De la mesure à l'intégrale de Lebesgue et aux probabilités
Une fois que l'on sait mesurer des ensembles compliqués, deux grandes constructions en découlent presque d'elles-mêmes : l'intégrale de Lebesgue, qui additionne les valeurs d'une fonction en mesurant les ensembles où elle prend ces valeurs, et la théorie moderne des probabilités, qui n'est rien d'autre que la théorie de la mesure appliquée à un espace de masse totale 1.
Un seul dictionnaire pour deux théories
La théorie de la mesure fournit trois ingrédients : un ensemble Ω, une tribu 𝒜 (la famille des parties que l'on sait mesurer) et une mesure μ, qui additionne de façon σ-additive. Avec ces trois ingrédients on construit l'intégrale ; en imposant μ(Ω) = 1, on obtient les probabilités.
En 1933, Kolmogorov a montré qu'il suffisait de traduire mot à mot. Chaque ligne du tableau ci-dessous est illustrée par une planche.
| Théorie de la mesure | Intégrale de Lebesgue | Probabilités | Planche |
|---|---|---|---|
| espace mesuré (Ω, 𝒜, μ) | le domaine d'intégration, muni de sa mesure | espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), avec P(Ω) = 1 | toutes |
| partie mesurable A | ensemble où l'on intègre | événement | 3, 4 |
| fonction mesurable f | fonction intégrable | variable aléatoire X | 1, 3 |
| μ(f⁻¹(B)), mesure image | mesure des ensembles de niveau | loi de X : P(X ∈ B) | 1, 3 |
| ∫ f dμ | intégrale de Lebesgue | espérance E[X] | 1, 2, 3 |
| vrai sauf sur un ensemble de mesure nulle | presque partout | presque sûrement | 4 |
| sous-tribu ℬ ⊂ 𝒜 | découpage plus grossier de Ω | information disponible | 5 |
| dérivée de Radon-Nikodym | densité d'une mesure par rapport à une autre | densité de probabilité, espérance conditionnelle | 3, 5 |
Intégrer en mesurant : on découpe l'axe des valeurs
Riemann découpe l'axe des x en petits segments et multiplie la largeur par une hauteur. Lebesgue découpe l'axe des y en tranches et, pour chaque tranche, mesure l'ensemble des x où la fonction y tombe. Cet ensemble peut être très compliqué : c'est là que la théorie de la mesure devient indispensable.
On coupe [0 ; 1] en 2ⁿ tranches de hauteur Δ = 2⁻ⁿ. Pour la tranche [yᵢ ; yᵢ₊₁[, on mesure λ(f⁻¹([yᵢ ; yᵢ₊₁[)), la longueur de l'ensemble des x tels que yᵢ ≤ f(x) < yᵢ₊₁. La somme minorante compte chaque tranche à sa hauteur basse, la majorante à sa hauteur haute. Comme les ensembles de niveau se partagent [0 ; 1], l'écart entre les deux vaut exactement Δ.
La fonction (vert), la fonction en escalier « par tranches » qui la minore (bleu), la tranche choisie (orange) et l'ensemble des x où f tombe dans cette tranche, sa préimage (rouge, sur l'axe).
Pour chaque tranche, la longueur de sa préimage divisée par Δ (barres bleues) et la densité exacte (vert). Ce graphique est la mesure image de λ par f : la répartition des valeurs de f. C'est exactement la loi d'une variable aléatoire (planche 3).
Passer à la limite sous le signe intégrale
La grande force de l'intégrale de Lebesgue : sous des hypothèses simples, l'intégrale de la limite est la limite des intégrales. Ces théorèmes découlent directement de la σ-additivité de la mesure.
Convergence monotone (Beppo Levi, 1906) : si f₁ ≤ f₂ ≤ … sont positives et tendent vers f, alors ∫ fₙ → ∫ f, même si ∫ f = +∞. Convergence dominée (Lebesgue) : si fₙ → f presque partout et si toutes les |fₙ| restent sous une même fonction g d'intégrale finie, alors ∫ fₙ → ∫ f. Sans cette fonction dominante, la masse peut « s'échapper » : c'est ce que montrent les deux derniers exemples.
Les fonctions f₁, …, fₙ (gris), fₙ en bleu, la limite en vert, et l'enveloppe supk≤n fk en orange pointillé : c'est la plus petite fonction dominante possible.
En bleu, ∫ fk pour k = 1, …, n ; en vert, l'intégrale de la limite ; en orange, l'intégrale de l'enveloppe. Quand l'orange reste bornée, le théorème s'applique.
Une variable aléatoire est une fonction, sa loi est une mesure
Selon Kolmogorov, le hasard est entièrement contenu dans un espace probabilisé. Ici Ω = [0 ; 1] muni de la longueur λ : tirer au hasard, c'est choisir un point ω. Une variable aléatoire est simplement une fonction mesurable X(ω).
La probabilité que X tombe entre a et b est la longueur de la préimage : P(a ≤ X ≤ b) = λ(X⁻¹([a ; b])). La famille de ces nombres forme une nouvelle mesure sur la droite, la loi de X, notée μX. L'espérance est une intégrale de Lebesgue, et le théorème de transfert permet de la calculer indifféremment sur Ω ou sur la droite : E[g(X)] = ∫ g(X(ω)) dλ(ω) = ∫ g(x) dμX(x). Une même formule couvre un dé (loi discrète), une exponentielle (loi à densité) et un mélange des deux.
Le graphe de X sur Ω = [0 ; 1]. La bande orange est l'intervalle [a ; b] ; sa préimage, en rouge sur l'axe des ω, a pour longueur P(a ≤ X ≤ b). Les points tirés au hasard montent jusqu'au graphe puis sont envoyés vers leur valeur.
La loi μX : histogramme des valeurs tirées (bleu), loi exacte en vert — densité pour une partie continue, bâtons pour les masses ponctuelles.
« Presque sûrement » : le lemme de Borel-Cantelli
Les probabilités modernes parlent d'événements qui se produisent « une infinité de fois ». Pour savoir si un point ω tombe dans une infinité d'ensembles Aₙ, il suffit souvent d'additionner leurs mesures.
On pose les arcs Aₙ, de longueurs ℓₙ, bout à bout sur un cercle de longueur 1 : quand on dépasse 1, on repart de 0 et l'on commence un nouveau tour. Lemme de Borel-Cantelli (Borel 1909, Cantelli 1917) : si Σ ℓₙ est finie, presque tout ω n'appartient qu'à un nombre fini des Aₙ. Ici on le voit directement : le nombre de tours est fini. Avec ℓₙ = 1/n, la série diverge, le nombre de tours est infini et chaque ω est couvert une infinité de fois, bien que λ(Aₙ) → 0.
Une ligne par tour du cercle déroulé. Les arcs alternent deux teintes de bleu. Le trait rouge est le point ω choisi : il est couvert une fois par ligne qu'il traverse sur un arc.
En haut, le code-barres des rangs n où ω ∈ Aₙ (échelle logarithmique en n). En bas, en fonction de N (échelle logarithmique) : la mesure de la « queue » ⋃N/10<n≤NAₙ (orange) et son majorant, la somme des ℓₙ sur la même plage (violet). Avec ℓₙ = 1/n, le majorant reste proche de ln 10 ≈ 2,30 et la queue recouvre tout le cercle ; quand la série converge, les deux tendent vers 0.
L'information est une tribu : l'espérance conditionnelle
Une tribu ne sert pas seulement à dire ce qu'on peut mesurer : elle décrit aussi ce que l'on sait. L'espérance conditionnelle, pièce maîtresse des probabilités modernes, est la meilleure prévision de X compte tenu d'une information donnée par une tribu.
Écrivons ω en binaire : ω = 0,c₁c₂c₃… Connaître les n premiers lancers c₁, …, cₙ, c'est savoir dans laquelle des 2ⁿ cellules dyadiques se trouve ω. La tribu ℱₙ est formée de toutes les réunions de ces cellules. La meilleure prévision de X sachant ℱₙ est la moyenne de X sur la cellule de ω : c'est E[X | ℱₙ]. Kolmogorov l'a définie en 1933 grâce au théorème de Radon-Nikodym, valable pour n'importe quelle tribu.
X en vert ; en bleu, E[X | ℱₙ], constante sur chaque cellule. Le bandeau du haut montre les cellules : c'est tout ce que l'information ℱₙ permet de distinguer.
Remplaçons la prévision sur une cellule par une autre valeur, décalée de δ. L'erreur quadratique augmente toujours, exactement de δ² × (taille de la cellule) : c'est le théorème de Pythagore, car X − E[X | ℱₙ] est orthogonal à toute variable qui ne dépend que de l'information ℱₙ. L'espérance conditionnelle est une projection orthogonale.
En rouge, la prévision modifiée sur la cellule choisie.
Erreur quadratique en fonction du décalage δ : une parabole dont le minimum est en δ = 0.
Révélons les lancers un par un. La suite des prévisions Yₙ = E[X | ℱₙ](ω) est une martingale : en moyenne, la prévision de demain est celle d'aujourd'hui, car la moyenne d'une cellule est la moyenne de ses deux moitiés. Le théorème de convergence des martingales (Doob) affirme qu'elle converge presque sûrement vers X(ω) : à force d'information, la prévision devient la vérité.
En bleu, la trajectoire n ↦ Yₙ(ω) pour le point ω choisi, de n = 0 à 24 ; en gris, 40 trajectoires pour des ω tirés au hasard ; le trait vert marque X(ω).
Repères historiques
En résumé
L'intégrale vient de la mesure
∫ f dμ s'obtient en mesurant les ensembles où f prend ses valeurs. La σ-additivité donne gratuitement les théorèmes de convergence monotone et dominée.
Le hasard est un espace mesuré
Événement = ensemble mesurable, variable aléatoire = fonction mesurable, loi = mesure image, espérance = intégrale. Discret et continu ne font plus qu'un.
L'information est une tribu
« Presque sûrement » et l'espérance conditionnelle n'ont de sens précis qu'avec des ensembles négligeables et des sous-tribus : c'est le cadre des processus aléatoires et des martingales.
Pour aller plus loin
Formule du gâteau en couches. Pour f ≥ 0, ∫ f dμ = ∫₀^∞ μ({f > t}) dt. C'est la limite des sommes de la planche 1 ; en probabilités, elle donne E[X] = ∫₀^∞ P(X > t) dt.
Espaces Lᵖ. En identifiant les fonctions égales presque partout, on obtient des espaces complets (Riesz-Fischer, 1907). L² est un espace de Hilbert, et la planche 5 y montre l'espérance conditionnelle comme une projection orthogonale.
Radon-Nikodym. Si ν(A) = 0 dès que μ(A) = 0, alors ν(A) = ∫A h dμ pour une fonction h, la densité dν/dμ. Une densité de probabilité est la dérivée de la loi par rapport à λ ; l'espérance conditionnelle E[X | ℬ] est la dérivée de A ↦ E[X·1A] par rapport à P, sur la tribu ℬ.
Produits infinis. Le théorème d'extension de Kolmogorov construit une mesure sur l'ensemble des suites infinies de lancers. C'est ce qui donne un sens à « lancer une pièce indéfiniment » et aux processus aléatoires comme le mouvement brownien.
Cette page fait suite aux pages de cette série sur la théorie de la mesure et sur la théorie de l'intégration.