Décrire la lumière par des rayons ou par une onde : deux modèles, deux mathématiques, et un seul phénomène. Les rayons ne sont que la limite de l'onde quand la longueur d'onde devient très petite devant les objets rencontrés.
L'optique mathématique se sert des mathématiques pour décrire comment la lumière se propage, comment se forment les images, et comment se produisent les interférences, la diffraction et la polarisation. Elle dispose pour cela de deux modèles.
| Optique géométrique | Optique ondulatoire | |
|---|---|---|
| La lumière est… | un faisceau de rayons, des droites qui se brisent en changeant de milieu | une onde électromagnétique : un champ électrique et un champ magnétique qui oscillent en se propageant |
| Outils mathématiques | géométrie, trigonométrie, loi de Snell-Descartes, principe de Fermat | fonctions sinusoïdales, nombres complexes, intégrales (principe de Huygens-Fresnel), équations de Maxwell |
| Ce qu'elle explique | ombres, réflexion, réfraction, miroirs, lentilles, instruments d'optique | tout ce qui précède, plus les interférences, la diffraction, la polarisation, les couleurs des bulles de savon |
| Quand l'utiliser | quand les objets (trous, lentilles, obstacles) sont très grands devant la longueur d'onde | toujours ; indispensable quand les dimensions approchent la longueur d'onde |
La longueur d'onde λ de la lumière visible va de 400 nm (violet) à 700 nm (rouge) — moins d'un millième de millimètre. Face à une lentille de lunettes, c'est infime : les rayons suffisent. Face à un trou d'épingle ou aux sillons d'un CD, ce ne l'est plus : l'onde se révèle. Les deux modèles ne s'opposent donc pas : le premier est un cas limite du second, comme la planche 5 le montre.
Dans la page, les rayons sont en orange (ou dans leur couleur réelle quand la longueur d'onde compte), les fronts d'onde et intensités en bleu, les normales et repères en gris, les valeurs de référence en vert. Cette page complète celle consacrée aux mathématiques dans l'optique (principe de Fermat, matrices de transfert, arc-en-ciel), sans la répéter.
Dans un milieu homogène, la lumière va en ligne droite. En passant d'un milieu à un autre, le rayon se brise : c'est la réfraction. Chaque milieu est caractérisé par son indice n, qui dit combien la lumière y est ralentie (n = c/v). La loi de Snell-Descartes relie les angles, mesurés par rapport à la normale (la perpendiculaire à la surface). Quand on passe vers un milieu moins réfringent, au-delà d'un certain angle, le rayon ne peut plus sortir : c'est la réflexion totale, qui guide la lumière dans les fibres optiques.
Un instrument forme une image nette si tous les rayons partis d'un point convergent de nouveau en un point : on dit qu'il est stigmatique. Un miroir sphérique, facile à polir, ne l'est qu'à peu près : les rayons proches de l'axe se croisent au foyer, à mi-chemin entre le miroir et son centre, mais les rayons du bord se croisent plus près du miroir. C'est l'aberration sphérique. Le miroir parabolique, lui, renvoie exactement au foyer tous les rayons parallèles à l'axe : c'est la forme des télescopes, des phares et des antennes satellites.
Dans le modèle ondulatoire, la lumière est une vibration qui se propage. Les points qui vibrent en même temps forment un front d'onde ; les rayons ne sont que les perpendiculaires aux fronts d'onde. En 1678, Christiaan Huygens propose une règle simple : chaque point atteint par l'onde devient la source d'une petite onde sphérique, et le nouveau front est l'enveloppe de toutes ces ondelettes. Et comme une onde se décrit par une amplitude et une phase, deux ondes peuvent s'ajouter ou se détruire : ce sont les interférences.
Un front d'onde plan arrive obliquement sur la surface de l'eau. Le point A, touché le premier, émet une ondelette qui avance plus lentement dans l'eau (à la vitesse c/n). Pendant que le front achève d'atteindre B, l'ondelette de A n'a parcouru qu'une distance plus courte : le nouveau front, tangent à toutes les ondelettes, est incliné différemment. La loi de Snell-Descartes en découle.
Une lame très mince — bulle de savon, tache d'huile, traitement antireflet — renvoie deux ondes : l'une réfléchie sur sa face avant, l'autre sur sa face arrière, qui a parcouru deux fois l'épaisseur en plus. Selon ce retard, les deux ondes s'ajoutent ou s'annulent, et cela dépend de la longueur d'onde : certaines couleurs sont renforcées, d'autres éteintes. Le calcul exact additionne toutes les réflexions successives avec des nombres complexes.
La lumière est une onde transversale : son champ électrique vibre perpendiculairement à la direction de propagation. Dans la lumière naturelle, cette direction change au hasard ; un polariseur (comme les verres de certaines lunettes de soleil) ne laisse passer que la vibration parallèle à son axe. Seule l'optique ondulatoire peut en rendre compte : un rayon n'a pas d'orientation.
Derrière un premier polariseur, la lumière est polarisée. Un second polariseur, tourné d'un angle θ, ne garde que la projection du champ sur son axe, soit un champ multiplié par cos θ et une intensité multipliée par cos² θ : c'est la loi de Malus (1809). À 90°, plus rien ne passe. Mais glissez un troisième polariseur entre les deux : la lumière revient !
Quand la lumière se réfléchit sur du verre ou de l'eau, les deux directions de vibration ne sont pas renvoyées de la même façon. Les formules de Fresnel (1823) donnent la part réfléchie pour la vibration perpendiculaire au plan d'incidence (s) et pour la vibration parallèle (p). À un angle précis, l'angle de Brewster, la composante p n'est plus réfléchie du tout : le reflet est entièrement polarisé. C'est pour cela que des lunettes polarisantes suppriment les reflets sur l'eau.
Voici le lien entre les deux modèles. Une onde traverse une fente de largeur a et éclaire un écran à la distance L. Le principe de Huygens-Fresnel permet de calculer exactement l'éclairement sur l'écran, en additionnant les ondelettes issues de chaque point de la fente. Tout dépend d'un seul nombre, le nombre de Fresnel N = a²/(λL). Quand λ est grand (N petit), la lumière s'étale bien au-delà de la fente : c'est la diffraction. Quand λ devient petit (N grand), l'éclairement épouse l'ombre géométrique : les rayons réapparaissent.
Un sténopé est un appareil photo sans objectif : une boîte percée d'un petit trou. Les rayons disent : plus le trou est petit, plus l'image est nette, car chaque point de l'objet donne une tache de la taille du trou. L'onde dit l'inverse : plus le trou est petit, plus la lumière diffracte, en une tache d'Airy de diamètre 2,44·λf/d. Les deux effets se disputent la netteté, et il existe un trou optimal, là où les deux flous sont du même ordre.
La lumière suit des rayons rectilignes qui se réfléchissent et se réfractent selon la loi de Snell-Descartes. Elle suffit à comprendre les miroirs, les lentilles, les prismes et les instruments, tant que les objets sont grands devant la longueur d'onde.
La lumière est une onde électromagnétique transversale. Elle explique en plus les interférences (couches minces), la diffraction (fentes, trous) et la polarisation (Malus, Brewster).
Les rayons sont les perpendiculaires aux fronts d'onde, et l'optique géométrique est la limite de l'optique ondulatoire quand λ devient petit. Le nombre de Fresnel a²/(λL) dit lequel des deux modèles suffit.
L'équation eikonale. On peut rendre rigoureux le passage des ondes aux rayons : si l'on écrit l'onde sous la forme A·exp(i·2π·S/λ) et que l'on fait tendre λ vers 0 dans les équations de Maxwell, la phase S doit vérifier |∇S| = n. Les surfaces S = constante sont les fronts d'onde, et les courbes perpendiculaires sont les rayons, qui suivent alors le principe de Fermat.
Les applications. L'optique géométrique conçoit les objectifs, les lunettes, les télescopes et les fibres optiques ; l'optique ondulatoire règle les traitements antireflet, les réseaux des spectromètres, les hologrammes, les écrans à cristaux liquides (qui reposent sur la polarisation) et fixe la limite de résolution de tout instrument.
Au-delà. Quand la lumière est très faible ou interagit avec la matière atome par atome, il faut une troisième description, l'optique quantique, où la lumière est faite de photons. Mais pour presque tout ce que nous voyons, rayons et ondes suffisent.