Newton décrit un corps par un point qui suit une trajectoire. La mécanique ondulatoire le décrit par une onde qui se propage. Cette page montre comment on passe de l'une à l'autre sans rien jeter : on généralise pas à pas, et à la fin on retrouve Newton comme un cas limite, celui où la longueur d'onde devient minuscule.
En 1834, l'Irlandais William Rowan Hamilton remarque que les équations de la mécanique de Newton ont exactement la même forme que celles de l'optique géométrique, celle des rayons lumineux. Or on savait déjà que les rayons ne sont qu'une approximation : la lumière est une onde, et les rayons sont les directions de propagation de cette onde quand sa longueur d'onde est très petite devant les objets rencontrés. Il a fallu près d'un siècle pour oser la question symétrique : et si les trajectoires de Newton n'étaient, elles aussi, que les rayons d'une onde ?
| Lumière | Matière | Ce qui joue le rôle de la « petite longueur d'onde » |
|---|---|---|
| Optique géométrique : rayons, lois de Descartes, principe de Fermat (le rayon minimise le temps) | Mécanique de Newton : trajectoires, F = ma, principe de moindre action (la trajectoire rend l'action stationnaire) | λ très petit devant la taille des obstacles : pour la matière, λ = h/p, et h ≈ 6,6·10⁻³⁴ J·s est minuscule à notre échelle |
| Optique ondulatoire : interférences, diffraction, équation d'onde de Fresnel et Maxwell | Mécanique ondulatoire : onde ψ, interférences d'électrons, équation de Schrödinger |
Unités de travail. Dans les planches 1, 4 et 5, on prend une masse m = 1 et une pulsation d'oscillateur ω = 1 ; la constante de Planck réduite ħ devient alors un simple nombre qu'on peut faire varier avec un curseur. C'est la meilleure façon de voir ce que change la mécanique ondulatoire : faire ħ grand pour la voir à l'œuvre, puis ħ petit pour la voir disparaître.
Question : que faut-il savoir pour prévoir le mouvement d'un corps ? Réponse de Newton : sa position, sa vitesse, et la force qui s'exerce sur lui.
Un corps de masse m placé dans un potentiel V(x) (une énergie qui dépend de la position, comme l'altitude pour une bille dans un bol) subit la force F = −dV/dx : il est poussé vers le bas de la pente. La deuxième loi de Newton dit :
Deux conséquences vont nous servir tout au long de la page. D'abord, l'énergie E = p²/2m + V(x) reste constante, où p = mv est la quantité de mouvement (ou impulsion). Ensuite, le corps ne peut jamais aller là où V(x) > E : il faudrait une énergie cinétique négative. Ces régions sont interdites (hachurées en rouge) ; la bille fait demi-tour aux points de rebroussement où V = E. Le second dessin montre l'espace des phases : chaque instant est un point (x, p), et le mouvement entier une courbe fermée.
Question : peut-on voir une famille de trajectoires comme les rayons d'une onde ? Oui, à condition de bien choisir les « fronts ».
Lançons de nombreux projectiles d'un même point, tous avec la même vitesse v₀, dans toutes les directions. Chacun suit sa parabole. Le long de chaque parabole, accumulons l'action réduite W = ∫ p · ds (impulsion fois distance parcourue, sommée pas à pas). Puis relions tous les points qui ont atteint la même valeur de W : ce sont les fronts d'action.
Le théorème de Hamilton-Jacobi affirme que les trajectoires coupent ces fronts à angle droit, exactement comme les rayons lumineux coupent les fronts d'onde. Ce n'est pas vrai pour n'importe quelle famille de courbes : les isochrones (points atteints au même instant, en pointillé gris) sont des cercles qui coupent les paraboles de travers. On mesure ci-dessous les deux angles sur le rayon choisi.
Question : quelle est la longueur de cette onde, et à quelle vitesse avance-t-elle ?
En 1924, Louis de Broglie propose d'associer à toute particule d'impulsion p une onde de longueur
La phase de l'onde vaut W/ħ : les fronts d'action de la planche 2 deviennent de vrais fronts d'onde, espacés d'une longueur λ. Mais une onde plane infinie ne ressemble pas à une particule. On superpose donc des ondes de nombres d'onde voisins : elles s'ajoutent au centre et se détruisent ailleurs. On obtient un paquet d'ondes, localisé, qui peut représenter un corps.
Surprise : dans ce paquet, les crêtes avancent à la vitesse de phase ω/k = v/2, deux fois moins vite que la particule. C'est l'enveloppe qui avance à la vitesse de groupe dω/dk = ħk/m = p/m, c'est-à-dire exactement la vitesse de Newton. L'onde rattrape Newton par son enveloppe, pas par ses crêtes.
Question : comment l'onde évolue-t-elle dans un potentiel ? On généralise la relation d'énergie de Newton.
Chez Newton, E = p²/2m + V(x). Pour une onde ei(kx − ωt), on a p = ħk et E = ħω : dériver par rapport à x fait apparaître k, dériver par rapport à t fait apparaître ω. Schrödinger remplace donc chaque grandeur par l'opération qui la « mesure » sur l'onde : p devient −iħ ∂/∂x et E devient iħ ∂/∂t. L'égalité d'énergie de Newton se transforme en équation d'onde :
Selon Max Born (1926), |ψ(x)|² est la densité de probabilité de trouver la particule en x ; l'intégrale de |ψ|² vaut 1 et doit le rester. Et Newton ? Paul Ehrenfest montre en 1927 que la position moyenne ⟨x⟩ obéit à une loi presque newtonienne : m d²⟨x⟩/dt² = −⟨dV/dx⟩. Si la force est linéaire (oscillateur harmonique), la moyenne de la force est la force de la moyenne, et ⟨x⟩ suit exactement Newton. Sinon, l'onde s'étale, « sent » la force en plusieurs endroits à la fois, et finit par décrocher.
Question : la mécanique ondulatoire ajoute-t-elle vraiment quelque chose, et comment retrouve-t-on exactement Newton ? Trois expériences y répondent.
Une onde enfermée dans un puits doit « tenir » entre les deux points de rebroussement, comme une corde de guitare entre ses deux attaches : seules certaines énergies conviennent. La règle de Bohr-Sommerfeld, raffinée par Wentzel, Kramers et Brillouin (méthode BKW), le dit en langage de Newton : l'aire de l'orbite dans l'espace des phases de la planche 1 doit être un nombre entier et demi de fois h.
On compare ces énergies « semi-classiques » aux vraies énergies de l'équation de Schrödinger, calculées indépendamment (différences finies sur 1 400 puis 2 801 points, suite de Sturm et extrapolation de Richardson).
Niels Bohr l'énonçait ainsi : pour les grands nombres quantiques, les prévisions quantiques doivent rejoindre les prévisions classiques. Newton prévoit qu'une bille qui oscille entre −A et +A passe plus de temps près des bords, où elle ralentit : sa densité de présence est 1/(π√(A² − x²)). La mécanique ondulatoire donne |ψₙ|², qui ondule très vite mais dont la moyenne locale épouse la courbe de Newton quand n grandit.
Envoyons un paquet d'ondes (ħ = m = 1, énergie moyenne E = 2) contre une barrière de hauteur V₀. Newton est catégorique : si E < V₀, la bille rebondit toujours ; si E > V₀, elle passe toujours. L'onde, elle, se partage : une partie franchit la barrière même quand c'est interdit (effet tunnel), et une partie rebondit même quand le passage est libre. La probabilité transmise mesurée sur la simulation est comparée à la formule exacte des ondes planes, moyennée sur le contenu en k du paquet. Il reste un écart de quelques millièmes, dû à la grille de calcul qui représente la barrière par une marche de points.
La phase est l'action. En écrivant ψ = A·eiS/ħ dans l'équation de Schrödinger et en gardant les termes dominants quand ħ → 0, on obtient exactement l'équation de Hamilton-Jacobi ∂S/∂t + (∇S)²/2m + V = 0 de la planche 2, plus une équation de conservation pour A². Les fronts d'onde de Schrödinger sont les fronts d'action de Hamilton.
Feynman (1948). Une autre façon de généraliser Newton : la particule « essaie » tous les chemins, chacun pondéré par eiS/ħ. Quand ħ est petit, les chemins voisins de la trajectoire classique (où S est stationnaire) s'ajoutent en phase et tous les autres s'annulent. Le principe de moindre action devient une conséquence des interférences.
Méthodes numériques de la page. Planche 1 : Verlet (pas 10⁻³) et quadrature de ∮dx/v par changement de variable. Planche 3 : solution exacte du paquet gaussien libre, moyennes par intégration numérique. Planches 4 et 5c : méthode « split-operator » (transformée de Fourier rapide sur 2 048 ou 4 096 points), qui conserve exactement la norme. Planche 5a : matrice de différences finies tridiagonale, valeurs propres par bissection de Sturm sur deux grilles et extrapolation de Richardson ; intégrales BKW par Gauss-Chebyshev. Planche 5b : fonctions d'Hermite par récurrence normalisée.
Pages voisines. La page sur la mécanique quantique développe les fentes de Young, le puits infini et l'atome d'hydrogène ; la page sur l'optique des rayons et des ondes montre le même passage de l'onde au rayon pour la lumière.