizontal pc grandit avec la vitesse. Son hypoténuse est l'énergie totale.
Une particule dont la vitesse varie. À droite, le triangle E² = (pc)² + (mc²)², qui s'allonge sans limite alors que β ne dépasse jamais 1.
La quantité de mouvement
La conservation de la quantité de mouvement est au cœur de la mécanique. Par le premier postulat, elle doit être vraie dans tout référentiel inertiel. Or, si l'on garde p = mv, un choc qui la conserve dans un référentiel ne la conserve plus dans un autre.
Voici un choc élastique calculé dans le référentiel du centre de masse, puis transformé avec Lorentz dans un référentiel qui défile à la vitesse V. On compare avant et après deux définitions de p.
Dans le centre de masse : les deux particules s'approchent et repartent avec une déviation d'angle θ.
Le même choc vu du référentiel défilant, avec les vitesses transformées.
Pousser toujours, sans jamais atteindre c
Exerçons une force constante F. La loi F = dp/dt reste vraie, mais avec le nouveau p. Celui-ci croît linéairement et sans limite, tandis que la vitesse plafonne.
Deux fusées sous la même force. Le pointillé orange suit Newton, et franchit c. La bleue suit p = γmv.
L'énergie totale et l'énergie cinétique
L'énergie cinétique est le travail qu'il faut fournir pour amener une particule du repos à la vitesse v. On additionne F·dx avec F = dp/dt, ce qui donne T = ∫v dp. Le résultat ne vaut plus ½mv² :
En gris, l'énergie de repos, intouchable. En bleu, l'énergie cinétique. En orange pointillé, ½mv². Une vitesse élevée n'ajoute plus que de l'énergie.
L'expérience de Bertozzi : la vitesse limite
En 1964, William Bertozzi, au MIT, accélère des électrons et chronomètre leur vol sur 8,4 m. Il mesure aussi la chaleur qu'ils déposent dans une plaque d'aluminium. Plus on leur donne d'énergie, plus ils s'approchent de c sans jamais la dépasser, et l'énergie mesurée est bien celle fournie.
v²/c² selon l'énergie cinétique. Droite orange : Newton, qui prévoit 2T/mc². Courbe bleue : relativité. Points verts : temps de vol des cinq séries, avec des erreurs de l'ordre de 10 %.
L'énergie de repos E₀ = mc²
En posant v = 0 dans E = γmc², il reste E₀ = mc². Une particule immobile contient cette énergie. Ce n'est pas qu'une écriture : l'énergie de repos peut se transformer. Mais la conséquence la plus surprenante est que la masse d'un système n'est pas la somme des masses de ses parties.
Deux boules de pâte identiques de masse m se heurtent de plein fouet et se collent. Dans le référentiel du centre de masse, la boule finale est immobile. L'énergie cinétique a disparu : elle est devenue de la chaleur à l'intérieur, et la masse finale M est plus grande que 2m.
En haut, vu du centre de masse. En bas, le même choc vu d'un référentiel défilant.
La relation E² = p²c² + m²c⁴ et les photons
Éliminons la vitesse entre E = γmc² et p = γmv : il reste E² = p²c² + m²c⁴. C'est la même structure que t² − x² : (E, pc) se transforme comme (t, x), et la masse est l'invariant. La formule garde un sens quand m = 0, ce que γmv n'avait pas : c'est la porte d'entrée du photon.
À gauche, le triangle. À droite, le point (pc, E) d'une particule : il reste sur son hyperbole quand l'observateur change. La droite jaune E = pc est celle du photon, et l'hyperbole y tend à grande énergie.
Pour un photon, m = 0, E = hν = hc/λ et p = E/c = h/λ. Il n'a pas de masse, mais il a une quantité de mouvement : la lumière pousse. Un atome qui absorbe un photon recule. Une voile dans la lumière du Soleil est poussée.
L'onde selon la longueur d'onde. En dehors du visible, gris conventionnel.
En 1923, Arthur Compton envoie des rayons X sur des électrons. La lumière diffusée a une longueur d'onde plus grande. Traitons le photon comme une particule : l'énergie et la quantité de mouvement se conservent, et l'électron emporte une partie. Le calcul donne directement le décalage.
Photon incident en jaune, photon diffusé en orange, électron en bleu. Le triangle à droite vérifie la conservation de p.
Un seul photon, même très énergétique, ne peut se changer en électron et positon dans le vide : son invariant E² − (pc)² est nul, alors qu'une paire doit avoir au moins (2mc²)². Il faut un partenaire : un noyau, ou un autre photon. Deux photons qui ne vont pas dans la même direction ont, eux, une masse invariante.
Les vecteurs p des deux photons et leur somme. Ils s'annulent à 180° : c'est le cas le plus favorable.
Les collisions et les accélérateurs de particules
Pour créer une particule de masse M, il faut que le système en collision ait une masse invariante √s au moins égale à Mc². C'est l'énergie dans le référentiel du centre de masse, seule énergie vraiment disponible : le reste doit servir à conserver la quantité de mouvement.
Deux protons. Soit l'un est au repos et l'autre arrive d'énergie E : on trouve √s ≈ √(2E·mc²). Soit tous deux arrivent à E, de plein fouet : √s = 2E. Doubler l'énergie d'une cible fixe ne fait gagner qu'un facteur √2.
√s selon l'énergie du faisceau, en échelle log-log. Traits horizontaux : énergies de repos à atteindre. Pour des protons, seule une fraction de √s est utilisable, car les collisions ont lieu entre leurs constituants.
En bleu, l'énergie totale du système. En rouge, ce qui est utilisable pour créer de la masse. Le reste est gâché en mouvement d'ensemble.
Pour créer un antiproton, on fait p + p → p + p + p + p̄ : il faut produire une paire, car la charge et le nombre de baryons se conservent. Naïvement, il suffirait donc de 2mc² ≈ 1,9 GeV d'énergie cinétique. En cible fixe, il en faut trois fois plus. Pourquoi ? Les quatre particules finales ne peuvent pas être immobiles dans le laboratoire : la quantité de mouvement initiale doit se retrouver.
En haut, le laboratoire. En bas, le centre de masse : au seuil, les quatre particules finales y sont immobiles.
Pour garder les particules sur un anneau, il faut un champ magnétique : p = qBρ, et donc une machine d'autant plus grande que p est élevé. Et il y a un prix à payer : une charge qui tourne rayonne, d'autant plus que γ est grand. Ce rayonnement synchrotron croît comme γ⁴, et ruine les anneaux à électrons à haute énergie.
Paquet de particules sur l'anneau, et jets de lumière émis vers l'avant : c'est l'effet phare de l'aberration.
Comment on l'a vérifié
- 1901-1915Kaufmann, puis Bucherer, dévient des électrons rapides : la quantité de mouvement dépasse mv.
- 1905Einstein : l'inertie d'un corps dépend de son contenu en énergie.
- 1906Planck écrit la dynamique relativiste : p = γmv et F = dp/dt.
- 1923Compton : le photon porte une quantité de mouvement.
- 1932Cockcroft et Walton vérifient E = mc² dans une réaction nucléaire. Anderson découvre le positon.
- 1955L'antiproton apparaît au Bevatron, au seuil calculé.
- 1964Bertozzi : l'électron ne dépasse jamais c, quelle que soit l'énergie.
- 1971Premier collisionneur de protons, les ISR du CERN.
- 2012Le boson de Higgs apparaît au LHC, à 125 GeV : de la masse créée à partir d'énergie cinétique.
La nouvelle mécanique
p = γmv et E = γmc². Newton en est le cas limite : à basse vitesse, on retrouve mv et ½mv² plus une constante, mc².L'invariant
E² − p²c² = m²c⁴. Énergie et quantité de mouvement changent selon l'observateur, mais la masse ne change pas. Masse nulle : la lumière.La conséquence
La masse d'un système inclut l'énergie de ses parties. L'énergie peut devenir de la masse : c'est tout le principe des accélérateurs.Pour aller plus loin
Masse relativiste ? Certains ouvrages définissent une « masse relativiste » γm. Elle ajoute un nom pour E/c², et trompe sur l'effet de la vitesse sur une particule. Les physiciens d'aujourd'hui gardent m pour la masse au repos, invariante, et c'est ce que fait cette page.
Pourquoi ne peut-on atteindre c ? Il faudrait une énergie infinie. La relation v/c = pc/E montre aussi qu'à énergie finie, une particule de masse non nulle reste toujours en dessous de c.
Dans la même série. emc2-v1.html pour E = mc² et ses conséquences, transformations-lorentz-v1.html pour le quadrivecteur et Doppler, dilatation-contraction-v1.html pour γ, percussions-chocs-v1.html pour les chocs classiques.
Sources principales. Bertozzi, American Journal of Physics 32, 1964 ; Compton, Physical Review 21, 1923 ; Particle Data Group pour les masses ; documentation LHC et LEP du CERN.