Une horloge en mouvement bat moins vite, une règle en mouvement est plus courte, et un seul nombre, le facteur de Lorentz, règle les deux. Les muons le confirment chaque jour, et des jumeaux pourraient le vérifier.
On parle parfois de « contraction du temps », mais le mot juste est dilatation : la durée mesurée entre deux tics d'une horloge qui passe s'allonge, c'est son rythme qui ralentit. Les longueurs, elles, se contractent bien. Les deux effets ont le même facteur.
À gauche, deux horloges de même construction : l'une au repos, l'autre vue en mouvement. À droite, deux règles identiques : l'une au repos, l'autre vue en mouvement. La vitesse défile.
L'horloge la plus simple possible : un éclair qui rebondit entre deux miroirs. Un tic à chaque aller-retour. Vue dans son propre référentiel, un tic dure 2H/c. Vue en mouvement, la lumière doit faire un trajet en zigzag, plus long, à la même vitesse c : c'est le second postulat. Le tic dure donc plus longtemps.
À gauche, l'horloge au repos. À droite, la même horloge qui passe devant nous, avec le trajet de la lumière.
Un aller : le triangle rectangle du calcul. Pythagore donne (cΔt/2)² = H² + (vΔt/2)², où Δt est la durée d'un tic complet.
Le facteur γ selon la vitesse, et en pointillé l'approximation 1 + β²/2, excellente en dessous de 0,3 c.
Le temps propre τ est la durée marquée par une horloge qui voyage elle-même d'un événement à un autre. Il ne dépend que du trajet, et pas de l'observateur. La formule du tic se généralise : à chaque instant, dτ = dt/γ. Sur un chemin quelconque, on additionne.
Trois horloges partent ensemble de O et se retrouvent ensemble en E. Déplacez le point rouge : il change le trajet de l'horloge rouge. Chaque petit trait marque une unité de temps propre : à vitesse élevée, ils s'espacent, et cette horloge en marque moins.
Diagramme espace-temps (c = 1). Les trajets doivent rester moins pentus que la lumière, en jaune. Le curseur « observateur » redessine toute la figure telle qu'il la verrait.
La longueur propre L₀ est celle d'un objet mesuré au repos. C'est la plus grande longueur qu'on puisse lui trouver. Vu en mouvement, il est plus court dans le sens du mouvement : L = L₀/γ. Pourquoi ? Voici deux raisonnements indépendants.
Un train de longueur propre 5 passe devant un poteau. Le poteau porte une horloge : elle mesure le passage avec son temps propre. Dans le train, le passage est mesuré avec deux horloges, en tête et en queue. Chacun multiplie sa durée par la vitesse, sur laquelle tous deux s'accordent.
En haut, vu du quai : le poteau est immobile. En bas, vu du train : c'est le poteau qui défile.
Dans la même cabine, plaçons deux horloges à lumière identiques, l'une debout et l'autre couchée dans le sens du mouvement. Elles doivent rester d'accord, sinon on détecterait le mouvement. Depuis notre référentiel, la lumière de l'horloge couchée court après un miroir qui fuit, puis va au-devant de l'autre. Un tic dure 2Lγ² : c'est trop long ! La seule manière qu'elle garde la cadence de sa voisine, 2Hγ, est que son bras soit raccourci.
Horloge debout en bleu, couchée en rouge, dessinées dans la cabine. Vitesses de la lumière vues de notre référentiel. Compteurs de tics à droite.
Les rayons cosmiques créent à haute altitude des muons, des particules instables de durée de vie 2,197 µs au repos. Même à la vitesse de la lumière, ils parcourraient en moyenne 660 m. Partis de 10 km ou plus, ils ne devraient pas arriver au sol. Pourtant, en ce moment, des dizaines d'entre eux vous traversent chaque seconde.
Chaque point est un muon : il disparaît à l'instant tiré au sort de sa désintégration. Mêmes tirages à gauche et à droite, seule la durée de vie change.
Fraction de muons encore en vie selon l'altitude de départ. Le point vert est le rapport mesuré par Frisch et Smith.
| Expérience | Dispositif | Résultat |
|---|---|---|
| Rossi et Hall, 1941 | Echo Lake (3 240 m) et Denver (1 616 m) | Les muons rapides survivent plus longtemps que les lents, comme le prévoit γ. |
| Frisch et Smith, 1963 | Mont Washington (1 917 m) et Cambridge, Massachusetts | 563 muons/h au sommet, 412 au niveau de la mer, contre 27 attendus sans dilatation. Facteur mesuré : 8,8 ± 0,8. |
| Bailey et coll., 1977 | Anneau de stockage du CERN, γ = 29,33 | Durée de vie 64,368(29) µs pour les μ⁻. Accord à environ 2·10⁻³ avec la dilatation relativiste. |
Paul Langevin le présente en 1911 : un voyageur part à grande vitesse, fait demi-tour et revient plus jeune que son jumeau. Mais le mouvement est relatif ! Du point de vue du voyageur, c'est la Terre qui s'éloigne et revient : ne devrait-elle pas être plus jeune ? Voici la réponse, en trois temps.
La symétrie est fausse : le jumeau resté sur Terre reste dans un seul référentiel inertiel. Le voyageur en change au demi-tour. À chaque changement, sa ligne de simultanéité bascule. Pour lui, la Terre ralentit à l'aller, ralentit au retour, mais au demi-tour, l'heure de la Terre qu'il dit « actuelle » saute.
La verticale est la Terre, le V est le voyageur. Sa ligne de simultanéité (bleue à l'aller, orange au retour) coupe la verticale à l'heure terrestre qu'il dit « actuelle ». La zone rouge est le saut.
« C'est donc l'accélération qui rajeunit le voyageur ? » Non. Remplaçons le demi-tour instantané par un virage à accélération propre constante. La durée de vie accumulée pendant le virage devient négligeable quand on accélère davantage, alors que la différence d'âge se stabilise, et tend vers celle du demi-tour instantané. Seule la géométrie du trajet compte, et l'accélération n'en est que le moyen.
En bleu, la différence d'âge totale, en rouge la part produite pendant le virage, selon l'accélération (échelle logarithmique). Trajet : 4,24 al à 0,8 c.
Dernière preuve : supprimons toute accélération. Une horloge A file vers Proxima et croise près de la Terre le jumeau resté à la maison, qui règle les montres. Au loin, elle croise une horloge B qui file en sens inverse, et B recopie sa lecture. B croise ensuite la Terre et compare. Personne n'a jamais accéléré.
Horloge A en bleu, horloge B en orange, Terre en vert. Le chiffre affiché suit le trajet A puis B.
| Hafele et Keating, 1971 : quatre horloges au césium autour du monde, écart à l'horloge de référence, en ns | ||||
|---|---|---|---|---|
| Sens du vol | Prévu, pesanteur | Prévu, vitesse | Prévu, total | Mesuré |
| Vers l'est | +144 ± 14 | −184 ± 18 | −40 ± 23 | −59 ± 10 |
| Vers l'ouest | +179 ± 18 | +96 ± 10 | +275 ± 21 | +273 ± 7 |
Le GPS corrige des effets analogues chaque jour. La pesanteur, qui relève de la relativité générale, s'y ajoute à la vitesse : c'est pourquoi les chiffres dépassent ceux de cette seule page.
Une règle contractée se voit-elle contractée ? Une mesure n'est pas une photographie. La lumière de ses différents points arrive avec des retards différents, et l'image semble plutôt tournée : c'est l'effet Terrell-Penrose, sujet de la page sur la géométrie de Minkowski.
Le voyageur a-t-il « vécu moins longtemps » ? Pas du tout de son point de vue : ses repas, ses battements de cœur et sa montre sont parfaitement normaux. Il est seulement arrivé dans le futur de la Terre plus vite que le jumeau resté à la maison.
Dans la même série. origines-relativite-v1.html, postulats-einstein-v1.html et simultaneite-v1.html pour ce qui précède, relativite-v1.html pour la vue d'ensemble, emc2-v1.html pour l'énergie.
Sources principales. Frisch et Smith, American Journal of Physics 31, 1963 ; Bailey et coll., Nature 268, 1977 ; Hafele et Keating, Science 177, 1972 ; Langevin, L'évolution de l'espace et du temps, 1911.