Le modèle de Markowitz, puis les trois contraintes qui le rendent utilisable : nombre de lignes, liquidité, coûts de transaction.
Un gérant dispose de huit actifs. Il connaît — croit connaître — leur rendement espéré et la façon dont ils bougent ensemble. Il cherche la combinaison qui donne le plus grand rendement espéré pour un niveau de risque fixé. Écrit ainsi, en 1952, le problème a une solution analytique en trois lignes d'algèbre linéaire.
La solution analytique est inutilisable telle quelle. Elle vend à découvert, elle met 4 % du portefeuille sur une valeur qu'on ne peut pas acheter en une semaine, elle recommande de tout retourner chaque mois, et surtout elle prend μ et Σ pour des données alors que ce sont des estimations. Les quatre premières planches ajoutent une contrainte à la fois et mesurent ce qu'elle coûte. La cinquième s'occupe du vrai problème.
Le rendement d’un portefeuille est la moyenne pondérée des rendements de ses actifs. Si vous placez 60 % dans une action qui rapporte 10 % et 40 % dans une autre qui rapporte 5 %, le rendement du portefeuille est :
60 % × 10 % + 40 % × 5 % = 8 %.
Le risque — mesuré ici par la volatilité, c’est-à-dire l’ampleur des fluctuations — ne se calcule pas de la même manière. Il dépend du risque de chaque actif, mais aussi de la façon dont leurs cours évoluent ensemble. C’est ce que mesurent les covariances :
- Si les actifs montent et baissent ensemble, leurs fluctuations se cumulent : la diversification protège peu.
- S’ils évoluent de façon moins synchronisée, leurs fluctuations se compensent en partie : le portefeuille peut être moins volatil que chacun de ses actifs.
- S’ils évoluent en sens opposés, cette compensation peut être encore plus forte.
Par exemple, deux actifs ayant chacun une volatilité de 20 %, détenus à parts égales, donnent une volatilité de portefeuille de 20 % s’ils sont parfaitement corrélés, mais d’environ 14,1 % si leurs rendements ne sont pas corrélés.
La diversification permet donc de réduire la volatilité sans nécessairement réduire le rendement espéré. Ce qui compte, ce n’est pas seulement le nombre de titres, mais leur comportement les uns par rapport aux autres.
En fait, le risque (volatilités) dépend des covariances. Déplacez les poids et regardez le point rouge se promener dans le nuage des portefeuilles possibles.
On remplace R par t·R + (1−t)·I. À t = 0 les huit actifs deviennent indépendants.
La courbe du bas est calculée deux fois. D'un côté on prend tous les sous-ensembles de n actifs parmi 8 — 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 — on équipondère chacun et on fait la moyenne exacte des variances. De l'autre on applique la formule
où v̄ est la variance moyenne et c̄ la covariance moyenne. Les deux coïncident au dernier chiffre. On y lit ce que la diversification ne fera jamais : le terme individuel s'efface en 1/n, le terme de covariance reste. Ajouter des lignes fait descendre le risque vers √c̄ = 11,35 %, pas vers zéro. Ramenez le multiplicateur de corrélation à 0 et le plancher tombe à zéro : c'est bien la corrélation, et elle seule, qui borne le bénéfice de la diversification.
Fixez le niveau de risque, la planche cherche le rendement maximal. Deux fois : une fois par la formule fermée de Markowitz, une fois par un algorithme qui ne connaît pas la formule. Puis on interdit les poids négatifs et on mesure ce que cela coûte.
Sans contrainte de signe, la frontière est une hyperbole dont on connaît l'équation exacte. En posant A = μᵀΣ⁻¹μ, B = 1ᵀΣ⁻¹μ, C = 1ᵀΣ⁻¹1 et D = AC − B² :
L'algorithme, lui, part de l'équipondération et descend le gradient en se reprojetant à chaque pas sur l'ensemble admissible. Il ne sait rien de Σ⁻¹. Les deux tombent d'accord à 10⁻¹⁵ près. Le contrôle KKT est indépendant des deux : au point optimal, tous les gradients des lignes libres doivent être égaux, ceux des lignes à zéro plus grands. C'est cet écart-là qui est affiché, et il reste au niveau du bruit d'arrondi.
Au niveau de risque par défaut, interdire le découvert coûte une vingtaine de points de base de rendement : la solution libre y vend la banque à hauteur de −14,7 %, et la solution contrainte doit la remplacer. Le portefeuille tangent, lui, ne vend qu'à −6,3 %. Sur un univers de trois cents titres estimés sur cinq ans, la même interdiction coûterait bien davantage en apparence — et rapporterait bien davantage en réalité : c'est le sujet de la planche V.
Un mandat impose souvent un nombre maximal de lignes : frais de garde, suivi, reporting. La contrainte s'écrit en une ligne et détruit tout. Le problème cesse d'être convexe ; il faut énumérer.
L'heuristique naturelle est fausse. Résoudre sans contrainte, garder les K plus gros poids, réoptimiser sur ce support : c'est ce que tout le monde fait, et le bouton « épreuve » compte sur deux cents niveaux de risque combien de fois elle rate l'optimum. À K = 3 elle rate 140 fois sur 200, perdant 71 points de base en moyenne et jusqu'à 191 ; à λ = 20 avec K = 2, elle propose un portefeuille dont l'utilité est négative quand l'optimum est positif. La raison est simple : les deux plus gros poids de la solution à six lignes ne sont pas la meilleure paire, parce qu'ils avaient été choisis pour ce qu'ils apportaient en présence des quatre autres.
La frontière n'est plus concave. Le bouton « mélanger » cherche, parmi toutes les paires de portefeuilles situés sur la frontière K = 2, celle dont la moyenne est la plus avantageuse. Il trouve LUX+OR d'un côté, SAN+TEC de l'autre : à moitié-moitié, le mélange rend 101,7 points de base de plus que la frontière au même niveau de risque. Mais il compte quatre lignes, donc il est inadmissible. C'est la signature d'un ensemble non convexe, et c'est pourquoi aucune méthode de gradient ne peut résoudre ce problème.
Ici l'énumération est possible ; en pratique, non. Avec 8 actifs et K = 4, il y a 162 sous-ensembles. Avec 50 actifs et K = 10, il y en a 12 103 014 490 — à un millième de seconde par sous-problème, quatre mois de calcul. Au-delà, on passe à la séparation-évaluation ou à la relaxation en norme ℓ₁.
Deux contraintes que la formule ignore et que le marché rappelle : on ne peut pas prendre une position qu'on ne pourrait pas déboucler, et chaque aller-retour se paie.
Plafond de la ligne i : uᵢ = part × délai × volumeᵢ / encours, tronqué à 1.
La courbe du bas est la capacité de la stratégie : le meilleur ratio de Sharpe encore atteignable en fonction de l'encours. Elle est plate jusqu'à 25 M€, puis décroît sans se redresser. Et surtout, elle s'arrête net.
Le portefeuille doit être investi en entier, donc la somme des plafonds doit atteindre 1. Comme chaque plafond décroît en 1/encours, il existe un encours au-delà duquel aucun portefeuille n'est admissible. Le seuil vaut exactement part × délai × (somme des volumes) : avec les réglages par défaut, 148,65 M€. Juste en dessous, une seule solution survit, et c'est le portefeuille proportionnel aux volumes échangés — 60,5 % d'obligations d'État, 0,5 % d'immobilier — qui rend 4,447 % pour 5,718 % de risque. Le gérant n'a plus aucun choix : c'est le marché qui a choisi pour lui.
Tout ce qui précède suppose μ et Σ connus. Ils ne le sont jamais : on les estime sur un historique. Ici la vérité est fabriquée par la page, donc parfaitement connue, et l'on peut mesurer l'écart entre ce que l'optimiseur croit obtenir et ce qu'il obtient.
Avec cinq ans de données mensuelles, l'erreur-type sur un rendement espéré annuel de 9,5 % vaut σ/√(T/12) ≈ 9,8 points — plus grande que la quantité mesurée. L'optimiseur, lui, ne le sait pas : il traite μ̂ comme une donnée et concentre le portefeuille sur les actifs dont l'estimation a eu de la chance. La courbe bleue est ce qu'il annonce, la rouge est là où le même portefeuille se trouve réellement. L'écart n'est pas du bruit : il est systématiquement défavorable, parce que la sélection du maximum est elle-même biaisée.