Comment on transforme une balle lancée, une masse suspendue, un pendule ou une poutre qui plie en équations — puis comment on lit dans ces équations l'avenir du système.
Une définition, puis une méthode
La mécanique mathématique est la branche des mathématiques qui construit et étudie des modèles décrivant le mouvement, l'équilibre et la déformation des objets soumis à des forces. Un modèle est une description simplifiée, écrite en symboles, qui garde de la réalité ce qui compte pour la question posée et oublie le reste.
Son travail tient en quatre gestes, que l'on retrouvera dans chacune des cinq planches :
1 · SimplifierLa balle devient un point, la poutre une ligne, l'air une force proportionnelle à la vitesse. Ce sont les hypothèses.
2 · Mettre en équationsOn écrit une loi : « masse × accélération = somme des forces » (Newton), « somme des forces = 0 » (équilibre), « courbure ∝ moment » (flexion).
3 · AnalyserOn résout exactement quand on le peut, on calcule pas à pas sur ordinateur sinon, et l'on étudie la stabilité de la solution.
4 · Prévoir et confronterOn en tire des nombres (portée, position, période, flèche) que l'expérience peut confirmer — ou démentir.
Ce que l'on étudie
Question posée
Équation type
Planche
Le mouvement d'un point
Où sera la balle, et quand ?
m a = F
1
L'équilibre
Où le système s'arrête-t-il, et y reste-t-il ?
Σ F = 0, soit ∇V = 0
2
Le mouvement et ses invariants
Que conserve le système, et comment le calcul doit-il le respecter ?
θ″ = −(g/L) sin θ
3
La déformation
De combien la poutre plie-t-elle, et casse-t-elle ?
EI w″ = M
4
La prévisibilité
Jusqu'où l'équation permet-elle de prévoir ?
double pendule
5
Dans toutes les figures : bleu = solution calculée, vert = référence exacte, rouge = force ou point d'attention, orange = variante, gris = repères. Chaque nombre affiché est confronté à une méthode indépendante.
Planche 1
Du monde aux équations : la balle lancée
Une balle part avec une vitesse v₀ sous un angle α. Trois modèles de l'air donnent trois équations différentes, donc trois prévisions différentes. Le choix des hypothèses n'est pas un détail : c'est lui qui décide de la réponse.
Modèle 1 · le videSeul le poids agit. x″ = 0, y″ = −g Solution exacte : une parabole.
Modèle 2 · frottement linéaireL'air freine proportionnellement à la vitesse. v′ = g − kv Solution exacte avec des exponentielles.
Modèle 3 · frottement quadratiqueL'air freine comme le carré de la vitesse (le cas réaliste). v′ = g − c |v| v Pas de formule : on calcule pas à pas.
Les trois balles partent ensemble ; les flèches rouges montrent leur vitesse. Même échelle horizontale et verticale.
Vide · portée exacte v₀² sin 2α / g
—
Vide · portée calculée pas à pas, écart
—
Linéaire · portée par la formule exacte
—
Linéaire · calcul pas à pas, écart
—
Quadratique · portée (pas 1 ms), écart avec le pas 0,5 ms
—
Quadratique · vitesse limite √(g/c) et vitesse à l'impact
—
Angle de portée maximale (quadratique), trouvé par section dorée
—
À retenir. Le même lancer donne trois portées différentes selon le modèle. Dans le vide, le meilleur angle est 45° ; avec la résistance de l'air il passe sous 45°, d'autant plus bas que le frottement est fort. Là où une formule existe, le calcul pas à pas (méthode de Runge-Kutta d'ordre 4) la retrouve à la précision de la machine : c'est ce qui autorise à faire confiance au calcul là où il n'y a plus de formule.
Planche 2
L'équilibre : le fond de la cuvette
Une masse est suspendue à deux ressorts accrochés en A et B. Elle est en équilibre quand les trois forces (poids et deux tensions) s'annulent. On peut dire la même chose autrement : l'équilibre est un point où l'énergie potentielleV ne varie plus au premier ordre. Un minimum de V est un équilibre stable ; un col ou un sommet, un équilibre instable.
V(x, y) = ½ k₁ (|PA| − ℓ₀)² + ½ k₂ (|PB| − ℓ₀)² + m g y · équilibre : ∇V = 0 · stabilité : valeurs propres de la hessienne
minimum (stable)col (instable)trajet de la masse lâchée
Carte de l'énergie potentielle : zones claires = énergie basse. Faites glisser la masse orange n'importe où puis lâchez-la : amortie, elle roule vers un fond de cuvette.
Avec des ressorts plus longs que la demi-portée et une masse légère, la masse peut rester perchée au-dessus de AB, ressorts comprimés : deux équilibres stables séparés par un col.
Équilibres trouvés (Newton depuis 400 départs)
—
Équilibre le plus bas : position (x ; y)
—
Somme des trois forces en ce point
—
Valeurs propres de la hessienne (N/m)
—
Fréquences des petites oscillations √(λ/m)/2π
—
Masse lâchée : arrivée, écart à l'équilibre de Newton
faites glisser la masse
À retenir. Deux calculs indépendants se rejoignent : la méthode de Newton résout ∇V = 0 directement, la simulation amortie laisse le système « chercher » seul son repos. Les valeurs propres de la hessienne (la courbure de la cuvette) disent tout de la stabilité : toutes positives, le point est un fond ; une négative, c'est un col, d'où la moindre perturbation fait tomber.
Planche 3
Le mouvement : ce que l'équation conserve
Le pendule simple obéit à θ″ = −(g/L) sin θ. Sans frottement, son énergieE = ½ L²ω² − g L cos θ (par unité de masse) reste constante : c'est une loi de conservation. Dans le plan de phase (angle, vitesse angulaire), le mouvement exact décrit donc indéfiniment la même courbe fermée. Trois méthodes de calcul pas à pas la respectent-elles ?
Trois pendules partis ensemble, chacun calculé par une méthode différente, avec le même pas de temps.
courbe exacte E = constanteEuler expliciteEuler symplectiqueRunge-Kutta 4
Plan de phase : horizontalement l'angle θ, verticalement la vitesse angulaire ω.
Période exacte 2π√(L/g) / MAG(1, cos θ₀/2)
—
Période mesurée (RK4, pas 1 ms, passages à zéro), écart
—
Formule des petits angles 2π√(L/g), erreur
—
Dérive d'énergie après 60 s · Euler explicite
—
Dérive maximale sur 60 s · Euler symplectique
—
Dérive après 60 s · Runge-Kutta 4
—
À retenir. Euler explicite fabrique de l'énergie à chaque pas : sa courbe s'écarte en spirale et, si le pas est grand, le pendule finit par faire des tours complets. Euler symplectique n'est pas plus précis à chaque pas, mais il respecte la structure de l'équation : son énergie oscille sans jamais dériver. Runge-Kutta 4 est bien plus précis, mais sa petite erreur va toujours dans le même sens (ici, une lente perte d'énergie). Pour simuler des planètes pendant des milliards d'années, on choisit la structure plutôt que la précision.
Planche 4
La déformation : la poutre qui plie
Une poutre de 2 m, de section rectangulaire large de 5 cm, est encastrée dans un mur à gauche et chargée. Le raisonnement suit une chaîne : la statique donne l'effort tranchant T et le moment de flexion M en chaque section ; la loi de comportement du matériau (Euler-Bernoulli) dit que la courbure est proportionnelle au moment, M/(EI) ; deux intégrations donnent la flèchew(x), c'est-à-dire le déplacement vertical.
T(x) → M(x) → w″(x) = −M(x) / (E I) → w′ → w, avec w(0) = 0 et w′(0) = 0 (encastrement), w compté vers le bas
Poutre au repos (gris pointillé) et déformée (bleu), déformation amplifiée pour être visible.
Contrainte maximale σ = M·(h/2)/I à l'encastrement
—
Part de la limite élastique utilisée
—
Flèche si h double, rapport mesuré
—
À retenir. La flèche ne dépend du matériau que par E et de la forme que par I = bh³/12 : doubler la hauteur divise la flèche par 8 — voilà pourquoi les poutres sont hautes et minces plutôt que carrées. La contrainte, elle, décide de la rupture. Le calcul pas à pas converge vers la formule exacte avec une erreur divisée par 4 chaque fois que l'on double N : c'est ce que signifie « ordre 2 ». Curiosité : avec la charge répartie, la valeur en bout tombe juste pour tout N, alors que les points intermédiaires restent faux à l'ordre 2 — un seul point juste ne prouve pas qu'un calcul est juste.
Planche 5 · signature
Les limites de la prévision : le double pendule
Accrochez un second pendule sous le premier. Les équations se déduisent des mêmes principes, elles sont parfaitement déterministes : un état initial donne un avenir et un seul. Pourtant on lâche ici deux jumeaux dont les angles de départ diffèrent d'un milliardième de radian. Tout dépend alors de l'énergie : à faible amplitude, le mouvement se décompose en deux modes propres et reste prévisible ; à grande amplitude, il devient chaotique.
pendule Ajumeau B, décalé de 10⁻⁹ rad
Les traînées suivent la masse du bas.
Écart entre les jumeaux (distance dans l'espace des états), en échelle logarithmique. Une droite montante signale une croissance exponentielle.
À retenir. Le calcul n'est pas en cause : l'énergie est conservée à mieux qu'un millionième près. C'est l'équation elle-même qui amplifie les écarts. En petites oscillations, l'écart entre les jumeaux reste de l'ordre du milliardième, et la période mesurée retombe sur celle des modes propres. À grande amplitude, il croît en moyenne exponentiellement — une droite sur le graphique logarithmique, dont la pente se lit dans la case « horizon » : l'écart est multiplié par dix toutes les deux secondes environ. Chaque chiffre de précision gagné sur l'état initial ne repousse donc l'horizon que de deux secondes à peu près ; un état initial connu au millième près ne laisse que quelques secondes de prévision fiable. Déterministe ne veut pas dire prévisible.
Quelques jalons
vers −250Archimède établit la loi du levier et les conditions d'équilibre des corps flottants : la statique naît comme géométrie.
1638Galilée, dans ses Discours, décrit la chute uniformément accélérée, la trajectoire parabolique et pose la question de la résistance des poutres.
1687Newton publie les Principia : trois lois du mouvement et la gravitation universelle ; le mouvement devient une équation différentielle.
1744Euler étudie l'élastique et la flexion des lames ; avec Daniel Bernoulli, il fonde la théorie des poutres utilisée en planche 4.
1788Lagrange publie la Mécanique analytique, sans une seule figure : l'équilibre et le mouvement se déduisent d'un principe d'énergie.
1822Cauchy introduit la notion de contrainte ; la mécanique des milieux continus décrit désormais la déformation en tout point.
1834Hamilton reformule la mécanique en coordonnées et impulsions : c'est le cadre des méthodes symplectiques de la planche 3.
1890Poincaré montre, sur le problème des trois corps, qu'un système déterministe peut être imprévisible en pratique.
1943–1956Courant, puis les ingénieurs de l'aéronautique, développent la méthode des éléments finis ; le calcul des structures passe à l'ordinateur.
En résumé
Modéliser, c'est choisir
Les hypothèses décident de l'équation, et l'équation de la réponse : trois modèles d'air, trois portées. Un bon modèle est le plus simple qui réponde juste à la question posée.
Calculer, c'est vérifier
Formule exacte, calcul pas à pas, quantité conservée, ordre de convergence : chaque résultat est confronté à un autre chemin. Un bon schéma numérique respecte aussi la structure de l'équation.
Prévoir, c'est connaître ses limites
Équilibre stable ou instable, oscillation régulière ou chaos : l'analyse dit non seulement ce qui va se passer, mais avec quelle confiance et pour combien de temps.
Pour aller plus loin
Les équations de Lagrange. Plutôt que de faire le bilan des forces, on écrit l'énergie cinétique T et l'énergie potentielle V dans des coordonnées bien choisies (les angles du double pendule), puis d/dt(∂L/∂q̇) = ∂L/∂q avec L = T − V. C'est ainsi qu'ont été obtenues les équations de la planche 5.
Le principe de moindre action. Le mouvement réel rend stationnaire l'intégrale de L dans le temps ; l'équilibre de la planche 2 en est le cas immobile, où il ne reste que V à rendre stationnaire.
L'élasticité en trois dimensions. La poutre est un modèle réduit ; un solide quelconque se décrit par un tenseur des contraintes et un tenseur des déformations reliés par la loi de Hooke, et se calcule par éléments finis.
Les exposants de Lyapunov. Le taux de croissance moyen de l'écart entre jumeaux mesure le chaos ; son inverse donne l'ordre de grandeur de l'horizon de prévision.
Dans ce cahier. Voir aussi les pages sur la cycloïde et l'horloge de Huygens, la chaînette et les voûtes, le solide dans le temps, le cube qui se déforme, le fluide dans une conduite et les systèmes dynamiques.