Les nombres

Les ensembles de nombres, de ℕ à ℂ

Entiers, décimaux, rationnels, réels, complexes : chaque ensemble est né d'une opération impossible dans le précédent, et chacun a trouvé ses métiers. Cinq planches pour voir ce que chaque étage permet de faire, et ce que les machines font de ces nombres.

La poupée russe des nombres

Les ensembles de nombres s'emboîtent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Chaque étage contient le précédent et rend possible une opération qui ne l'était pas : on l'agrandit parce qu'une équation toute simple n'y avait pas de solution.

Ensemble	Ce qu'il contient	Équation qu'il résout, impossible à l'étage d'en dessous	Quelques métiers
ℕ entiers naturels	0, 1, 2, 3…	— (on compte)	stocks, rangs, indices, dénombrements
ℤ entiers relatifs	… −2, −1, 0, 1, 2…	x + 5 = 3 donne x = −2	températures, altitudes, comptes, entiers des ordinateurs
𝔻 décimaux	fractions dont le dénominateur peut s'écrire 10, 100, 1000…	4x = 3 donne x = 0,75	monnaie, affichage des mesures
ℚ rationnels	toutes les fractions p/q (q ≠ 0)	3x = 1 donne x = 1/3	partages, engrenages, probabilités exactes
ℝ réels	tous les points de la droite	x² = 2 donne x = √2	géométrie, physique, calcul des taux
ℂ complexes	les nombres a + bi, avec i² = −1	x² = −1 donne x = i	électricité, signaux, mécanique quantique

Les irrationnels ne forment pas un étage de plus : ce sont les réels qui ne sont pas dans ℚ, comme √2 ou π. Ils occupent la couronne entre ℚ et ℝ.

Chaque jeton est rangé dans le plus petit ensemble qui le contient. Touchez un jeton pour voir sa fiche. Les jetons à liseré orange sont des pièges : leur écriture ressemble à celle d'un étage supérieur.

Nombre choisi

—

Valeur exacte

—

Ce que calcule la machine (flottant)

—

Plus petit ensemble

—

Le classement se fait en calcul exact (fractions d'entiers et racines de carrés parfaits), jamais sur la valeur affichée par la machine.

ℕ puis ℤ : compter, puis devoir

Dans ℕ on peut toujours ajouter, mais pas toujours retirer : 3 − 5 n'existe pas. L'équation a + x = b n'a de solution dans ℕ que si b ⩾ a. Les nombres négatifs réparent ce défaut : dans ℤ, la soustraction est toujours possible.

Le saut qui mène de a à b. Dans ℕ la droite s'arrête à 0 : si b < a, le saut tombe dans le vide.

a 8

b 3

Équation

—

Solution

—

Un octet compte comme un compteur kilométrique : 256 positions sur un cercle. En complément à deux, la moitié droite porte 0 à 127 et la moitié gauche −128 à −1. Flèche bleue : x ; flèche orange : x + y calculé par la machine.

x 100

y 50

x en bits

—

y en bits

—

x + y calculé par l'additionneur

—

x + y dans ℤ

—

Application : les entiers des ordinateurs. Une machine ne range pas ℤ, qui est infini, mais un morceau de 2⁸, 2¹⁶, 2³² ou 2⁶⁴ valeurs. Le complément à deux permet d'additionner positifs et négatifs avec le même circuit que pour ℕ : on additionne les bits et on oublie la retenue qui sort. Tant que le vrai résultat reste dans l'intervalle, la réponse est juste ; sinon elle « fait le tour du cadran » : c'est un débordement.

Contrôle sur les 65 536 couples (x, y)

—

Couples qui débordent

—

Plus grand entier signé sur 32 bits

—

𝔻 et ℚ : partager

Partager p en q parts égales, c'est résoudre q·x = p. La réponse p/q est toujours dans ℚ. Elle est décimale (dans 𝔻) seulement si, une fois la fraction simplifiée, le dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 ; sinon son écriture décimale est infinie et périodique. On note entre parenthèses le bloc qui se répète : 1/7 = 0,(142857) = 0,142857142857…

La division posée, vue sur le cadran des restes : à chaque étape, le reste r devient 10·r modulo q. Le trait bleu relie les restes successifs ; dès qu'un reste revient (rouge), les chiffres se répètent. Un reste nul (vert) arrête la division.

p 1

q 7

Écriture décimale

—

Nature

—

Période mesurée (restes suivis)

—

Période prévue (plus petit k tel que 10ᵏ − 1 est divisible par la partie sans 2 ni 5)

—

Même contrôle pour toutes les fractions 1/q, q ⩽ 2000

—

Application : pourquoi 0,1 + 0,2 ≠ 0,3 en machine

Un ordinateur écrit ses nombres en base 2 : ses « décimaux » sont les fractions dont le dénominateur est une puissance de 2. Or 1/10 n'en est pas une : en base 2, 0,1 a une écriture infinie et périodique, que la machine coupe après 53 chiffres significatifs.

Les chiffres binaires du nombre choisi : en bleu ceux que la machine garde, en rouge ceux qu'elle jette. Le motif répété est souligné en violet.

Écriture en base 2

—

Valeur réellement stockée (exacte)

—

Erreur de stockage

—

0,1 + 0,2 calculé en machine, valeur exacte

—

0,3 stocké par la machine

—

Un million de paiements de 0,01 € additionnés

—

Les mêmes, comptés en centimes entiers

—

ℝ : combler les trous

Les rationnels sont partout sur la droite, et pourtant ils la laissent trouée : aucun d'eux ne vérifie x² = 2. Si p/q en était un, p² serait égal à 2q² ; or dans p² le facteur 2 apparaît un nombre pair de fois, dans 2q² un nombre impair de fois. L'ensemble ℝ bouche tous ces trous : toute suite d'intervalles emboîtés qui rétrécissent y cerne un nombre, et c'est ce qui permet de résoudre des équations qu'aucune formule ne résout.

Chaque fraction p/q de [1 ; 2] avec q ⩽ N est placée à son abscisse, à la hauteur |p² − 2q²| (échelle logarithmique). Si p/q valait √2 (trait vert), ce nombre vaudrait 0 ; mais c'est un entier non nul, qui ne descend donc jamais sous 1. En rouge, la fraction la plus proche de √2.

N 30

Fractions examinées

—

Plus proche de √2

—

Plus petite valeur de |p² − 2q²|

—

Application : le taux d'un crédit. La mensualité M dépend du taux mensuel r par M = C·r / (1 − (1 + r)⁻ⁿ), mais aucune formule ne donne r à partir de M. On le cerne par dichotomie : l'intervalle orange est coupé en deux à chaque étape.

Capital 15 000 €

Durée 48 mois

Mensualité —

Taux mensuel trouvé

—

Taux annuel équivalent

—

Étapes et largeur de l'intervalle

—

Contrôle par la méthode de Newton

—

Mensualité recalculée avec ce taux

—

ℂ : tourner

Aucun réel n'a un carré négatif. On ajoute donc un nombre nouveau, i, avec i² = −1, et l'on calcule avec a + bi comme avec des polynômes. L'idée qui rend ℂ si utile : multiplier par i, c'est tourner d'un quart de tour. Deux quarts de tour font un demi-tour, c'est-à-dire multiplier par −1 : voilà pourquoi i² = −1.

Le plan complexe : a + bi est le point (a ; b). Multiplier par z = r·(cos θ + i sin θ) fait tourner la figure de θ et l'agrandit r fois.

r 1

θ 30°

Multiplications faites

—

Nombre obtenu (calcul algébrique)

—

Contrôle par l'angle et le module

—

Application : un circuit électrique R, L, C alimenté en alternatif (tension efficace 230 V). En haut, les tensions sont des flèches qui tournent ensemble (les phaseurs) : résistance en bleu, bobine en rouge, condensateur en violet, mises bout à bout ; leur somme est la tension totale, en vert. En bas, les courbes au cours du temps : tension en vert, courant en orange.

R 40 Ω

L 200 mH

C 50 µF

f 50 Hz

Dans ℂ, une bobine a pour « résistance » iLω et un condensateur 1/(iCω), avec ω = 2πf. L'impédance totale est donc un seul nombre complexe, Z = R + i(Lω − 1/(Cω)), et le courant s'obtient par une simple division, I = U / Z : son module donne l'intensité, son argument le décalage avec la tension. Sans ℂ, il faudrait résoudre une équation différentielle. La page le fait aussi, à part, pour vérifier.

Intensité efficace en fonction de la fréquence, calculée par I = U/|Z|. Les points verts sont obtenus par simulation de l'équation différentielle, sans nombres complexes.

Impédance Z

—

Intensité efficace par ℂ

—

Décalage du courant par ℂ

—

Intensité et décalage simulés

—

Fréquence de résonance 1/(2π√(LC))

—

Signature : dans ℂ, toute équation se résout

L'escalier s'arrête à ℂ. Le théorème fondamental de l'algèbre affirme qu'un polynôme de degré n à coefficients complexes a exactement n racines dans ℂ (en comptant les racines doubles deux fois). Plus besoin d'inventer un nouvel étage pour résoudre une équation polynomiale : ℂ est algébriquement clos.

Chaque point z du plan est coloré selon l'argument de P(z) : les couleurs font un tour complet autour de chaque racine, et plusieurs tours autour d'une racine multiple. Les racines trouvées sont cerclées, avec l'étiquette de leur plus petit ensemble.

degré 5

Polynôme

—

Racines trouvées dans ℂ / degré

—

Dont réelles

—

Dont rationnelles (vérifiées en fractions exactes)

—

Contrôle : on redéveloppe (x − z₁)…(x − zₙ)

—

La méthode de Newton, z ↦ z − P(z)/P′(z), lancée depuis chaque point du plan. Couleur : la racine atteinte ; teinte plus claire : il a fallu plus d'étapes ; noir : aucune racine atteinte. Touchez l'image pour l'agrandir deux fois autour de ce point.

étapes max 40

Part de chaque bassin

—

Points sans racine atteinte

—

Contrôle : plus grand |P(z)| au point d'arrivée

—

Grossissement

—

Calculatrices, GPS et logiciels de calcul trouvent des racines par cette méthode. Sur la droite réelle, Newton peut échouer sans explication visible ; dans ℂ on voit pourquoi : les bassins d'attraction ont des frontières d'une complexité infinie.

—

Trois mille ans d'agrandissements

vers −1800Les scribes de Babylone calculent avec des fractions sexagésimales ; la tablette YBC 7289 donne √2 à environ un millionième près.
vers −400Les Grecs découvrent que la diagonale et le côté d'un carré n'ont pas de commune mesure : la première irrationalité.
628Brahmagupta énonce les règles de calcul avec zéro, les « fortunes » et les « dettes » : les nombres négatifs.
1572Rafael Bombelli calcule avec √−1 pour résoudre des équations du troisième degré dont les racines sont pourtant réelles.
1585Simon Stevin publie La Disme et défend l'usage des nombres décimaux dans la vie courante.
1637René Descartes appelle « imaginaires » les racines qui ne sont pas réelles.
1777Leonhard Euler introduit la lettre i pour √−1.
1799Carl Friedrich Gauss présente une démonstration du théorème fondamental de l'algèbre.
1806Jean-Robert Argand représente les complexes par des points du plan.
1872Richard Dedekind construit les réels par ses « coupures » : ℝ est enfin défini à partir de ℚ.
1893Charles Steinmetz popularise le calcul des circuits alternatifs avec les nombres complexes.
1985La norme IEEE 754 fixe la façon dont les ordinateurs rangent les nombres à virgule, en base 2.

En résumé

Chaque étage répare une impossibilité

Soustraire (ℤ), diviser par 10 (𝔻), diviser tout court (ℚ), passer à la limite (ℝ), extraire une racine carrée d'un négatif (ℂ). À chaque fois, les anciennes règles de calcul restent vraies.

Les machines vivent dans des étages finis

Un ordinateur n'a ni ℤ ni ℝ : il a 2⁶⁴ entiers qui font le tour du cadran, et des fractions de dénominateur puissance de 2. D'où les débordements, et 0,1 + 0,2 ≠ 0,3.

ℂ est le dernier étage utile

Toute équation polynomiale y a toutes ses racines, et ses nombres décrivent les rotations. On sait construire plus grand (quaternions, octonions), mais on y perd des règles de calcul.

Pour aller plus loin

Et après ℂ ? En doublant encore on obtient les quaternions ℍ (la multiplication n'y est plus commutative), puis les octonions 𝕆 (elle n'est plus associative). Les quaternions servent à orienter les satellites et les personnages de jeux vidéo.

Les nombres algébriques, racines de polynômes à coefficients entiers, forment un ensemble qui se glisse entre ℚ et ℂ sans suivre l'escalier : il contient √2 et i, mais pas π. Les autres sont les nombres transcendants.

Les p-adiques : on peut compléter ℚ autrement qu'en ℝ, en décidant que deux nombres sont proches quand leur différence est divisible par une grande puissance d'un nombre premier p. On obtient d'autres « réels », très utilisés en théorie des nombres.

Pages voisines de la série : la construction de ℕ, ℤ, ℚ et ℝ en théorie des ensembles ; ℕ, ℤ, ℚ dénombrables et ℝ non dénombrable ; les nombres transcendants ; les structures algébriques ; les quaternions ; l'algèbre de Boole et les circuits.