Les nombres transcendants et leurs applications
Des nombres qu'aucune équation à coefficients entiers ne peut atteindre : on ne sait presque jamais les reconnaître, et pourtant ils forment presque tout. Cinq planches pour voir comment on les fabrique, comment on les démasque, ce qu'on ignore encore, et à quoi sert d'en être sûr.
Algébrique ou transcendant ?
Un nombre est algébrique s'il est la racine d'un polynôme non nul à coefficients entiers. Le plus petit degré possible s'appelle le degré du nombre. Un nombre qui n'est racine d'aucun polynôme de ce genre est dit transcendant : il « dépasse » l'algèbre (le mot remonte à Leibniz).
| Nombre | Polynôme qui l'annule | Degré | Nature |
|---|---|---|---|
| 3/4 | 4x − 3 | 1 | rationnel, donc algébrique |
| √2 ≈ 1,414 | x² − 2 | 2 | algébrique irrationnel |
| φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 | x² − x − 1 | 2 | algébrique irrationnel |
| ∛2 ≈ 1,260 | x³ − 2 | 3 | algébrique irrationnel |
| cos(2π/7) ≈ 0,623 | 8x³ + 4x² − 4x − 1 | 3 | algébrique irrationnel |
| i | x² + 1 | 2 | algébrique (complexe) |
| e ≈ 2,718 · π ≈ 3,142 · ln 2 ≈ 0,693 | aucun | — | transcendants (démontré) |
Attention : irrationnel ne veut pas dire transcendant. √2 est irrationnel mais algébrique. La transcendance est une irrationalité beaucoup plus forte : il faut exclure tous les polynômes, de tous les degrés, avec tous les coefficients entiers possibles.
Presque tous les nombres sont transcendants
L'idée de Cantor (1874) tient en une phrase : les nombres algébriques peuvent être rangés en une liste, et tout ce qui tient dans une liste peut être recouvert par des intervalles de longueur totale aussi petite qu'on veut. Il reste donc de la place — presque toute la place — pour les autres.
Pour ranger les polynômes, on leur donne une hauteur : h = degré + somme des valeurs absolues des coefficients. Pour chaque hauteur, il n'y a qu'un nombre fini de polynômes, donc un nombre fini de racines. On les énumère hauteur après hauteur : chaque ligne de la figure montre les racines réelles nouvelles apparues à cette hauteur. Le n-ième nombre de la liste reçoit un intervalle rouge de longueur 6ε/(π²n²) ; la somme de toutes ces longueurs vaut exactement ε.
Liouville fabrique le premier transcendant
Un nombre algébrique résiste aux fractions : Liouville (1844) montre que si α est algébrique de degré d, alors |α − p/q| reste toujours plus grand que c/qd pour une constante c > 0. Il suffit donc de fabriquer un nombre que des fractions approchent trop bien pour qu'il soit transcendant.
L = 0,110001000000000000000001000… = 10−1! + 10−2! + 10−3! + 10−4! + …
Chaque approximation p/q est ici placée en coordonnées logarithmiques : en abscisse le nombre de chiffres du dénominateur (log₁₀ q), en ordonnée le nombre de décimales justes (−log₁₀ |α − p/q|). Le rapport des deux est l'exposant d'approximation. Tous les calculs sont faits en entiers exacts, avec 1 200 décimales (6 000 pour L).
Application 1 : la quadrature du cercle est impossible
Construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle revient à construire un segment de longueur π. Or chaque coup de compas ne fait que résoudre des équations du second degré : Wantzel (1837) en déduit que toute longueur constructible est algébrique, de degré une puissance de 2. Lindemann (1882) démontre que π est transcendant : la question, posée depuis l'Antiquité, est close.
Voici deux constructions célèbres qui approchent π. Suivez-les pas à pas : chacune produit un nombre algébrique, et l'on peut écrire le polynôme qu'il annule — ce que π ne fera jamais.
Ce qu'on sait, ce qu'on ignore
Presque tous les nombres sont transcendants, mais le prouver pour un nombre donné est très difficile. Trois grands théorèmes font presque tout le travail :
Hermite–Lindemann–Weierstrass (1873–1885) : si a est algébrique non nul, ea est transcendant. D'où e, et aussi π (car eiπ = −1 est algébrique), ln 2, sin 1…
Gelfond–Schneider (1934) : si a est algébrique (≠ 0, 1) et b algébrique irrationnel, ab est transcendant. D'où 2√2, eπ = (−1)−i, ii = e−π/2, log₁₀ 2…
Gelfond–Schneider à la main : la fonction 2b
Faites varier l'exposant b. Tant que b est rationnel, 2b est algébrique. Dès que b est algébrique irrationnel, 2b devient transcendant. Et comme 2log₂3 = 3 est algébrique, le théorème force log₂ 3 à être transcendant.
À quoi sert d'être sûr qu'un nombre est transcendant ?
La transcendance n'est pas qu'une curiosité : elle garantit des choses. Trois situations concrètes, toutes calculées ici en arithmétique exacte.
Quand un ordinateur calcule ex, il doit rendre le nombre machine (53 bits) le plus proche du résultat exact. Pour arrondir, il faut savoir de quel côté du milieu entre deux nombres machine tombe ex. Si les bits qui suivent le 53ᵉ commencent par 0111111… ou 1000000…, il faut calculer de plus en plus loin avant de trancher.
Pourrait-on devoir calculer indéfiniment ? Non, et c'est Lindemann qui le garantit : tout nombre machine x ≠ 0 est rationnel, donc algébrique, donc ex est transcendant. Il n'est ni un nombre machine, ni un milieu exact : la séquence dangereuse s'arrête toujours. La page tire ici des x au hasard dans [0,5 ; 1[, calcule ex sur 300 bits exacts et mesure la longueur de la séquence dangereuse.
Les algorithmes cryptographiques ont besoin de constantes « quelconques ». Si le concepteur les choisissait lui-même, on pourrait le soupçonner d'y avoir caché une faiblesse. La parade : prendre les chiffres d'un nombre irrationnel célèbre, que personne ne peut avoir réglé. SHA-256 prend les 32 premiers bits de la partie fractionnaire de √p et ∛p pour les premiers nombres premiers p ; Blowfish prend les chiffres hexadécimaux de π. La page recalcule ces constantes en entiers exacts et les confronte aux valeurs publiées dans les normes.
On fait tourner un point sur un cercle d'une fraction α de tour à chaque pas. Si α est rationnel, l'orbite se referme. Si α est irrationnel, elle ne se referme jamais — mais un nombre de Liouville, si bien approché par des fractions, imite un rationnel pendant très longtemps. Le théorème des trois distances (Steinhaus, démontré en 1957-1958) affirme que, pour tout α et tout N, les N points découpent le cercle en arcs d'au plus trois longueurs différentes.
Deux siècles de transcendance
- 1844Joseph Liouville prouve que les nombres transcendants existent ; en 1851 il publie l'exemple décimal 0,110001000…
- 1873Charles Hermite démontre que e est transcendant.
- 1874Georg Cantor montre que les nombres algébriques sont dénombrables : les transcendants sont donc « presque tous » les nombres.
- 1882Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant : la quadrature du cercle est impossible.
- 1885Karl Weierstrass généralise : théorème de Lindemann–Weierstrass.
- 1900David Hilbert pose son septième problème : ab est-il transcendant ?
- 1934Alexandre Gelfond, puis Theodor Schneider (1935), le résolvent indépendamment.
- 1937Kurt Mahler prouve la transcendance de la constante de Champernowne 0,123456789101112…
- 1955Klaus Roth : tout algébrique irrationnel a un exposant d'approximation égal à 2 (médaille Fields 1958).
- 1966Alan Baker : formes linéaires en logarithmes (médaille Fields 1970).
- 1978Roger Apéry démontre que ζ(3) est irrationnel — sa transcendance reste ouverte.
- 1996Iouri Nesterenko : π et eπ sont algébriquement indépendants.
En résumé
Partout, et introuvables
Les algébriques tiennent dans une liste et se recouvrent d'une longueur aussi petite qu'on veut : presque tout nombre est transcendant. Mais il faut un théorème pour en reconnaître un seul.
On les démasque par les fractions
Un algébrique de degré d ne se laisse pas approcher mieux qu'en 1/qd ; un nombre trop bien approché est transcendant. Les preuves d'Hermite et de Lindemann raffinent cette idée.
Ce que la transcendance garantit
Des impossibilités (quadrature du cercle) et des certitudes pratiques : l'arrondi de ex se décide toujours en un nombre fini de bits, et les chiffres de π ne cachent le choix de personne.
Pour aller plus loin
La conjecture de Schanuel (années 1960) impliquerait d'un coup presque tous les résultats connus, et aussi la transcendance de e + π et de eπ, qu'on ignore aujourd'hui. On sait seulement qu'au moins l'un des deux est transcendant : sinon e et π seraient racines de x² − (e+π)x + eπ, donc algébriques.
La constante de Chaitin Ω, probabilité qu'un programme tiré au hasard s'arrête, est transcendante pour une raison inattendue : tout nombre algébrique est calculable, et Ω ne l'est pas.
La mesure d'irrationalité de π : on sait seulement qu'elle vaut au plus 7,10 environ (Zeilberger et Zudilin, 2020), alors qu'elle vaut probablement 2 comme pour presque tous les nombres. Pour e, on sait qu'elle vaut exactement 2.
Pages voisines de la série : les problématiques autour de π, de e et du nombre d'or ; les nombres remarquables ; les fractions continues et l'arbre de Stern-Brocot ; la théorie algébrique des nombres.