Additionner, multiplier, prendre le plus grand, composer deux applications : autant de façons de fabriquer un troisième objet à partir de deux. Une loi de composition est exactement cela, et ses propriétés se voient, se comptent et se vérifient.
Le mot et la chose
Une loi de composition interne sur un ensemble E associe à chaque couple (a, b) d'éléments de E un élément de E, noté a ∗ b. C'est donc une application de E × E dans E : elle doit être définie pour tous les couples, et son résultat doit rester dans E.
∗ : E × E → E, (a, b) ↦ a ∗ b. Une loi externe fait agir un autre ensemble K sur E : · : K × E → E, (λ, x) ↦ λ · x.
Le symbole ∗ n'a rien de sacré : selon les cas on écrit +, ×, ∘, ∪, ∩, max… L'ordre compte : (a, b) et (b, a) sont deux couples différents, et rien n'oblige a ∗ b et b ∗ a à être égaux. Voici le vocabulaire que les cinq planches mettent en scène.
Propriété
Définition
Exemple oui
Exemple non
Partie stable
A ⊂ E et a, b ∈ A ⇒ a ∗ b ∈ A
les pairs pour +
les impairs pour +
Commutative
a ∗ b = b ∗ a pour tous a, b
+, ×, max
−, ∘, puissance
Associative
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
+, ×, ∘
−, ÷, moyenne
Élément neutre e
e ∗ a = a ∗ e = a pour tout a
0 pour +, 1 pour ×
aucun pour la moyenne
Élément absorbant z
z ∗ a = a ∗ z = z pour tout a
0 pour ×
aucun pour +
Idempotent
a ∗ a = a
tout élément pour max
2 pour +
Symétrique a′ de a
a ∗ a′ = a′ ∗ a = e
−a pour + dans ℤ
2 n'en a pas pour × dans ℤ
Élément régulier
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y (et à droite)
tout réel non nul pour ×
0 pour ×
Distributive (deux lois)
a × (b + c) = a × b + a × c
× sur +, ∩ sur ∪
+ sur ×
Planche 1
Interne ou pas ? Le résultat doit rester dans la maison
Une opération familière n'est pas forcément une loi interne : dans ℕ, 3 − 5 tombe hors de ℕ. Choisissez un ensemble E et une opération : chaque case du tableau est un couple (a, b), coloriée en bleu si a ∗ b reste dans E, en rouge si le résultat sort, en gris si l'opération n'est pas définie.
Ligne a, colonne b, case a ∗ b. Les en-têtes montrent les premiers éléments de E ; pour un ensemble fini, le tableau est complet.
couples examinés
—
résultat dans E
—
résultat hors de E
—
non défini
—
verdict
—
À retenir. Un seul couple qui sort suffit à prouver que la loi n'est pas interne. À l'inverse, aucun nombre de cases bleues ne prouve la stabilité d'un ensemble infini : il faut un raisonnement, que le verdict rappelle. Pour un ensemble fini comme {−1 ; 0 ; 1}, le tableau complet, lui, vaut démonstration.
Faites glisser l'extrémité de u. En bleu λ·u suivi, bout à bout, de μ·u en orange ; en vert (λ + μ)·u, tracé juste à côté. Les pointillés montrent que les deux chemins partent et arrivent au même point.
Les réels ne sont pas des vecteurs, et pourtant on « multiplie » un vecteur par un réel. Cette multiplication prend ses deux entrées dans deux ensembles différents, ℝ et le plan : c'est une loi externe ℝ × P → P. On lui demande de bien s'entendre avec les lois internes : celles de ℝ (+ et ×) et celle du plan (+).
‖(λ+μ)·u − (λ·u + μ·u)‖
—
‖λ·(μ·u) − (λμ)·u‖
—
‖λ·u‖ ÷ ‖u‖ contre |λ|
—
1·u = u ?
—
À retenir. Une loi externe n'est jamais commutative au sens strict : écrire u·λ n'a pas de sens, car le premier argument doit être un réel. Les règles mesurées ici, (λ + μ)·u = λ·u + μ·u, λ·(μ·u) = (λμ)·u et 1·u = u (écarts nuls à l'arrondi machine près), auxquelles s'ajoute λ·(u + v) = λ·u + λ·v, font du plan un espace vectoriel.
Planche 2
Lire une table : commutativité, neutre, absorbant, idempotents
Sur un ensemble fini E = {0, 1, …, n − 1}, une loi se donne tout entière par sa table (dite table de Cayley) : à la ligne a et à la colonne b, on écrit a ∗ b. Chaque propriété du vocabulaire devient alors un motif visible dans le tableau. Cliquez une case pour changer sa valeur et fabriquer votre propre loi.
Couleur de fond = valeur de la case. Ligne a, colonne b. Un clic sur une case lui donne la valeur suivante (la loi devient « personnalisée »).
commutativité : paires a ≠ b discordantes
—
neutres à gauche / à droite
—
absorbant(s)
—
idempotents (a ∗ a = a)
—
réguliers à gauche / à droite
—
contrôle e ∗ e′ (gauche × droite)
—
Ce que l'on voit. Commutative = table symétrique par rapport à la diagonale. Neutre à gauche e = ligne e qui recopie l'en-tête ; neutre à droite = colonne qui recopie l'en-tête. La loi « on garde la droite » a n neutres à gauche et aucun à droite ; or dès qu'il existe un neutre à gauche e et un neutre à droite e′, ils sont égaux, car e ∗ e′ vaut e′ (e neutre à gauche) et vaut e (e′ neutre à droite). D'où l'unicité du neutre, que la dernière lecture vérifie couple par couple. Régulier à gauche = ligne sans répétition : on peut « simplifier » a ∗ x = a ∗ y.
Planche 3
L'associativité : quand les parenthèses ne comptent plus
Une loi ne combine que deux éléments à la fois. Pour en combiner davantage, il faut choisir un ordre, c'est-à-dire placer des parenthèses : avec quatre nombres, on a déjà cinq façons de faire. La loi est associative lorsque (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ; on démontre qu'alors tous les parenthésages donnent le même résultat, si bien qu'on peut écrire a ∗ b ∗ c ∗ d sans parenthèses. La planche les calcule tous, en fractions exactes.
L'arbre du parenthésage courant : chaque nœud rouge applique la loi à ses deux branches ; sa valeur est écrite à côté.
—
parenthésages énumérés
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nombre de Catalan C(2m, m)/(m + 1)
—
valeurs distinctes obtenues
—
motifs de signes ou d'exposants
—
Une barre par valeur distincte, rangées par ordre croissant ; la hauteur compte les parenthésages qui y mènent. En orange, la valeur du parenthésage affiché. Une loi associative ne laisse qu'une seule barre.
Ce que l'on voit. Pour −, chaque parenthésage revient à choisir un signe devant chaque terme : le premier est toujours +, le deuxième toujours −, les suivants sont libres, d'où 2k−2 motifs, que l'énumération retrouve tous. Avec les termes 1, 2, 3…, plusieurs motifs tombent pourtant sur la même valeur : la barre est plus haute, mais la loi n'en devient pas associative. Pour ÷, même chose avec des exposants ±1. Méfiance aussi envers les exemples mal choisis : la puissance n'est pas associative, mais (2²)² = 2^(2²) = 16 ; il faut quatre 2 pour séparer 256 de 65 536.
Planche 4
Symétriques et distributivité : ce que l'associativité permet
La loi la plus importante de toutes n'opère pas sur des nombres : c'est la composition des applications, (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Elle est associative par nature, possède un neutre, et pourtant seuls certains éléments y ont un symétrique. Les deux autres onglets montrent pourquoi l'associativité est indispensable à l'unicité du symétrique, puis comment deux lois s'articulent.
Table de ∘ sur toutes les applications de E dans E (ligne f, colonne g, case f ∘ g). Couleurs vives : le résultat est une bijection ; teintes pâles : il n'en est pas une. Les bijections sont rangées en tête. Cliquez une case.
En haut : on applique g puis f, ce qui donne f ∘ g. En bas : f puis g, ce qui donne g ∘ f.
associativité : triplets en défaut
—
couples (f, g) qui commutent
—
idempotents f ∘ f = f (comptés / formule)
—
éléments symétrisables (comptés / n!)
—
Ce que l'on voit. Aucun triplet ne met l'associativité en défaut : les deux côtés envoient x sur f(g(h(x))). Le neutre est l'identité. Mais une application qui confond deux points ne peut être « défaite » : seules les n! bijections ont un symétrique, et elles forment le bloc vif en haut à gauche, fermé sur lui-même. Le reste de la table est pâle pour une raison simple : composer avec une application non bijective ne rend jamais une bijection.
Une loi sur E = {e, a, b} : e est neutre, et a possède deux symétriques, a lui-même et b (cases vertes). À partir de l'étape 4, l'orange encadre a ∗ e, dernier calcul de a ∗ (a ∗ b), et le rouge e ∗ b, dernier calcul de (a ∗ a) ∗ b.
Dans une loi associative de neutre e, un élément a au plus un symétrique. La démonstration tient en une ligne : si a′ et a″ sont deux symétriques de a,
—
triplets non associatifs dans cette table
—
symétriques de a
—
À retenir. Chaque égalité de la chaîne est garantie par une propriété : le neutre, la définition des symétriques… sauf une, qui exige l'associativité. Dans cette table elle échoue, et la chaîne se rompt exactement à cet endroit : a ∗ (a ∗ b) vaut a, mais (a ∗ a) ∗ b vaut b. C'est pourquoi le mot « le » symétrique n'a de sens que pour une loi associative.
Un petit carré par valeur de a ; dans chaque carré, ligne b et colonne c. Vert : a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c). Rouge : échec. Cliquez une case pour lire le calcul.
Deux lois ⊕ et ⊗ sur le même ensemble. On dit que ⊗ est distributive sur ⊕ si a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) pour tous a, b, c : c'est la règle qui permet de « développer ». Toutes les lois proposées ici sont commutatives, si bien que la distributivité à droite revient au même.
—
triplets (a, b, c) testés
—
échecs
—
Ce que l'on voit. × se distribue sur +, mais pas l'inverse : 2 + (3 × 4) ≠ (2 + 3) × (2 + 4). Avec les parties d'un ensemble, ∩ et ∪ se distribuent chacune sur l'autre, symétrie parfaite qu'aucun couple de nombres n'offre. Et + se distribue sur max : a + max(b, c) = max(a + b, a + c). Cette dernière règle fonde l'algèbre dite « tropicale », où max joue le rôle de l'addition et + celui de la multiplication.
Planche 5 · signature
L'addition déguisée : transporter une loi
Certaines lois sur des intervalles de réels ont l'air compliquées : (x + y)/(1 + xy), qui additionne les vitesses en relativité, ou xy/(x + y), qui donne la résistance de deux résistances en parallèle. Pourtant, vues à travers la bonne fonction f, elles ne sont rien d'autre que l'addition : f(x ∗ y) = f(x) + f(y). On dit que la loi est transportée de l'addition par f. Le logarithme fait exactement cela avec la multiplication.
Lignes de niveau x ∗ y = c (bleu), tracées par balayage de la seule formule de la loi. Le curseur « regard » déforme le plan par f appliquée à chaque coordonnée : à 1, les lignes de niveau deviennent les droites parallèles u + v = constante de l'addition.
—
stabilité : couples restés dans l'intervalle
—
associativité : écart max sur 100 000 triplets
—
neutre (dichotomie) / f⁻¹(0)
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symétrique de a (dichotomie) / f⁻¹(−f(a))
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a ∗ a et a ∗ a ∗ … ∗ a (10 fois)
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écart max |f(x ∗ y) − f(x) − f(y)|
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Peut-on retrouver la fonction f cachée en ne se servant que de la loi ? Oui, comme on graduerait une règle. On choisit un élément a pour unité ; on cherche par dichotomie le « demi » h tel que h ∗ h = a, puis le demi du demi, et ainsi de suite ; on reporte ensuite ce pas indéfiniment, x ∗ h, x ∗ h ∗ h…, et vers l'arrière avec le symétrique de h. Chaque graduation reçoit son numéro : c'est f, à un facteur près.
Points bleus : graduations construites avec la seule loi (abscisse x, ordonnée = numéro de la graduation). Courbe verte : la vraie fonction f(x)/f(a), tracée seulement pour contrôle. La règle elle-même est dessinée en bas.
unité a / demi h (h ∗ h = a)
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zéro de la règle (neutre)
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graduations construites
—
écart max au vrai f(x)/f(a)
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L'idée forte. Deux lois qui se correspondent par une bijection f sont la même loi sous deux costumes : tout ce qui vaut pour l'une (associativité, neutre, symétriques) vaut pour l'autre. Les vitesses relativistes s'additionnent « à travers » la tangente hyperbolique réciproque, d'où le fait qu'on n'atteint jamais 1, la vitesse de la lumière. Les lois ln(eˣ + eʸ) et xy/(x + y) échouent d'une autre manière : elles sont transportées non pas de (ℝ, +) mais de (]0 ; +∞[, +), qui n'a pas de zéro ; leur règle n'a donc pas d'origine et aucun neutre n'existe. János Aczél a montré en 1949 que c'est général : toute loi continue, associative et strictement croissante en chaque variable sur un intervalle est une addition déguisée.
Repères historiques
1830Évariste Galois étudie les permutations des racines d'une équation et la façon dont elles se composent : la loi ∘ devient un objet d'étude à part entière.
1843William Rowan Hamilton invente les quaternions et accepte, pour la première fois, une multiplication non commutative : ij = k mais ji = −k.
1844Le mot « associatif » apparaît sous la plume de Hamilton, à propos des octaves de John Graves, qui ne le sont pas, contrairement à ses quaternions.
1847George Boole écrit les lois de la logique comme celles d'une algèbre, où x × x = x : tout élément y est idempotent.
1854Arthur Cayley définit un groupe par sa table de multiplication, la table de Cayley de la planche 2.
1905Einstein établit la règle d'addition des vitesses (u + v)/(1 + uv/c²), loi associative sur ]−c ; c[ qui ne dépasse jamais c.
1942Nicolas Bourbaki ouvre son livre d'Algèbre par les « lois de composition » : vocabulaire de la page (interne, externe, partie stable, neutre, symétrique, régulier) fixé pour des générations.
1949János Aczél démontre que les lois continues, associatives et strictement croissantes sur un intervalle sont des additions déguisées (planche 5).
En trois idées
Une loi est une application
a ∗ b est l'image du couple (a, b) par une application de E × E dans E. Être interne, c'est ne jamais sortir de E ; un seul couple qui sort suffit à l'interdire.
Les propriétés se lisent
Sur une table finie, la commutativité est une symétrie, le neutre une ligne qui recopie l'en-tête, la régularité une ligne sans répétition, et l'associativité se vérifie triplet par triplet.
L'associativité porte tout
Elle rend les parenthèses inutiles, garantit l'unicité du symétrique et, sur les réels, révèle que bien des lois ne sont que l'addition vue à travers une fonction.
Pour aller plus loin
Des lois aux structures. Un ensemble muni d'une loi interne s'appelle un magma ; si la loi est associative, un demi-groupe ; avec un neutre, un monoïde ; si de plus tout élément a un symétrique, un groupe. Les lois de la planche 5 donnent les trois cas : (]−1 ; 1[, vitesses) est un groupe, ([0 ; +∞[, Pythagore) un monoïde, et (ℝ, ln(eˣ + eʸ)) un simple demi-groupe.
Notation additive ou multiplicative. Pour une loi commutative on écrit souvent +, le neutre 0 et le symétrique −a (l'opposé) ; sinon on écrit ×, le neutre 1 et le symétrique a⁻¹ (l'inverse). C'est une convention d'écriture, pas une propriété.
Élément régulier et symétrique. Dans une loi associative, tout élément symétrisable est régulier : de a ∗ x = a ∗ y on tire x = y en composant à gauche par a′. La réciproque est fausse dans ℤ muni de × (2 est régulier, sans inverse entier), mais vraie dans un ensemble fini : une ligne sans répétition contient forcément le neutre.
Lois externes. Elles fondent les espaces vectoriels (ℝ agit sur les vecteurs) et plus généralement les actions de groupe : les rotations agissent sur les points du plan, les permutations sur les places d'une file.