Les nombres p-adiques
D'habitude, deux nombres sont proches quand leur différence est petite. Kurt Hensel propose en 1897 une autre idée : deux entiers sont proches quand leur différence est divisible par une grande puissance d'un nombre premier p. Avec cette distance, 1 + 2 + 4 + 8 + … converge, et sa somme vaut −1. En complétant les rationnels pour cette distance, on obtient les nombres p-adiques, écrits avec une infinité de chiffres vers la gauche. Ils servent à résoudre les congruences « modulo toutes les puissances de p à la fois », et sont devenus un outil central de la théorie des nombres.
Vue d'ensemble
La valuation vp(n) est l'exposant de p dans n, et la valeur absolue p-adique vaut |n|p = p−vp(n). Plus n est divisible par p, plus il est « petit ». Par exemple, pour p = 5 :
| n | 1 | 2 | 5 | 10 | 25 | 250 | 3 125 | 1/5 | 1/25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| v₅(n) | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | −1 | −2 |
| |n|₅ | 1 | 1 | 1/5 | 1/5 | 1/25 | 1/125 | 1/3 125 | 5 | 25 |
Cette valeur absolue est ultramétrique : |x + y|p ≤ max(|x|p, |y|p). La géométrie qui en résulte est déroutante : tout triangle est isocèle, et tout point d'une boule en est le centre.
La valeur absolue p-adique et la géométrie ultramétrique
Être proche, c'est avoir les mêmes derniers chiffres en base p.
|a − b|p ≤ p−k signifie que a ≡ b (mod pk), c'est-à-dire que a et b ont les mêmes k derniers chiffres en base p. Dans l'arbre des restes, a et b suivent le même chemin pendant k étages. L'inégalité ultramétrique en découle : si a et b ont k chiffres finaux communs, et b et c en ont aussi k, alors a et c aussi. Conséquence : dans tout triangle, les deux plus grands côtés sont égaux. Les boules sont soit emboîtées, soit disjointes, jamais à cheval.
Les développements p-adiques : des chiffres à l'infini vers la gauche
Les nombres p-adiques s'écrivent comme les entiers en base p, mais sans fin vers la gauche.
Un entier p-adique est une suite infinie de chiffres …d₃d₂d₁d₀, qu'on additionne et multiplie avec les retenues habituelles, en allant vers la gauche sans jamais s'arrêter. Ainsi …1111 en base 2 plus 1 donne …0000 : c'est −1. Tout rationnel a/b sans facteur p au dénominateur a un développement, et celui-ci finit par être périodique, exactement comme les décimales d'un rationnel. Par exemple, en base 2, 1/3 = …0101011 : multiplié par 3 = 11₂, il redonne …0001. La série 1 + p + p² + … converge p-adiquement, car ses termes tendent vers 0, et sa somme vaut 1/(1 − p) comme d'habitude.
Le lemme de Hensel : relever une solution, chiffre après chiffre
Une solution modulo p devient une solution modulo toutes les puissances de p.
Soit f un polynôme à coefficients entiers et x₀ tel que f(x₀) ≡ 0 (mod p) avec f′(x₀) ≢ 0 (mod p). Hensel montre que x₀ se relève, de façon unique, en une racine p-adique de f. On peut trouver les chiffres un par un, chacun par une congruence du premier degré. On peut aussi appliquer la méthode de Newton, x ↦ x − f(x)/f′(x), qui double le nombre de chiffres exacts à chaque pas. Pour f(x) = x² − a, il suffit que a soit un carré non nul modulo p (voir la page sur les résidus quadratiques). Ainsi √−1 existe dans ℚ₅, mais pas dans ℚ₃.
Le local et le global : Ostrowski et Hasse-Minkowski
Les valeurs absolues de ℚ sont toutes connues, et elles se compensent exactement.
Ostrowski a démontré en 1916 qu'à équivalence près, les seules valeurs absolues sur ℚ sont la valeur absolue usuelle |·|∞ et les |·|p. Elles vérifient la formule du produit : pour tout rationnel x non nul, |x|∞ · Πp |x|p = 1. Chaque complétion (ℝ et les ℚp) est un point de vue « local » sur ℚ. Le principe de Hasse affirme qu'une équation quadratique a une solution rationnelle dès qu'elle en a une dans ℝ et dans chaque ℚp (Minkowski 1890, Hasse 1921). Pour la conique ax² + by² = z², il suffit de calculer un nombre fini de symboles de Hilbert (a, b)p = ±1.
Signature : le portrait de ℤp, les racines de Teichmüller, le logarithme p-adique
Une géométrie fractale, des racines de l'unité inattendues et une analyse complète.
On peut dessiner ℤp dans le plan en envoyant le nombre de chiffres d₀, d₁, d₂… sur le point Σ λk·e2iπdk/p, avec λ assez petit. Les nombres ayant le même dernier chiffre se regroupent dans un même amas ; à l'intérieur, l'avant-dernier chiffre forme des sous-amas, et ainsi de suite. Pour p = 3, on obtient un triangle de Sierpiński : ℤp est compact et totalement discontinu, comme l'ensemble de Cantor, auquel il est d'ailleurs homéomorphe.
D'après le petit théorème de Fermat, ap ≡ a (mod p). Mieux, la suite a, ap, ap², ap³… converge p-adiquement vers un nombre ω(a), qui vérifie ω(a)p−1 = 1 et ω(a) ≡ a (mod p) : ℤp contient les p − 1 racines (p − 1)-ièmes de l'unité, une par reste non nul. Ce sont les représentants de Teichmüller (1936). Dans ℤ₅, il y a donc un i, une racine de −1, qui commence par …3032431212 en base 5.
Dans ℚp, une série converge dès que ses termes tendent vers 0, ce qui est bien plus simple qu'avec les réels. La série log(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … converge donc pour |x|p < 1, c'est-à-dire pour x multiple de p, même si les dénominateurs n contiennent des puissances de p. Le logarithme p-adique transforme encore les produits en sommes, ce que la page vérifie modulo p¹⁵. Ces outils d'analyse p-adique ont servi à Dwork (1960) pour démontrer la rationalité des fonctions zêta des variétés sur les corps finis.
Une brève histoire
En résumé
Une autre distance
|x|p = p−vp(x) : être proche, c'est être congru modulo une grande puissance de p. La géométrie devient ultramétrique et fractale.
Des chiffres à gauche
Les p-adiques s'écrivent avec une infinité de chiffres vers la gauche ; −1 = …(p−1)(p−1), et les rationnels ont un développement périodique.
Un outil
Le lemme de Hensel relève les solutions, le principe de Hasse ramène le global au local, et l'analyse p-adique est devenue un pilier de l'arithmétique moderne.
Pour aller plus loin
Le principe de Hasse peut échouer au-delà du degré 2 : Selmer (1951) a montré que 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 a des solutions dans ℝ et dans tous les ℚp, mais aucune solution rationnelle non triviale.
Les nombres de Bernoulli vérifient des congruences (Kummer) que l'on comprend comme des propriétés d'une fonction zêta p-adique (Kubota et Leopoldt, 1964).
Liens. Résidus quadratiques ; Fermat, Euler et restes chinois ; formes quadratiques binaires ; ordre multiplicatif et racines primitives (racines de l'unité) ; théorie algébrique des nombres.